1. （2025·南京模拟）如图，$\odot O$的半径为$r$，点$P$在$\odot O$外。按下列要求分别求作一条直线$l$，使$l$过点$P$，并交$\odot O$于点$A$，$B$。要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明。
（1）$PB - PA = r$；
（2）$PB + PA = 2r$。

1. (1) 如图①,点A,B即为所求. 理由:由作图知, $\odot O'$ 是等边$△ POQ$的外接圆,$\therefore ∠ PBO= ∠ PQO=60°$,连结 $OA,OB,\because OA=OB$,$\therefore △ OAB$ 是等边三角形,$\therefore AB=OA=r$,$\therefore PB-PA=AB=r$.
(2) 如图②,点A,B即为所求.
理由:由作图知,$PQ=r$,连结 $OQ$,$\because PO$ 是 $\odot O'$ 的直径,$\therefore ∠ PQO=90°$,即 $OQ ⊥ AB$,$\therefore AQ=BQ$,$\therefore PA+PB=(PQ-AQ)+(PQ+BQ)=2PQ=2r$.

【分析】
（1）首先分析条件：点P在$\odot O$外，直线l过P交$\odot O$于A、B，三点顺序为P、A、B，因此$PB-PA=AB$，要满足$PB-PA=r$，只需截得的弦$AB=r$。结合$\odot O$半径为r，此时$△ OAB$为等边三角形，$∠ OBA=60°$，我们可以通过构造等边三角形、利用圆周角相等得到$60°$角确定B点位置，进而作出直线。
（2）同样分析线段和的关系：过O作AB的垂线，由垂径定理得垂足为AB中点，将PA、PB拆分后可得$PA+PB=2×$（P到垂足的距离），要满足$PB+PA=2r$，只需P到垂足的距离为r。利用直径所对圆周角为直角构造垂线，即可确定直线位置。
【解析】
（1）作图步骤：
① 连接OP，分别以P、O为圆心，OP长为半径画弧，两弧交于点Q，得到等边$△ POQ$；
② 作$△ POQ$的外接圆$\odot O'$，$\odot O'$与$\odot O$交于点B；
③ 作直线PB，交$\odot O$于另一点A，直线PB即为所求l。
（2）作图步骤：
① 连接OP，作OP的中点$O'$，以$O'$为圆心，$O'O$长为半径作$\odot O'$；
② 以P为圆心，r为半径画弧，交$\odot O'$于点Q；
③ 作直线PQ，交$\odot O$于A、B两点，直线PQ即为所求l。
【答案】
1. (1) 如图①,点A,B即为所求. 理由:由作图知, $\odot O'$ 是等边$△ POQ$的外接圆,$\therefore ∠ PBO= ∠ PQO=60°$,连结 $OA,OB,\because OA=OB$,$\therefore △ OAB$ 是等边三角形,$\therefore AB=OA=r$,$\therefore PB-PA=AB=r$.
(2) 如图②,点A,B即为所求.
理由:由作图知,$PQ=r$,连结 $OQ$,$\because PO$ 是 $\odot O'$ 的直径,$\therefore ∠ PQO=90°$,即 $OQ ⊥ AB$,$\therefore AQ=BQ$,$\therefore PA+PB=(PQ-AQ)+(PQ+BQ)=2PQ=2r$.

【知识点】
1. 尺规作图
2. 垂径定理
3. 圆周角定理
【点评】
本题将尺规作图与圆的性质结合，需要先将线段和差的条件转化为圆的弦的相关性质，再结合基本尺规作图方法构造符合要求的图形，考查了转化思想以及逻辑推理、动手操作的能力。
【难度系数】
0.4

2. (2025·泰安月考)现有一居民小区的圆柱形自来水管破裂,要及时更换,为此施工人员需知道水管的半径.如图,是水平放置的受损的自来水管管道截面图(阴影部分为水).
(1)请用直尺、圆规补全水管的圆形截面图;(不写作法,但应保留作图痕迹)
(2)若水面宽AB=24 cm,水面最深处为6 cm,试求水管的半径.

2. (1) 如图①,圆O即为所求.
(2) 如图②,连结OB,由题意得KF=6 cm,$\because ED$ 垂直平分线段AB,$\therefore KB=\frac{1}{2}AB=12$ cm,在$\mathrm{Rt}△ OKB$中,设半径$OB=r$,$OK=(r-6)$ cm,则$OK^2+KB^2=OB^2$,$\therefore (r-6)^2+12^2=r^2$,解得$r=15$,故水管的半径为15 cm.

【分析】
（1）补全圆形截面的核心是确定圆心，根据圆的性质：圆的任意两条弦的垂直平分线的交点为圆心，因此可以在AB上方的残缺圆弧上选取两个点，结合已知弦AB，分别作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心，再以圆心到A的距离为半径作圆即可补全截面。
（2）求水管半径时，可利用垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，过圆心作AB的垂线即可将AB分为相等的两段，构造出直角三角形，再设半径为未知数，利用勾股定理列方程即可求解。
【解析】
（1）在残缺的圆弧上除A、B外任意选取两点，分别作弦AB和另外两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O，以O为圆心，OA长为半径作圆，即可补全圆形截面，作图痕迹如图①所示。
（2）如图②，连接OB，设水管的半径为r cm。
由题意可知水面最深处KF=6 cm，
∵ ED垂直平分AB，AB=24 cm，
∴ KB=$\frac{1}{2}$AB=12 cm，OK=OF-KF=(r-6) cm，
在Rt△OKB中，根据勾股定理可得：$OK^2+KB^2=OB^2$，
代入数据得：$(r-6)^2+12^2=r^2$，
展开计算：$r^2-12r+36+144=r^2$，
移项化简得：$12r=180$，
解得：$r=15$。
【答案】
(1) 如图①,圆O即为所求.
(2) 水管的半径为15 cm.

【知识点】
尺规作图确定圆心；垂径定理；勾股定理的应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查圆的相关知识，既考查了尺规作图的实践能力，又考查了垂径定理与勾股定理结合解决实际问题的能力，解题的关键是利用垂径定理构造直角三角形，结合方程思想求解未知量。
【难度系数】
0.75

3. 如图,已知线段AB和直线l,在直线l上求作点P,使得$∠ APB = 45°$,尺规作图,保留作图痕迹.

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3. 如图,点$P_1,P_2$即为所求;由作图可知,$△ ABD$为等腰直角三角形,$\therefore ∠ ADB=45°$,由同弧所对的圆周角相等,得到$∠ APB=45°$.

【分析】
要在直线l上找到点P使∠APB=45°，可借助圆周角定理求解：同弧所对的圆周角相等，因此我们可以先构造一个以AB为弦、所对圆周角为45°的圆，该圆与直线l的交点即为所求点。首先构造等腰直角△ABD，使∠ADB=45°，此时弧AB所对的圆周角均为45°，再作△ABD的外接圆，取其与直线l的交点即可。
【解析】
作图步骤如下：
1. 过点B作AB的垂线，在垂线上截取BD=AB，此时△ABD为等腰直角三角形，可得∠ADB=45°；
2. 分别作线段AB、AD的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为△ABD外接圆的圆心O；
3. 以O为圆心，OA（或OB、OD）的长度为半径作圆，该圆与直线l交于$P_1$、$P_2$两点。
原理：根据圆周角定理，同弧AB所对的圆周角相等，因此$∠AP_1B=∠AP_2B=∠ADB=45°$，故$P_1$、$P_2$满足条件。
【答案】
点$P_1,P_2$即为所求，如图：

【知识点】
圆周角定理，尺规作图，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题将角度构造和尺规作图结合，核心是利用圆周角的性质把构造固定角度的问题转化为作对应外接圆与直线的交点，能有效考查对几何定理的灵活运用能力和作图实践能力。
【难度系数】
0.6