1. 如图,小明以抛物线为灵感,在平面直角坐标系中设计了一款高 OD 为 14 cm 的奖杯,杯体轴截面ABC 是抛物线 $y=\frac{4}{9}x^2+5$ 的一部分,则杯口的口径 AC 为（ ）
A. 7 cm
B. 8 cm
C. 9 cm
D. 10 cm

C

2.（教材P51探究3变式）如图所示为一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，则当水面下降________米时，水面宽8米.

$\frac{14}{9}$

3. 如图所示为一座拱桥,当水面宽 AB 为 12 m 时,桥洞顶部离水面 4 m.已知桥洞的拱形是抛物线,以水平方向为 x 轴,建立平面直角坐标系.若选取 A 为坐标原点时的抛物线对应的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{9}(x-6)^2+4$,则选取 B 为坐标原点时的抛物线对应的函数解析式为________.

$y = -\frac{1}{9}(x + 6)^2 + 4$

4.（教材P49问题变式）小华酷爱足球运动，一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度$h$（m）与足球被踢出后经过的时间$t$（s）之间的关系为$h=-5t^2+12t$，则足球距地面的最大高度是______m.

$7.2$

5. (2024·海门期末)如图,要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,高度为3 m,水柱落在距离池中心3~4 m处(包含3 m和4 m).
(1) 选择适当的点为原点,画出平面直角坐标系;
(2) 求水管长度$d$(m)的取值范围.

解：（1）如图，以喷水池中心为坐标原点，以水管所在直线为$y$轴，以垂直于水管的水平直线为$x$轴，建立平面直角坐标系。 （2）$\because$抛物线形水柱在与池中心的水平距离为$1\ m$处达到最高，高度为$3\ m，$$\therefore$设抛物线对应的函数解析式为$y = a(x - 1)^2 + 3。$ 若$0\leq x\leq3，$把$(3,0)$代入函数解析式，得$0 = a\times(3 - 1)^2 + 3，$ 即$4a+3 = 0，$ $4a=-3，$ 解得$a = -\frac{3}{4}。$ $\therefore$抛物线对应的函数解析式为$y = -\frac{3}{4}(x - 1)^2 + 3，$当$x = 0$时，$y = -\frac{3}{4}\times(0 - 1)^2 + 3=-\frac{3}{4}+3=\frac{9}{4}。$$\therefore d = \frac{9}{4}。$ 若$0\leq x\leq4，$把$(4,0)$代入函数解析式，得$0 = a\times(4 - 1)^2 + 3，$ 即$9a+3 = 0，$ $9a=-3，$ 解得$a = -\frac{1}{3}。$ $\therefore$抛物线对应的函数解析式为$y = -\frac{1}{3}(x - 1)^2 + 3，$当$x = 0$时，$y = -\frac{1}{3}\times(0 - 1)^2 + 3=-\frac{1}{3}+3=\frac{8}{3}。$$\therefore d = \frac{8}{3}。$ $\because$水柱落在距离池中心$3～4\ m$处（包含$3\ m$和$4\ m$），$\therefore$水管长度$d(m)$的取值范围为$\frac{9}{4}\leq d\leq\frac{8}{3}。$ ;