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三、解答题(共52分)
9.(16分)(2024·钟楼区二模)已知二次函数$y=-x^2 -4x + m$.
(1)若该二次函数的最大值为$2m$,求$m$的值;
(2)若该二次函数的图像向右平移2个单位长度,向下平移4个单位长度后得到的新二次函数的图像与$x$轴有2个交点,求$m$的取值范围.
9.(16分)(2024·钟楼区二模)已知二次函数$y=-x^2 -4x + m$.
(1)若该二次函数的最大值为$2m$,求$m$的值;
(2)若该二次函数的图像向右平移2个单位长度,向下平移4个单位长度后得到的新二次函数的图像与$x$轴有2个交点,求$m$的取值范围.
答案
解：$(1)$∵二次函数的表达式为$y=-x^2-4x + m=-(x + 2)^2+m + 4，$ ∴当$x=-2$时，二次函数有最大值为$m + 4.$ ∵该二次函数的最大值为$2m，$ ∴$m + 4=2m，$ ∴$m = 4.$$ (2)$把二次函数$y=-(x + 2)^2+m + 4$的图像向右平移$2$个单位长度，向下平移$4$个单位长度后得到新二次函数$y=-(x + 2 - 2)^2+m + 4 - 4=-x^2+m $的图像， ∵平移后的抛物线与$x$轴有$2$个交点，且抛物线开口向下， ∴平移后的抛物线顶点一定在$x$轴上方， ∴$m＞0.$
10.(18分)(2024·淮安期末)在一场篮球赛中,队员甲传球给乙,出手后篮球的高度y(米)与飞出的水平距离x(米)满足$y=-\frac{1}{9}(x-4)^2+4$.
(1)这次传球的出手高度是________米,当篮球飞行的水平距离为________米时,达到最大高度,最大高度是________米.
(2)队员乙在篮球飞行方向上距甲6米处,他的最大摸高是3米,他在原地能接到球吗?若能接到,请计算说明;若不能接到,他应该前进或后退多少米才能接到?
(3)球场界线在甲的传球方向前方9米处,若未能成功传球,篮球是否会出界?
(1)这次传球的出手高度是________米,当篮球飞行的水平距离为________米时,达到最大高度,最大高度是________米.
(2)队员乙在篮球飞行方向上距甲6米处,他的最大摸高是3米,他在原地能接到球吗?若能接到,请计算说明;若不能接到,他应该前进或后退多少米才能接到?
(3)球场界线在甲的传球方向前方9米处,若未能成功传球,篮球是否会出界?
答案
$\frac{20}{9}$ ; 4
; 4
; 解：(2)当$x = 6$时，$y=-\frac{1}{9}(6 - 4)^{2}+4=\frac{32}{9}＞3，$ ∴他在原地不能接到球. 当$y = 3$时，$3=-\frac{1}{9}(x - 4)^{2}+4，$ 移项可得$\frac{1}{9}(x - 4)^{2}=1，$ 两边同时乘以9得$(x - 4)^{2}=9，$ 开平方得$x - 4=\pm3，$ 解得$x_1 = 1，$$x_2 = 7，$ $6 - 1=5，$$7 - 6=1，$ ∴他应该后退$1$米或前进$5$米才能接到球$.$ (3)当$y = 0$时，$0=-\frac{1}{9}(x - 4)^{2}+4，$ 移项可得$\frac{1}{9}(x - 4)^{2}=4，$ 两边同时乘以9得$(x - 4)^{2}=36，$ 开平方得$x - 4=\pm6，$ 解得$x_1 = 10，$$x_2=-2$(舍去). ∵$10＞9，$ ∴篮球会出界.
; 4
; 解：(2)当$x = 6$时，$y=-\frac{1}{9}(6 - 4)^{2}+4=\frac{32}{9}＞3，$ ∴他在原地不能接到球. 当$y = 3$时，$3=-\frac{1}{9}(x - 4)^{2}+4，$ 移项可得$\frac{1}{9}(x - 4)^{2}=1，$ 两边同时乘以9得$(x - 4)^{2}=9，$ 开平方得$x - 4=\pm3，$ 解得$x_1 = 1，$$x_2 = 7，$ $6 - 1=5，$$7 - 6=1，$ ∴他应该后退$1$米或前进$5$米才能接到球$.$ (3)当$y = 0$时，$0=-\frac{1}{9}(x - 4)^{2}+4，$ 移项可得$\frac{1}{9}(x - 4)^{2}=4，$ 两边同时乘以9得$(x - 4)^{2}=36，$ 开平方得$x - 4=\pm6，$ 解得$x_1 = 10，$$x_2=-2$(舍去). ∵$10＞9，$ ∴篮球会出界.
11.(18分)如图,二次函数$y=ax^2+2x+c$的图像与$x$轴交于$A,B$两点,点$A$的坐标为$(-1,0)$,与$y$轴交于点$C(0,3)$,$E$为$AB$的中点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)在直线$BC$上方的抛物线上存在点$Q$,使得$∠ QCB=2∠ ABC$,求点$Q$的坐标;
(3)已知$D,F$为抛物线上不与$A,B$重合的相异两点.若点$F$与点$C$重合,点$D$的坐标为$(m, -12)$,且$m＞1$,求证:$D,E,F$三点共线.
(1)求二次函数的表达式;
(2)在直线$BC$上方的抛物线上存在点$Q$,使得$∠ QCB=2∠ ABC$,求点$Q$的坐标;
(3)已知$D,F$为抛物线上不与$A,B$重合的相异两点.若点$F$与点$C$重合,点$D$的坐标为$(m, -12)$,且$m＞1$,求证:$D,E,F$三点共线.
答案
解：(1)将$A(-1,0)，$$C(0,3)$代入$y=ax^{2}+2x + c，$ 得$\begin{cases}a - 2 + c=0\\c = 3\end{cases}，$ 将$c = 3$代入$a - 2 + c=0$得$a-2 + 3=0，$即$a=-1，$ 解得$\begin{cases}a=-1\\c = 3\end{cases}，$ ∴二次函数的表达式为$y=-x^{2}+2x + 3.$ (2)解：对于$y=-x^{2}+2x + 3，$令$y = 0，$ 则$-x^{2}+2x + 3=0，$ 变形为$x^{2}-2x - 3=0，$ 因式分解得$(x + 1)(x - 3)=0，$ 解得$x_1=-1，$$x_2 = 3，$ ∴$B(3,0)，$ ∴$OB=OC = 3，$ ∴$\triangle OBC$是等腰直角三角形， ∴$∠OCB=∠ABC = 45°.$ ∵$∠QCB=2∠ABC，$ ∴$∠QCB=90°，$ 如答图，过点$C$作$CQ\perp BC$交抛物线于点$Q，$过点$Q$作$QG\perp y$轴于点$G，$ ∴$∠GCQ=90°-∠OCB = 45°，$ ∴$\triangle GCQ$是等腰直角三角形， ∴$CG=QG.$ 设$Q(q,-q^{2}+2q + 3)，$则$G(0,-q^{2}+2q + 3)，$ ∴$CG=-q^{2}+2q，$$GQ=q，$ ∴$-q^{2}+2q=q，$ 移项得$q^{2}-q = 0，$ 因式分解得$q(q - 1)=0，$ 解得$q = 0$(舍去)或$q = 1，$ ∴$Q(1,4).$$ (3)$证明： ∵点$F$与点$C$重合， ∴$F(0,3).$ ∵$E$为$AB$的中点，$A(-1,0)，$$B(3,0)，$ ∴$E(1,0)，$ 设直线$EF$的函数表达式为$y=kx + b(k\neq0)，$将$E(1,0)，$$F(0,3)$代入， 得$\begin{cases}k + b=0\\b = 3\end{cases}，$ 将$b = 3$代入$k + b=0$得$k+3=0，$即$k=-3，$ 解得$\begin{cases}k=-3\\b = 3\end{cases}，$ ∴$y=-3x + 3.$ 将$D(m,-12)$代入$y=-x^{2}+2x + 3，$得$-12=-m^{2}+2m + 3，$ 移项得$m^{2}-2m - 15=0，$ 因式分解得$(m - 5)(m + 3)=0，$ 解得$m_1=-3，$$m_2 = 5.$ ∵$m＞1，$ ∴$m = 5，$ ∴$D(5,-12).$ 在$y=-3x + 3$中，当$x = 5$时，$y=-3×5 + 3=-12，$ ∴点$D$在直线$EF$上，即$D，$$E，$$F$三点共线. ;
