7. 用适当的方法解下列方程.
(1)$\frac{1}{2}(y+2)^2 - 6 = 0$；
(2)$x^2 + 4x - 1 = 0$；
(3)$3x^2 - 1 = 6x$；
(4)$2(x - 4)^2 = x^2 - 16$.

解：原方程可变形为$(y + 2)^2 = 12，$ 直接开平方，得$y + 2 = \pm2\sqrt{3}，$ $\therefore y_1 = 2\sqrt{3} - 2，$$y_2 = -2\sqrt{3} - 2。$ ; 解：移项，得​$x^2 + 4x = 1$​ 配方，得​$x^2 + 4x + 4 = 1 + 4，$​即​$(x + 2)^2 = 5$​ 直接开平方，得​$x + 2 = \pm \sqrt 5$​ ∴​$x_{1} = -2 + \sqrt 5，$​​$x_{2} = -2 - \sqrt 5$​ ; 解：移项，得​$3x^2 - 6x - 1 = 0$​ ∴​$b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4×3×(-1) = 48＞0$​ ∴​$x = \frac {6\pm 4\sqrt 3}6$​ ∴​$x_{1} = \frac {3 + 2\sqrt 3}3，$​​$x_{2} = \frac {3 - 2\sqrt 3}3$​ ; 解：原方程可变形为​$2(x - 4)^2 - (x + 4)(x - 4) = 0$​ 提公因式，得​$(x - 4)[2(x - 4) - (x + 4)] = 0$​​$ $​即​$(x - 4)(x - 12) = 0$​ ∴​$x - 4 = 0$​或​$x - 12 = 0$​ ∴​$x_{1} = 4，$​​$x_{2} = 12$​

8. 若关于$x$的一元二次方程$kx^2 + 2x - 1 = 0$有实数根，则实数$k$的取值范围是 （ ）
A. $k≥ -1$
B. $k＞ -1$
C. $k≥ -1$且$k≠ 0$
D. $k＞ -1$且$k≠ 0$

C

9. 若一元二次方程$x^2 - 3x - 4 = 0$的两个实数根分别为$x_1$、$x_2$，则$(x_1 + 2)(x_2 + 2) =$______．

6

10. 已知关于$ x $的一元二次方程$ x^2 - 4x - 2m + 5 = 0 $有两个不相等的实数根.
(1)求实数$ m $的取值范围.
(2)若该方程的两个根是符号相同的整数,求整数$ m $的值.

解：​$(1)$​根据题意，得​$b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4×1×(-2\ \mathrm {m} + 5)＞0$​​$ 16 + 8\ \mathrm {m} - 20＞0$​​$ 8\ \mathrm {m} - 4＞0$​​$ 8\ \mathrm {m}＞4$​​$ $​解得​$m＞\frac 12$​​$ (2)$​设​$x_{1}、$​​$x_{2}$​是方程的两根 根据题意，得​$x_{1} + x_{2} = 4＞0，$​​$x_{1}x_{2} = -2\ \mathrm {m} + 5＞0$​​$ $​解得​$m＜\frac 52$​ ∴​$m $​的取值范围为​$\frac 12＜m＜\frac 52$​ ∵​$m $​为整数 ∴​$m = 1$​或​$m = 2($​不符合题意，舍去) ∴整数​$m $​的值为​$1$​

11. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 6x - k^2 = 0 $（$ k $ 为常数）。
(1)求证:方程有两个不相等的实数根。
(2)设 $ x_1 $、$ x_2 $ 为方程的两个实数根，且 $ x_1 + 2x_2 = 14 $，求出方程的两个实数根和 $ k $ 的值。

​$ (1)$​证明：∵​$b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4×1×(-k^2) = 36 + 4k^2＞0$​ ∴方程有两个不相等的实数根​$ (2)$​解：由根与系数的关系，得​$x_{1} + x_{2} = 6$​ 又∵​$x_{1} + 2x_{2} = 14$​​$ $​联立方程组​$\begin {cases}x_{1} + x_{2} = 6\\x _{1} + 2x_{2} = 14\end {cases}，$​解得​$\begin {cases}{x_{1} = -2}\\{x_{2}=8}\end {cases}$​​$ $​把​$x_{1} = -2$​代入原方程，得​$(-2)^2 - 6×(-2) - k^2 = 0$​​$ 4 + 12 - k^2 = 0，$​​$k^2 = 16$​ ∴​$k = \pm 4$​

12. 一款服装每件进价为80元，当销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件.
(1)设每件服装降价$ x $元，则每天销售量增加________件，每件商品盈利________元.（用含$ x $的代数式表示）
(2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？
(3)商家能达到平均每天盈利1500元吗？请说明你的理由.

$2x$ ; $(40 - x)$ ; 解：​$(2)$​设每件服装降价​$x$​元，则每件服装的销售利润为​$(40 - x)$​元，平均每天的销售量为​$(20 + 2x)$​件 根据题意，得​$(40 - x)(20 + 2x) = 1200$​​$ 800 + 80x - 20x - 2x^2 = 1200$​​$ -2x^2 + 60x - 400 = 0$​​$ x^2 - 30x + 200 = 0$​​$ $​因式分解得​$(x - 10)(x - 20) = 0$​​$ $​解得​$x_{1} = 10，$​​$x_{2} = 20$​ 又∵需要让利于顾客，∴​$x = 20$​ 答：每件服装降价​$20$​元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利​$1200$​元。​$ (3)$​商家不能达到平均每天盈利​$1500$​元。 理由如下：设每件服装降价​$y$​元，则每件的销售利润为​$(120 - y - 80)$​元，平均每天的销售量为​$(20 + 2y)$​件 根据题意，得​$(40 - y)(20 + 2y) = 1500$​​$ 800 + 80y - 20y - 2y^2 = 1500$​​$ -2y^2 + 60y - 700 = 0$​​$ y^2 - 30y + 350 = 0$​ ∵​$b^2 - 4ac = (-30)^2 - 4×1×350 = 900 - 1400 = -500＜0$​ ∴此方程无实数解，故商家不可能达到平均每天盈利​$1500$​元。