10. 若二次函数$y=(m-1)x^{m^2+1}$的图象开口向下，则$m$的值为______．

$-1$

11. 如图,正方形四个顶点的坐标依次为$(1,1),(3,1),(3,3),(1,3)$.若抛物线$y=ax^2$与正方形有公共点,则实数$a$的取值范围是$\underline{\hspace{3em}}$.

$\frac{1}{9}\leq a\leq3$

12. 如图，菱形OABC的顶点O，A，C在抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$上，其中O为坐标原点，对角线OB在y轴上，且$OB=2$，则菱形OABC的面积是______．

$2\sqrt{3}$

13. 如图,在平面直角坐标系中,点$A(2,-4)$在抛物线$y=ax^2$上,过点$A$作$y$轴的垂线,交抛物线于另一点$B$,点$C,D$在线段$AB$上,分别过点$C,D$作$x$轴的垂线,交抛物线于$E,F$两点,连接$EF$.
(1) 求$a$的值;
(2) 当四边形$CDFE$为正方形时,求正方形$CDFE$的周长.

解：（1）把$A(2,-4)$代入$y = ax^{2}，$得$-4 = 4a，$ 解得$a = -1。$ （2）设点$C$的横坐标为$m(m\gt0)。$ 因为四边形$CDFE$为正方形，所以$CD = CE = 2m，$点$E$的坐标为$(m,-4 + 2m)。$ 因为$a = -1，$所以$y = -x^{2}。$ 则$-m^{2}=-4 + 2m，$ 即$m^{2}+2m - 4 = 0，$ 根据求根公式$m=\frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\times1\times(-4)}}{2\times1}=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2}=-1\pm\sqrt{5}，$ 因为$m\gt0，$所以$m=-1+\sqrt{5}。$ $CD = 2m=-2 + 2\sqrt{5}，$ 正方形$CDFE$的周长为$4CD = 4(-2 + 2\sqrt{5})=-8 + 8\sqrt{5}。$

14. 如图,抛物线$y=ax^2$与直线$y=2x-3$交于点$(1,b)$.
（1）求抛物线对应的函数解析式,并写出顶点坐标和对称轴；
（2）抛物线与直线交于$A$,$B$两点(点$A$在点$B$的右侧),连接$OA$,$OB$,求$△ AOB$的面积；
（3）若$P$为直线$AB$上方抛物线$y=ax^2$上的一点,且$S_{△ ABP}=S_{△ AOB}$,求点$P$的坐标.

解：（1）将$(1,b)$代入$y = 2x - 3，$得$b = 2\times1 - 3=-1。$ 将$(1,-1)$代入$y = ax^{2}，$得$-1 = a\cdot1^{2}，$ 解得$a = -1。$ 所以抛物线对应的函数解析式为$y = -x^{2}，$顶点坐标为$(0,0)，$对称轴为$y$轴。 （2）令$-x^{2}=2x - 3，$ 即$x^{2}+2x - 3 = 0，$ 因式分解得$(x + 3)(x - 1)=0，$ 解得$x_{1}=-3，$$x_{2}=1。$ 当$x = -3$时，$y = -9；$当$x = 1$时，$y = -1。$ 所以$A(1,-1)，$$B(-3,-9)。$ $S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}\times(1 + 9)\times[1 - (-3)]-\frac{1}{2}\times3\times9-\frac{1}{2}\times1\times1$ $=\frac{1}{2}\times10\times4-\frac{27}{2}-\frac{1}{2}$ $=20 - 14=6。$ （3）过点$O$作$OP// AB，$交抛物线于点$P，$连接$AP，$$BP。$此时$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle ABP}。$ 因为直线$AB$：$y = 2x - 3，$所以直线$OP$对应的函数解析式为$y = 2x。$ 联立$\begin{cases}y = 2x\\y = -x^{2}\end{cases}，$ 将$y = 2x$代入$y = -x^{2}$得$2x=-x^{2}，$ 即$x^{2}+2x = 0，$ $x(x + 2)=0，$ 解得$\begin{cases}x_{1}=0\\y_{1}=0\end{cases}，$$\begin{cases}x_{2}=-2\\y_{2}=-4\end{cases}。$ 因为点$O$的坐标为$(0,0)，$所以点$P$的坐标为$(-2,-4)。$ ;