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5. 如图，将等边三角形ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处（不与点B，C重合），折痕为EF.
(1)求证：$△ BDE ∽ △ CFD$.
(2)若$BD＝6$，$DC＝2$，求$△ BDE$和$△ CFD$的周长.
(3)在(2)的条件下，求BE的长.
(1)求证：$△ BDE ∽ △ CFD$.
(2)若$BD＝6$，$DC＝2$，求$△ BDE$和$△ CFD$的周长.
(3)在(2)的条件下，求BE的长.
答案
5. (1)证明：$\because△ ABC$是等边三角形，
$\therefore∠ B=∠ C=∠ A=60°$.
由折叠的性质，得$∠ EDF=∠ A=60°$.
$\therefore∠ EDF=∠ C$.
$\because∠ FDB=∠ C+∠ DFC=∠ EDF+∠ EDB$，
$\therefore∠ DFC=∠ EDB$.
又$\because∠ B=∠ C$，
$\therefore△ BDE∽△ CFD$.
(2)解：$\because BD=6$，$DC=2$，
$\therefore BC=BD+DC=8$.
$\because△ ABC$是等边三角形，
$\therefore AB=AC=BC=8$.
由折叠的性质，得$AE=DE$，$AF=DF$，
$\therefore△ BDE$的周长为$BD+DE+BE=BD+AE+BE=BD+AB=6+8=14$，
$△ CFD$的周长为$CD+DF+CF=CD+AF+FC=CD+AC=2+8=10$.
(3)$\because△ BDE∽△ CFD$，$△ BDE$的周长为14，$△ CFD$的周长为10，
$\therefore\frac{BE}{CD}=\frac{14}{10}$.
$\because DC=2$，
$\therefore\frac{BE}{2}=\frac{14}{10}$.
$\therefore BE=2.8$.
$\therefore∠ B=∠ C=∠ A=60°$.
由折叠的性质，得$∠ EDF=∠ A=60°$.
$\therefore∠ EDF=∠ C$.
$\because∠ FDB=∠ C+∠ DFC=∠ EDF+∠ EDB$，
$\therefore∠ DFC=∠ EDB$.
又$\because∠ B=∠ C$，
$\therefore△ BDE∽△ CFD$.
(2)解：$\because BD=6$，$DC=2$，
$\therefore BC=BD+DC=8$.
$\because△ ABC$是等边三角形，
$\therefore AB=AC=BC=8$.
由折叠的性质，得$AE=DE$，$AF=DF$，
$\therefore△ BDE$的周长为$BD+DE+BE=BD+AE+BE=BD+AB=6+8=14$，
$△ CFD$的周长为$CD+DF+CF=CD+AF+FC=CD+AC=2+8=10$.
(3)$\because△ BDE∽△ CFD$，$△ BDE$的周长为14，$△ CFD$的周长为10，
$\therefore\frac{BE}{CD}=\frac{14}{10}$.
$\because DC=2$，
$\therefore\frac{BE}{2}=\frac{14}{10}$.
$\therefore BE=2.8$.
6. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD$是$AB$边上的高。
(1)求证：$△ ACD ∽ △ CBD$。
(2)若$AB=8$，$AD=6$，求$CD$的长。
(1)求证：$△ ACD ∽ △ CBD$。
(2)若$AB=8$，$AD=6$，求$CD$的长。
答案
6. (1)证明：$\because CD⊥ AB$，
$\therefore∠ CDA=∠ CDB=90°$.
$\because∠ ACB=90°$，
$\therefore∠ ACD+∠ BCD=90°$，$∠ BCD+∠ B=90°$.
$\therefore∠ ACD=∠ B$.
$\therefore△ ACD∽△ CBD$.
(2)解：$\because△ ACD∽△ CBD$，
$\therefore\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$.
$\therefore CD^2=AD· BD$.
$\because AD=6$，$BD=AB-AD=2$，
$\therefore CD^2=12$.
$\because CD＞0$，
$\therefore CD=2\sqrt{3}$.
$\therefore∠ CDA=∠ CDB=90°$.
$\because∠ ACB=90°$，
$\therefore∠ ACD+∠ BCD=90°$，$∠ BCD+∠ B=90°$.
$\therefore∠ ACD=∠ B$.
$\therefore△ ACD∽△ CBD$.
(2)解：$\because△ ACD∽△ CBD$，
$\therefore\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$.
$\therefore CD^2=AD· BD$.
$\because AD=6$，$BD=AB-AD=2$，
$\therefore CD^2=12$.
$\because CD＞0$，
$\therefore CD=2\sqrt{3}$.
7. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=12\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，现有动点$P$从点$C$出发沿$CA$向点$A$方向运动，动点$Q$从点$B$出发沿$BC$向点$C$方向运动。点$P$的速度是$2\ \mathrm{cm/s}$，点$Q$的速度是$1\ \mathrm{cm/s}$，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，点$P$，$Q$就停止运动，设运动时间为$t\ \mathrm{s}$.
(1)用含$t$的代数式表示：$CP=$
(2)当$t$为多少时，$PQ$的长为$\sqrt{61}\ \mathrm{cm}$?
(3)当$t$为多少时，以$C$，$P$，$Q$为顶点的三角形与$△ ABC$相似?
(1)用含$t$的代数式表示：$CP=$
$2t$
，$CQ=$$8-t$
.(2)当$t$为多少时，$PQ$的长为$\sqrt{61}\ \mathrm{cm}$?
(3)当$t$为多少时，以$C$，$P$，$Q$为顶点的三角形与$△ ABC$相似?
答案
7. 解：(1)$2t$，$8-t$
(2)在$\mathrm{Rt}△ PCQ$中，根据勾股定理，得$CP^2+CQ^2=PQ^2$.
令$(2t)^2+(8-t)^2=(\sqrt{61})^2$，
解得$t=0.2$或$t=3$.
$\therefore$当$t$为0.2或3时，$PQ$的长为$\sqrt{61}\ \mathrm{cm}$.
(3)当$△ CPQ∽△ CAB$时，
有$\frac{CP}{CA}=\frac{CQ}{CB}$，
即$\frac{2t}{12}=\frac{8-t}{8}$.
解得$t=\frac{24}{7}$.
当$△ CPQ∽△ CBA$时，
有$\frac{CP}{CB}=\frac{CQ}{CA}$，
即$\frac{2t}{8}=\frac{8-t}{12}$.
解得$t=2$.
综上所述，当$t$为$\frac{24}{7}$或2时，以$C$，$P$，$Q$为顶点的三角形与$△ ABC$相似.
(2)在$\mathrm{Rt}△ PCQ$中，根据勾股定理，得$CP^2+CQ^2=PQ^2$.
令$(2t)^2+(8-t)^2=(\sqrt{61})^2$，
解得$t=0.2$或$t=3$.
$\therefore$当$t$为0.2或3时，$PQ$的长为$\sqrt{61}\ \mathrm{cm}$.
(3)当$△ CPQ∽△ CAB$时，
有$\frac{CP}{CA}=\frac{CQ}{CB}$，
即$\frac{2t}{12}=\frac{8-t}{8}$.
解得$t=\frac{24}{7}$.
当$△ CPQ∽△ CBA$时，
有$\frac{CP}{CB}=\frac{CQ}{CA}$，
即$\frac{2t}{8}=\frac{8-t}{12}$.
解得$t=2$.
综上所述，当$t$为$\frac{24}{7}$或2时，以$C$，$P$，$Q$为顶点的三角形与$△ ABC$相似.
