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16. 关于$x$的多项式乘多项式$(x^2 - 3x - 2)(ax + 1)$，若结果中不含有$x$的一次项，求代数式$2a(2a + 1) - (2a + 1)(2a - 1) + 1$的值。
答案
16. $(x^2-3x-2)(ax+1)=ax^3+x^2-3ax^2-3x-2ax-2=ax^3+(1-3a)x^2-(3+2a)x-2$. $\because$ 结果中不含有$x$的一次项，$\therefore 3+2a=0$，解得$a=-1.5$. $\therefore 2a(2a+1)-(2a+1)(2a-1)+1=4a^2+2a-4a^2+2a-2a+1+1=2a+2=-1$
解析
【分析】
解题分两步推进：第一步先运用多项式乘多项式法则展开两个多项式的乘积，合并同类项后定位x的一次项的系数，由于结果不含x的一次项，因此一次项系数为0，据此列方程求出a的值；第二步先利用单项式乘多项式、平方差公式等整式运算法则化简待求的代数式，再将a的值代入化简后的式子计算，即可得到最终结果。
【解析】
首先展开多项式乘积：
$\begin{aligned}(x^2 - 3x - 2)(ax + 1)&=x^2· ax + x^2·1 - 3x· ax - 3x·1 - 2· ax - 2·1\\&=ax^3 + x^2 - 3ax^2 - 3x - 2ax - 2\\&=ax^3 + (1-3a)x^2 - (3+2a)x - 2\end{aligned}$
∵结果中不含有x的一次项，
∴x的一次项系数为0，即：
$3+2a=0$
解得$a=-1.5$
接下来化简待求代数式：
$\begin{aligned}&\quad2a(2a+1)-(2a+1)(2a-1)+1\\&=4a^2 + 2a - (4a^2 - 1) + 1\\&=4a^2 + 2a - 4a^2 + 1 + 1\\&=2a + 2\end{aligned}$
将$a=-1.5$代入$2a+2$得：
$2×(-1.5) + 2 = -3 + 2 = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
多项式乘多项式；整式化简求值；多项式不含项的条件
【点评】
本题是整式运算的常考题型，解题核心是掌握“多项式不含某一项则该项系数为0”的规则，先求参数值再代入化简后的式子计算，可有效减少运算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.6
解题分两步推进：第一步先运用多项式乘多项式法则展开两个多项式的乘积，合并同类项后定位x的一次项的系数，由于结果不含x的一次项，因此一次项系数为0，据此列方程求出a的值；第二步先利用单项式乘多项式、平方差公式等整式运算法则化简待求的代数式，再将a的值代入化简后的式子计算，即可得到最终结果。
【解析】
首先展开多项式乘积：
$\begin{aligned}(x^2 - 3x - 2)(ax + 1)&=x^2· ax + x^2·1 - 3x· ax - 3x·1 - 2· ax - 2·1\\&=ax^3 + x^2 - 3ax^2 - 3x - 2ax - 2\\&=ax^3 + (1-3a)x^2 - (3+2a)x - 2\end{aligned}$
∵结果中不含有x的一次项，
∴x的一次项系数为0，即：
$3+2a=0$
解得$a=-1.5$
接下来化简待求代数式：
$\begin{aligned}&\quad2a(2a+1)-(2a+1)(2a-1)+1\\&=4a^2 + 2a - (4a^2 - 1) + 1\\&=4a^2 + 2a - 4a^2 + 1 + 1\\&=2a + 2\end{aligned}$
将$a=-1.5$代入$2a+2$得：
$2×(-1.5) + 2 = -3 + 2 = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
多项式乘多项式；整式化简求值；多项式不含项的条件
【点评】
本题是整式运算的常考题型，解题核心是掌握“多项式不含某一项则该项系数为0”的规则，先求参数值再代入化简后的式子计算，可有效减少运算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.6
17. 在莹莹住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为$(6a + 5b)\mathrm{m}$、宽为$(5b - a)\mathrm{m}$的长方形草坪上修建一横、一竖互相垂直且宽度均为$a\mathrm{m}$的通道.
（1）用含$a$、$b$的式子表示剩余草坪的面积；
（2）若$a = 1$，$b = 3$，求剩余草坪的面积.
（1）用含$a$、$b$的式子表示剩余草坪的面积；
（2）若$a = 1$，$b = 3$，求剩余草坪的面积.
答案
(1) 由题意，得剩余草坪的面积为：$(5b-a-a)(6a+5b-a)=(5b-2a)(5a+5b)=25b^2-10a^2+25ab-10ab=(25b^2-10a^2+15ab)\ \mathrm{m^2}$ (2) 当$a=1$，$b=3$时，$25b^2-10a^2+15ab=25×3^2-10×1^2+15×1×3=260(\mathrm{m^2})$，即剩余草坪的面积是$260\ \mathrm{m^2}$
解析
【分析】
要计算剩余草坪的面积，可采用平移法：将四块分散的草坪向中间平移，拼接为一个新的长方形，只需计算新长方形的面积即可。首先确定新长方形的长和宽：原长方形竖直方向长度为$(6a+5b)\mathrm{m}$，减去横向通道的宽度$a\mathrm{m}$，得到新长方形的长；原长方形水平方向宽度为$(5b-a)\mathrm{m}$，减去竖向通道的宽度$a\mathrm{m}$，得到新长方形的宽。再根据长方形面积公式列代数式，用多项式乘多项式法则展开化简得到第一问结果。第二问将$a=1$、$b=3$代入第一问的代数式，按运算顺序计算即可。
【解析】
（1）平移拼接后，剩余草坪为长$(6a+5b-a)$、宽$(5b-a-a)$的长方形：
$\begin{aligned}\mathrm{剩余草坪面积}&=(6a+5b-a)(5b-a-a)\\&=(5a+5b)(5b-2a)\\&=5a·5b +5a·(-2a)+5b·5b +5b·(-2a)\\&=25ab-10a^2+25b^2-10ab\\&=(25b^2+15ab-10a^2)\ \mathrm{m^2}\end{aligned}$
（2）当$a=1$，$b=3$时，代入上述代数式：
$\begin{aligned}\mathrm{剩余草坪面积}&=25×3^2 +15×1×3 -10×1^2\\&=25×9+45-10\\&=225+45-10\\&=260(\mathrm{m^2})\end{aligned}$
【答案】
（1）$(25b^2+15ab-10a^2)\ \mathrm{m^2}$；（2）$260\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
多项式乘多项式，列代数式，代数式求值
【点评】
本题考查整式运算在几何面积实际问题中的应用，平移拼接图形的方法可以简化计算步骤，解题时需注意多项式乘法不要漏乘错项，代入求值要遵循运算顺序保证计算准确。
【难度系数】
0.7
要计算剩余草坪的面积，可采用平移法：将四块分散的草坪向中间平移，拼接为一个新的长方形，只需计算新长方形的面积即可。首先确定新长方形的长和宽：原长方形竖直方向长度为$(6a+5b)\mathrm{m}$，减去横向通道的宽度$a\mathrm{m}$，得到新长方形的长；原长方形水平方向宽度为$(5b-a)\mathrm{m}$，减去竖向通道的宽度$a\mathrm{m}$，得到新长方形的宽。再根据长方形面积公式列代数式，用多项式乘多项式法则展开化简得到第一问结果。第二问将$a=1$、$b=3$代入第一问的代数式，按运算顺序计算即可。
【解析】
（1）平移拼接后，剩余草坪为长$(6a+5b-a)$、宽$(5b-a-a)$的长方形：
$\begin{aligned}\mathrm{剩余草坪面积}&=(6a+5b-a)(5b-a-a)\\&=(5a+5b)(5b-2a)\\&=5a·5b +5a·(-2a)+5b·5b +5b·(-2a)\\&=25ab-10a^2+25b^2-10ab\\&=(25b^2+15ab-10a^2)\ \mathrm{m^2}\end{aligned}$
（2）当$a=1$，$b=3$时，代入上述代数式：
$\begin{aligned}\mathrm{剩余草坪面积}&=25×3^2 +15×1×3 -10×1^2\\&=25×9+45-10\\&=225+45-10\\&=260(\mathrm{m^2})\end{aligned}$
【答案】
（1）$(25b^2+15ab-10a^2)\ \mathrm{m^2}$；（2）$260\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
多项式乘多项式，列代数式，代数式求值
【点评】
本题考查整式运算在几何面积实际问题中的应用，平移拼接图形的方法可以简化计算步骤，解题时需注意多项式乘法不要漏乘错项，代入求值要遵循运算顺序保证计算准确。
【难度系数】
0.7
18. 在一次测试中，甲、乙两位同学计算同一道整式乘法：$(2x+a)(3x+b)$。甲由于抄错了第一个多项式中$a$的符号，得到的结果为$6x^2 +11x -10$；乙由于漏抄了第二个多项式中$x$的系数，得到的结果为$2x^2 -9x +10$。
（1）试求出式子中$a$、$b$的值；
（2）请计算出这道整式乘法的正确结果。
（1）试求出式子中$a$、$b$的值；
（2）请计算出这道整式乘法的正确结果。
答案
(1) 由题意，得$(2x-a)(3x+b)=6x^2+(2b-3a)x-ab=6x^2+11x-10$，$(2x+a)(x+b)=2x^2+(a+2b)x+ab=2x^2-9x+10$. $\therefore 2b-3a=11$，$a+2b=-9$. 解得$a=-5$，$b=-2$ (2) 当$a=-5$，$b=-2$时，$(2x+a)(3x+b)=(2x-5)(3x-2)=6x^2-19x+10$
解析
【分析】
解题时先根据甲、乙两人的错误情况，还原两人实际计算的整式乘法算式：甲抄错第一个多项式中$a$的符号，即把$(2x+a)$错看成$(2x-a)$，实际计算的是$(2x-a)(3x+b)$；乙漏抄第二个多项式中$x$的系数，即把$(3x+b)$错看成$(x+b)$，实际计算的是$(2x+a)(x+b)$。将两个错误算式展开后，根据多项式相等时对应项系数相等的性质，即可得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组就能求出$a$、$b$的值；最后将$a$、$b$代入原式计算，即可得到整式乘法的正确结果。
【解析】
(1) 由题意得：
甲计算的算式为$(2x-a)(3x+b)$，展开可得：
$(2x-a)(3x+b)=6x^2+(2b-3a)x-ab$
已知甲的计算结果为$6x^2 +11x -10$，对应系数相等得：$2b-3a=11$ ①
乙计算的算式为$(2x+a)(x+b)$，展开可得：
$(2x+a)(x+b)=2x^2+(a+2b)x+ab$
已知乙的计算结果为$2x^2 -9x +10$，对应系数相等得：$a+2b=-9$ ②
联立①②，用①$-$②得：$-4a=20$，解得$a=-5$
将$a=-5$代入②得：$-5+2b=-9$，解得$b=-2$
(2) 将$a=-5$，$b=-2$代入原式$(2x+a)(3x+b)$得：
$(2x-5)(3x-2)=6x^2-4x-15x+10=6x^2-19x+10$
【答案】
(1) $a=-5$，$b=-2$；(2) $6x^2-19x+10$
【知识点】
多项式乘多项式，二元一次方程组求解，整式运算
【点评】
本题属于整式乘法的典型应用题型，解题关键是结合错误运算场景还原实际计算的算式，利用多项式对应系数相等的性质建立方程求解参数，能有效考查学生的逻辑分析能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
解题时先根据甲、乙两人的错误情况，还原两人实际计算的整式乘法算式：甲抄错第一个多项式中$a$的符号，即把$(2x+a)$错看成$(2x-a)$，实际计算的是$(2x-a)(3x+b)$；乙漏抄第二个多项式中$x$的系数，即把$(3x+b)$错看成$(x+b)$，实际计算的是$(2x+a)(x+b)$。将两个错误算式展开后，根据多项式相等时对应项系数相等的性质，即可得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组就能求出$a$、$b$的值；最后将$a$、$b$代入原式计算，即可得到整式乘法的正确结果。
【解析】
(1) 由题意得：
甲计算的算式为$(2x-a)(3x+b)$，展开可得：
$(2x-a)(3x+b)=6x^2+(2b-3a)x-ab$
已知甲的计算结果为$6x^2 +11x -10$，对应系数相等得：$2b-3a=11$ ①
乙计算的算式为$(2x+a)(x+b)$，展开可得：
$(2x+a)(x+b)=2x^2+(a+2b)x+ab$
已知乙的计算结果为$2x^2 -9x +10$，对应系数相等得：$a+2b=-9$ ②
联立①②，用①$-$②得：$-4a=20$，解得$a=-5$
将$a=-5$代入②得：$-5+2b=-9$，解得$b=-2$
(2) 将$a=-5$，$b=-2$代入原式$(2x+a)(3x+b)$得：
$(2x-5)(3x-2)=6x^2-4x-15x+10=6x^2-19x+10$
【答案】
(1) $a=-5$，$b=-2$；(2) $6x^2-19x+10$
【知识点】
多项式乘多项式，二元一次方程组求解，整式运算
【点评】
本题属于整式乘法的典型应用题型，解题关键是结合错误运算场景还原实际计算的算式，利用多项式对应系数相等的性质建立方程求解参数，能有效考查学生的逻辑分析能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
