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10. 先化简，再求值：$(x+7y)(x+2y)-(x-y)(x+y)$，其中$x=15$，$y=-\dfrac{1}{15}$。
答案
原式$=9xy+15y^2$. 当$x=15$，$y=-\dfrac{1}{15}$时，原式$=9×15×(-\dfrac{1}{15})+15×(-\dfrac{1}{15})^2=-8\dfrac{14}{15}$
解析
【分析】
本题属于整式化简求值类题目，解题思路如下：第一步，分别运用多项式乘多项式法则计算$(x+7y)(x+2y)$，运用平方差公式计算$(x-y)(x+y)$；第二步，去括号，注意括号前是负号时括号内各项要变号；第三步，合并同类项得到最简整式；第四步，将$x=15$，$y=-\dfrac{1}{15}$代入最简式计算最终结果，计算时注意先算乘方再算乘法最后算加减。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}&(x+7y)(x+2y)-(x-y)(x+y)\\=&(x^2+2xy+7xy+14y^2)-(x^2-y^2)\\=&x^2+9xy+14y^2 - x^2 + y^2\\=&9xy+15y^2\end{aligned}$
再代入$x=15$，$y=-\dfrac{1}{15}$求值：
$\begin{aligned}原式&=9×15×(-\dfrac{1}{15})+15×(-\dfrac{1}{15})^2\\&=9×(-1)+15×\dfrac{1}{225}\\&=-9+\dfrac{1}{15}\\&=-8\dfrac{14}{15}\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$9xy+15y^2$，求值结果为$-8\dfrac{14}{15}$
【知识点】
多项式乘多项式、平方差公式、整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础常考题型，核心是熟练掌握整式乘法的相关运算法则，运算时需注意去括号的符号变化，代入数值计算时要遵循有理数的运算顺序，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
本题属于整式化简求值类题目，解题思路如下：第一步，分别运用多项式乘多项式法则计算$(x+7y)(x+2y)$，运用平方差公式计算$(x-y)(x+y)$；第二步，去括号，注意括号前是负号时括号内各项要变号；第三步，合并同类项得到最简整式；第四步，将$x=15$，$y=-\dfrac{1}{15}$代入最简式计算最终结果，计算时注意先算乘方再算乘法最后算加减。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}&(x+7y)(x+2y)-(x-y)(x+y)\\=&(x^2+2xy+7xy+14y^2)-(x^2-y^2)\\=&x^2+9xy+14y^2 - x^2 + y^2\\=&9xy+15y^2\end{aligned}$
再代入$x=15$，$y=-\dfrac{1}{15}$求值：
$\begin{aligned}原式&=9×15×(-\dfrac{1}{15})+15×(-\dfrac{1}{15})^2\\&=9×(-1)+15×\dfrac{1}{225}\\&=-9+\dfrac{1}{15}\\&=-8\dfrac{14}{15}\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$9xy+15y^2$，求值结果为$-8\dfrac{14}{15}$
【知识点】
多项式乘多项式、平方差公式、整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础常考题型，核心是熟练掌握整式乘法的相关运算法则，运算时需注意去括号的符号变化，代入数值计算时要遵循有理数的运算顺序，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
11. 有下列各式:①$(2a+1)(2a-1)=4a^2 -a -1$；②$(a-b)(a+b)=a^2 -ab +b^2$；③$(x-2y)(3x+y)=3x^2 -5xy -2y^2$；④$(m-2)(3m-1)=3m^2 +6m -2$。其中，错误的有
【 】
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【 】
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
C
解析
【分析】
本题需要判断四个整式乘法运算的正误，解题思路为：逐一将每个式子等号左侧的整式乘法按照多项式乘多项式法则（或平方差公式）展开，再与等号右侧的结果对比，统计错误式子的数量即可得到答案。计算时要注意各项的符号，避免漏乘、错乘。
【解析】
我们逐个验证四个式子：
1. 验证①：$(2a+1)(2a-1)$符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，代入得：
$(2a+1)(2a-1)=(2a)^2-1^2=4a^2-1$，与等号右侧$4a^2 -a -1$不相等，故①错误。
2. 验证②：$(a-b)(a+b)$同样符合平方差公式，计算得：
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，与等号右侧$a^2 -ab +b^2$不相等，故②错误。
3. 验证③：按照多项式乘多项式法则展开$(x-2y)(3x+y)$：
$x· 3x + x· y + (-2y)· 3x + (-2y)· y=3x^2+xy-6xy-2y^2=3x^2-5xy-2y^2$，与等号右侧结果一致，故③正确。
4. 验证④：按照多项式乘多项式法则展开$(m-2)(3m-1)$：
$m· 3m + m· (-1) + (-2)· 3m + (-2)· (-1)=3m^2-m-6m+2=3m^2-7m+2$，与等号右侧$3m^2 +6m -2$不相等，故④错误。
综上，错误的式子有①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式；平方差公式
【点评】
本题属于整式乘法的基础计算题，核心是熟练掌握多项式乘法的运算法则和平方差公式的特征，计算时需格外注意每项的符号，避免因漏乘、符号判断错误导致失分。
【难度系数】
0.7
本题需要判断四个整式乘法运算的正误，解题思路为：逐一将每个式子等号左侧的整式乘法按照多项式乘多项式法则（或平方差公式）展开，再与等号右侧的结果对比，统计错误式子的数量即可得到答案。计算时要注意各项的符号，避免漏乘、错乘。
【解析】
我们逐个验证四个式子：
1. 验证①：$(2a+1)(2a-1)$符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，代入得：
$(2a+1)(2a-1)=(2a)^2-1^2=4a^2-1$，与等号右侧$4a^2 -a -1$不相等，故①错误。
2. 验证②：$(a-b)(a+b)$同样符合平方差公式，计算得：
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，与等号右侧$a^2 -ab +b^2$不相等，故②错误。
3. 验证③：按照多项式乘多项式法则展开$(x-2y)(3x+y)$：
$x· 3x + x· y + (-2y)· 3x + (-2y)· y=3x^2+xy-6xy-2y^2=3x^2-5xy-2y^2$，与等号右侧结果一致，故③正确。
4. 验证④：按照多项式乘多项式法则展开$(m-2)(3m-1)$：
$m· 3m + m· (-1) + (-2)· 3m + (-2)· (-1)=3m^2-m-6m+2=3m^2-7m+2$，与等号右侧$3m^2 +6m -2$不相等，故④错误。
综上，错误的式子有①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式；平方差公式
【点评】
本题属于整式乘法的基础计算题，核心是熟练掌握多项式乘法的运算法则和平方差公式的特征，计算时需格外注意每项的符号，避免因漏乘、符号判断错误导致失分。
【难度系数】
0.7
12. 已知$a+b=m$，$ab=-4$，化简$(a-2)(b-2)$的结果是 【 】
A.6
B.$2m-8$
C.$2m$
D.$-2m$
A.6
B.$2m-8$
C.$2m$
D.$-2m$
答案
D
解析
【分析】
要化简$(a-2)(b-2)$，首先需要运用多项式乘多项式的法则将式子展开，观察展开后的式子会发现含有$a+b$和$ab$的结构，刚好题目给出了$a+b=m$、$ab=-4$的已知条件，我们将已知条件整体代入展开后的式子，合并化简就能得到结果。
【解析】
首先根据多项式乘多项式法则展开原式：
$\begin{aligned}(a-2)(b-2)&=ab - 2a - 2b + 4\\&=ab - 2(a+b) + 4\end{aligned}$
把$a+b=m$，$ab=-4$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=-4 - 2× m + 4\\&=-2m\end{aligned}$
所以答案选D。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式法则；代数式化简；整体代入求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，解题核心是先展开目标代数式，再结合已知条件整体代入计算，熟练掌握多项式乘法运算和整体代入思想就能快速求解。
【难度系数】
0.8
要化简$(a-2)(b-2)$，首先需要运用多项式乘多项式的法则将式子展开，观察展开后的式子会发现含有$a+b$和$ab$的结构，刚好题目给出了$a+b=m$、$ab=-4$的已知条件，我们将已知条件整体代入展开后的式子，合并化简就能得到结果。
【解析】
首先根据多项式乘多项式法则展开原式：
$\begin{aligned}(a-2)(b-2)&=ab - 2a - 2b + 4\\&=ab - 2(a+b) + 4\end{aligned}$
把$a+b=m$，$ab=-4$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=-4 - 2× m + 4\\&=-2m\end{aligned}$
所以答案选D。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式法则；代数式化简；整体代入求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，解题核心是先展开目标代数式，再结合已知条件整体代入计算，熟练掌握多项式乘法运算和整体代入思想就能快速求解。
【难度系数】
0.8
13. 已知关于$x$的表达式$(x - m)(x + 7)$展开后的常数项为14，则$m$的值是 【 】
A.2
B.$-2$
C.7
D.$-7$
A.2
B.$-2$
C.7
D.$-7$
答案
B
解析
【分析】
解题思路如下：首先我们需要运用多项式乘多项式的法则将给定的表达式展开，然后找到展开式中的常数项（即不含字母x的项），再根据题目给出的“常数项为14”的条件列出关于m的一元一次方程，最后解方程即可求出m的值。
【解析】
首先根据多项式乘多项式的法则展开$(x - m)(x + 7)$：
$\begin{aligned}(x - m)(x + 7)&=x· x + x·7 - m· x - m·7\\&=x^2 +7x -mx -7m\\&=x^2 + (7 - m)x -7m\end{aligned}$
展开式中的常数项为$-7m$，根据题意常数项为14，因此列方程：
$-7m=14$
解得：$m=-2$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
多项式与多项式相乘；常数项的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握多项式乘法的展开规则，能准确识别多项式中的常数项，再结合方程思想求解参数，熟练掌握基础运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先我们需要运用多项式乘多项式的法则将给定的表达式展开，然后找到展开式中的常数项（即不含字母x的项），再根据题目给出的“常数项为14”的条件列出关于m的一元一次方程，最后解方程即可求出m的值。
【解析】
首先根据多项式乘多项式的法则展开$(x - m)(x + 7)$：
$\begin{aligned}(x - m)(x + 7)&=x· x + x·7 - m· x - m·7\\&=x^2 +7x -mx -7m\\&=x^2 + (7 - m)x -7m\end{aligned}$
展开式中的常数项为$-7m$，根据题意常数项为14，因此列方程：
$-7m=14$
解得：$m=-2$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
多项式与多项式相乘；常数项的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握多项式乘法的展开规则，能准确识别多项式中的常数项，再结合方程思想求解参数，熟练掌握基础运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
14. 方程$(2x+3)(x-4)-(x+2)(x+3)=x^2+12$的解是 【 】
A.$x=4$
B.$x=-4$
C.$x=3$
D.$x=-3$
A.$x=4$
B.$x=-4$
C.$x=3$
D.$x=-3$
答案
D
解析
【分析】
本题是含多项式乘法的一元一次方程求解问题，解题思路如下：第一步，根据多项式乘多项式的运算法则，将方程左边的两个乘积项分别展开；第二步，去括号后合并同类项，把原方程化简为标准的一元一次方程形式；第三步，通过移项、系数化为1求解x的值，也可将选项代入方程验证左右两边是否相等快速得到答案。计算时要注意去括号时的符号变化，避免漏乘项。
【解析】
先利用多项式乘多项式法则展开左边各项：
1. 展开$(2x+3)(x-4)$：
$(2x+3)(x-4)=2x· x + 2x·(-4) + 3· x + 3×(-4)=2x^2 -8x +3x -12=2x^2 -5x -12$
2. 展开$(x+2)(x+3)$：
$(x+2)(x+3)=x· x +x·3 +2· x +2×3=x^2 +3x +2x +6=x^2 +5x +6$
将展开结果代入原方程：
$2x^2 -5x -12 -(x^2 +5x +6)=x^2 +12$
去括号得：
$2x^2 -5x -12 -x^2 -5x -6=x^2 +12$
左边合并同类项：
$x^2 -10x -18 =x^2 +12$
两边同时减去$x^2$得：
$-10x -18 =12$
移项得：
$-10x=12 +18$
即$-10x=30$
系数化为1得：
$x=-3$
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；解一元一次方程
【点评】本题侧重考查整式运算的基本功，解题的关键是熟练掌握多项式乘法法则，去括号时注意符号不要出错，计算时仔细即可顺利求解。
【难度系数】0.7
本题是含多项式乘法的一元一次方程求解问题，解题思路如下：第一步，根据多项式乘多项式的运算法则，将方程左边的两个乘积项分别展开；第二步，去括号后合并同类项，把原方程化简为标准的一元一次方程形式；第三步，通过移项、系数化为1求解x的值，也可将选项代入方程验证左右两边是否相等快速得到答案。计算时要注意去括号时的符号变化，避免漏乘项。
【解析】
先利用多项式乘多项式法则展开左边各项：
1. 展开$(2x+3)(x-4)$：
$(2x+3)(x-4)=2x· x + 2x·(-4) + 3· x + 3×(-4)=2x^2 -8x +3x -12=2x^2 -5x -12$
2. 展开$(x+2)(x+3)$：
$(x+2)(x+3)=x· x +x·3 +2· x +2×3=x^2 +3x +2x +6=x^2 +5x +6$
将展开结果代入原方程：
$2x^2 -5x -12 -(x^2 +5x +6)=x^2 +12$
去括号得：
$2x^2 -5x -12 -x^2 -5x -6=x^2 +12$
左边合并同类项：
$x^2 -10x -18 =x^2 +12$
两边同时减去$x^2$得：
$-10x -18 =12$
移项得：
$-10x=12 +18$
即$-10x=30$
系数化为1得：
$x=-3$
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；解一元一次方程
【点评】本题侧重考查整式运算的基本功，解题的关键是熟练掌握多项式乘法法则，去括号时注意符号不要出错，计算时仔细即可顺利求解。
【难度系数】0.7
15. 先化简,再求值:$(3x-2)(x-3)-2(x+6)(x-5)+3(x^2-7x+13)$,其中$x=3\frac{1}{2}$.
答案
原式$=4x^2-34x+105$. 当$x=3\dfrac{1}{2}$时，原式$=4×(3\dfrac{1}{2})^2-34×(3\dfrac{1}{2})+105=35$
解析
【分析】
本题是整式化简求值题，解题思路分两步：第一步先化简整式，按照多项式乘多项式、单项式乘多项式的法则依次展开各个乘积项，再去括号、合并同类项得到最简整式；第二步将x的取值代入最简整式计算结果，先化简再代入可以大幅降低计算量，减少出错概率。
【解析】
解：先展开化简原式：
1. 计算各乘积项：
$(3x-2)(x-3)=3x^2 - 9x - 2x + 6 = 3x^2 - 11x + 6$
$(x+6)(x-5)=x^2 -5x +6x -30 = x^2 +x -30$，故$-2(x+6)(x-5)=-2(x^2+x-30)=-2x^2 -2x +60$
$3(x^2-7x+13)=3x^2 -21x +39$
2. 合并同类项：
原式$=(3x^2 - 11x + 6)+(-2x^2 -2x +60)+(3x^2 -21x +39)$
$=3x^2 -2x^2 +3x^2 -11x -2x -21x +6 +60 +39$
$=4x^2 -34x +105$
3. 代入$x=3\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$计算：
原式$=4×(\frac{7}{2})^2 -34×\frac{7}{2} +105$
$=4×\frac{49}{4} - 17×7 +105$
$=49 - 119 +105$
$=35$
【答案】
35
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题侧重考察整式混合运算的熟练度，解题时要注意多项式乘法展开时不要漏乘项，去括号时注意符号变化，先化简后代入的思路能有效提升计算准确率和效率。
【难度系数】
0.7
本题是整式化简求值题，解题思路分两步：第一步先化简整式，按照多项式乘多项式、单项式乘多项式的法则依次展开各个乘积项，再去括号、合并同类项得到最简整式；第二步将x的取值代入最简整式计算结果，先化简再代入可以大幅降低计算量，减少出错概率。
【解析】
解：先展开化简原式：
1. 计算各乘积项：
$(3x-2)(x-3)=3x^2 - 9x - 2x + 6 = 3x^2 - 11x + 6$
$(x+6)(x-5)=x^2 -5x +6x -30 = x^2 +x -30$，故$-2(x+6)(x-5)=-2(x^2+x-30)=-2x^2 -2x +60$
$3(x^2-7x+13)=3x^2 -21x +39$
2. 合并同类项：
原式$=(3x^2 - 11x + 6)+(-2x^2 -2x +60)+(3x^2 -21x +39)$
$=3x^2 -2x^2 +3x^2 -11x -2x -21x +6 +60 +39$
$=4x^2 -34x +105$
3. 代入$x=3\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$计算：
原式$=4×(\frac{7}{2})^2 -34×\frac{7}{2} +105$
$=4×\frac{49}{4} - 17×7 +105$
$=49 - 119 +105$
$=35$
【答案】
35
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题侧重考察整式混合运算的熟练度，解题时要注意多项式乘法展开时不要漏乘项，去括号时注意符号变化，先化简后代入的思路能有效提升计算准确率和效率。
【难度系数】
0.7
