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1. 已知抛物线经过$A(-2,4),B(1,4),C(-4,-6)$三点,则该抛物线的表达式为
$y=-x^2-x+6$
.答案
1. $y=-x^2-x+6$
解析
【分析】
题目给出了抛物线上三个普通点的坐标，无顶点、与x轴交点等特殊信息，因此选择设二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$求解最简便。接下来只需将三个点的坐标分别代入一般式，得到关于$a、b、c$的三元一次方程组，解出三个系数后代回一般式，即可得到抛物线的表达式。
【解析】
设抛物线的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，将$A(-2,4)、B(1,4)、C(-4,-6)$分别代入表达式：
1. 代入$A(-2,4)$：$a·(-2)^2 + b·(-2) + c = 4$，整理得$4a-2b+c=4$ ①
2. 代入$B(1,4)$：$a·1^2 + b·1 + c = 4$，整理得$a+b+c=4$ ②
3. 代入$C(-4,-6)$：$a·(-4)^2 + b·(-4) + c = -6$，整理得$16a-4b+c=-6$ ③
用消元法解方程组：
①-②得：$3a-3b=0$，化简得$a=b$ ④
③-②得：$15a-5b=-10$，化简得$3a-b=-2$ ⑤
将④代入⑤得：$3a-a=-2$，解得$a=-1$，因此$b=a=-1$
将$a=-1,b=-1$代入②得：$-1-1+c=4$，解得$c=6$
将$a=-1,b=-1,c=6$代回一般式，得抛物线表达式。
【答案】
$y=-x^2-x+6$
【知识点】
1. 待定系数法
2. 二次函数一般式
3. 三元一次方程组求解
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，熟练掌握已知三点坐标时，用一般式结合待定系数法求解的思路即可，计算时注意选择简便的消元顺序，可减少计算失误。
【难度系数】
0.8
题目给出了抛物线上三个普通点的坐标，无顶点、与x轴交点等特殊信息，因此选择设二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$求解最简便。接下来只需将三个点的坐标分别代入一般式，得到关于$a、b、c$的三元一次方程组，解出三个系数后代回一般式，即可得到抛物线的表达式。
【解析】
设抛物线的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，将$A(-2,4)、B(1,4)、C(-4,-6)$分别代入表达式：
1. 代入$A(-2,4)$：$a·(-2)^2 + b·(-2) + c = 4$，整理得$4a-2b+c=4$ ①
2. 代入$B(1,4)$：$a·1^2 + b·1 + c = 4$，整理得$a+b+c=4$ ②
3. 代入$C(-4,-6)$：$a·(-4)^2 + b·(-4) + c = -6$，整理得$16a-4b+c=-6$ ③
用消元法解方程组：
①-②得：$3a-3b=0$，化简得$a=b$ ④
③-②得：$15a-5b=-10$，化简得$3a-b=-2$ ⑤
将④代入⑤得：$3a-a=-2$，解得$a=-1$，因此$b=a=-1$
将$a=-1,b=-1$代入②得：$-1-1+c=4$，解得$c=6$
将$a=-1,b=-1,c=6$代回一般式，得抛物线表达式。
【答案】
$y=-x^2-x+6$
【知识点】
1. 待定系数法
2. 二次函数一般式
3. 三元一次方程组求解
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，熟练掌握已知三点坐标时，用一般式结合待定系数法求解的思路即可，计算时注意选择简便的消元顺序，可减少计算失误。
【难度系数】
0.8
2. 已知某抛物线的顶点坐标为$(-2,1)$，且经过点$(2,13)$，则该抛物线的函数表达式为
$y=\frac{3}{4}(x+2)^2+1$
。答案
2. $y=\frac{3}{4}(x+2)^2+1$
解析
【分析】
已知抛物线的顶点坐标，优先选择二次函数的顶点式来求解解析式，可减少计算量。首先回忆二次函数顶点式的形式：当顶点坐标为$(h,k)$时，抛物线解析式可设为$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，代入已知顶点坐标后解析式仅含未知系数$a$，再将抛物线上已知点的坐标代入，解一元一次方程求出$a$的值，即可得到最终的函数表达式。
【解析】
解：
∵抛物线的顶点坐标为$(-2,1)$
∴设该抛物线的函数表达式为$y=a(x+2)^2+1(a≠0)$
将点$(2,13)$代入表达式，得：
$13=a×(2+2)^2+1$
即$13=16a+1$
解得$a=\frac{3}{4}$
将$a=\frac{3}{4}$代入所设表达式，得抛物线的函数表达式为$y=\frac{3}{4}(x+2)^2+1$
【答案】
$y=\frac{3}{4}(x+2)^2+1$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，解题核心是根据已知条件选择最简便的解析式形式，已知顶点时选用顶点式可大幅降低计算难度，熟练掌握待定系数法是求解这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
已知抛物线的顶点坐标，优先选择二次函数的顶点式来求解解析式，可减少计算量。首先回忆二次函数顶点式的形式：当顶点坐标为$(h,k)$时，抛物线解析式可设为$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，代入已知顶点坐标后解析式仅含未知系数$a$，再将抛物线上已知点的坐标代入，解一元一次方程求出$a$的值，即可得到最终的函数表达式。
【解析】
解：
∵抛物线的顶点坐标为$(-2,1)$
∴设该抛物线的函数表达式为$y=a(x+2)^2+1(a≠0)$
将点$(2,13)$代入表达式，得：
$13=a×(2+2)^2+1$
即$13=16a+1$
解得$a=\frac{3}{4}$
将$a=\frac{3}{4}$代入所设表达式，得抛物线的函数表达式为$y=\frac{3}{4}(x+2)^2+1$
【答案】
$y=\frac{3}{4}(x+2)^2+1$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，解题核心是根据已知条件选择最简便的解析式形式，已知顶点时选用顶点式可大幅降低计算难度，熟练掌握待定系数法是求解这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
3. ★★ (2025·杭州月考)已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线$y=-2x^2+9x$相同，且经过$(-1,0)$和$(3,0)$，则这条抛物线的表达式为
$y=-2x^2+4x+6$
。答案
3. $y=-2x^2+4x+6$
解析
【分析】
解题时首先明确：二次函数中二次项系数a决定抛物线的开口方向和形状大小，因此两条抛物线开口方向、形状相同时，二次项系数相等。本题已知待求抛物线与x轴的两个交点坐标，因此优先选择交点式设解析式，代入已知系数和交点坐标后整理为一般式即可得到结果。
【解析】
∵ 抛物线的形状、开口方向与$y=-2x^2+9x$相同
∴ 待求抛物线的二次项系数$a=-2$
∵ 抛物线经过$(-1,0)$和$(3,0)$，即抛物线与x轴的交点横坐标为$x_1=-1$，$x_2=3$
∴ 设抛物线的交点式为$y=a(x-x_1)(x-x_2)$，将$a=-2$、$x_1=-1$、$x_2=3$代入得：
$y=-2(x+1)(x-3)$
展开整理：
$y=-2(x^2-2x-3)$
$y=-2x^2+4x+6$
【答案】
$y=-2x^2+4x+6$
【知识点】
二次函数系数的意义；待定系数法求解析式；二次函数交点式
【点评】
本题属于二次函数基础应用题型，解题的关键是先根据抛物线的形状和开口方向确定二次项系数，再结合已知的交点特征选择交点式简化计算，避免复杂的解方程过程。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确：二次函数中二次项系数a决定抛物线的开口方向和形状大小，因此两条抛物线开口方向、形状相同时，二次项系数相等。本题已知待求抛物线与x轴的两个交点坐标，因此优先选择交点式设解析式，代入已知系数和交点坐标后整理为一般式即可得到结果。
【解析】
∵ 抛物线的形状、开口方向与$y=-2x^2+9x$相同
∴ 待求抛物线的二次项系数$a=-2$
∵ 抛物线经过$(-1,0)$和$(3,0)$，即抛物线与x轴的交点横坐标为$x_1=-1$，$x_2=3$
∴ 设抛物线的交点式为$y=a(x-x_1)(x-x_2)$，将$a=-2$、$x_1=-1$、$x_2=3$代入得：
$y=-2(x+1)(x-3)$
展开整理：
$y=-2(x^2-2x-3)$
$y=-2x^2+4x+6$
【答案】
$y=-2x^2+4x+6$
【知识点】
二次函数系数的意义；待定系数法求解析式；二次函数交点式
【点评】
本题属于二次函数基础应用题型，解题的关键是先根据抛物线的形状和开口方向确定二次项系数，再结合已知的交点特征选择交点式简化计算，避免复杂的解方程过程。
【难度系数】
0.8
4. 已知抛物线$y=3x^2+bx+c$与$y$轴的交点为$(0,3)$且经过点$(-\dfrac{1}{2},m)$和$(\dfrac{9}{2},m)$，则该抛物线的表达式为
$y=3x^2-12x+3$
。答案
4. $y=3x^2-12x+3$
解析
【分析】
已知抛物线的二次项系数a=3，要求解析式只需求出b、c的值即可：首先，抛物线与y轴的交点(0,3)代入解析式可直接求出c；其次，点(-$\dfrac{1}{2},m$)和($\dfrac{9}{2},m$)纵坐标相同，根据二次函数对称性，这两点关于对称轴对称，可算出两点横坐标的中点即为对称轴；最后结合对称轴公式$x=-\dfrac{b}{2a}$，代入已知的a和对称轴的值即可求出b，代入系数就能得到完整解析式。
【解析】
1. 求c的值：
∵抛物线$y=3x^2+bx+c$与y轴交于点$(0,3)$
将$x=0,y=3$代入解析式得：
$3=3×0^2 + b×0 + c$
解得$c=3$
2. 求抛物线对称轴：
∵点$(-\dfrac{1}{2},m)$和$(\dfrac{9}{2},m)$纵坐标相同，两点关于抛物线对称轴对称
∴对称轴为直线$x=\dfrac{-\dfrac{1}{2}+\dfrac{9}{2}}{2}=\dfrac{4}{2}=2$
3. 求b的值：
抛物线对称轴公式为$x=-\dfrac{b}{2a}$，已知$a=3$，对称轴$x=2$，代入得：
$2=-\dfrac{b}{2×3}$
解得$b=-12$
4. 整理得抛物线表达式：
将$a=3,b=-12,c=3$代入解析式，得$y=3x^2-12x+3$
【答案】
$y=3x^2-12x+3$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的对称性，二次函数对称轴公式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，解题关键是根据纵坐标相等的两点快速确定抛物线对称轴，结合已知条件即可求出未知系数，熟练掌握二次函数基本性质是解题的核心。
【难度系数】
0.8
已知抛物线的二次项系数a=3，要求解析式只需求出b、c的值即可：首先，抛物线与y轴的交点(0,3)代入解析式可直接求出c；其次，点(-$\dfrac{1}{2},m$)和($\dfrac{9}{2},m$)纵坐标相同，根据二次函数对称性，这两点关于对称轴对称，可算出两点横坐标的中点即为对称轴；最后结合对称轴公式$x=-\dfrac{b}{2a}$，代入已知的a和对称轴的值即可求出b，代入系数就能得到完整解析式。
【解析】
1. 求c的值：
∵抛物线$y=3x^2+bx+c$与y轴交于点$(0,3)$
将$x=0,y=3$代入解析式得：
$3=3×0^2 + b×0 + c$
解得$c=3$
2. 求抛物线对称轴：
∵点$(-\dfrac{1}{2},m)$和$(\dfrac{9}{2},m)$纵坐标相同，两点关于抛物线对称轴对称
∴对称轴为直线$x=\dfrac{-\dfrac{1}{2}+\dfrac{9}{2}}{2}=\dfrac{4}{2}=2$
3. 求b的值：
抛物线对称轴公式为$x=-\dfrac{b}{2a}$，已知$a=3$，对称轴$x=2$，代入得：
$2=-\dfrac{b}{2×3}$
解得$b=-12$
4. 整理得抛物线表达式：
将$a=3,b=-12,c=3$代入解析式，得$y=3x^2-12x+3$
【答案】
$y=3x^2-12x+3$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的对称性，二次函数对称轴公式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，解题关键是根据纵坐标相等的两点快速确定抛物线对称轴，结合已知条件即可求出未知系数，熟练掌握二次函数基本性质是解题的核心。
【难度系数】
0.8
5. ★★★ (2026·曲靖期中)已知抛物线$y=x^2+(m-3)x+1-2m$,不论$m$为何值,该函数的图象都会经过一个定点$P$,且直线$y=(1-m)x+3$经过点$P$,则该抛物线的表达式为
$y=x^2-5$
.答案
5. $y=x^2-5$
解析
【分析】
要解决本题，首先需处理含参数的二次函数过定点问题：因为抛物线经过的定点与m的取值无关，所以可以将抛物线表达式整理为含m的项和不含m的项两部分，令m的系数为0即可求出定点的横坐标，进而求出定点坐标；再将定点坐标代入已知直线方程求出参数m的值，最后将m代回原抛物线表达式即可得到结果。
【解析】
第一步：求抛物线经过的定点P
将抛物线表达式$y=x^2+(m-3)x+1-2m$整理为：
$y=x^2-3x+1+m(x-2)$
由于定点P的坐标与m的取值无关，因此m的系数为0，即：
$x-2=0$，解得$x=2$
将$x=2$代入上式，得$y=2^2-3×2+1=4-6+1=-1$
即定点P的坐标为$(2,-1)$
第二步：求参数m的值
已知直线$y=(1-m)x+3$经过点P，将$x=2,y=-1$代入直线方程：
$-1=(1-m)×2+3$
化简得：$-1=5-2m$
移项解得$2m=6$，即$m=3$
第三步：求抛物线的表达式
将$m=3$代入原抛物线表达式，得：
$y=x^2+(3-3)x+1-2×3=x^2-5$
【答案】
$y=x^2-5$
【知识点】
二次函数定点问题，一次函数点的坐标特征，求二次函数表达式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的常见题型，解题核心是掌握含参数函数过定点的求解逻辑：若函数过定点与参数无关，则参数的系数为0，再结合函数图象上的点满足对应函数解析式即可逐步推导。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先需处理含参数的二次函数过定点问题：因为抛物线经过的定点与m的取值无关，所以可以将抛物线表达式整理为含m的项和不含m的项两部分，令m的系数为0即可求出定点的横坐标，进而求出定点坐标；再将定点坐标代入已知直线方程求出参数m的值，最后将m代回原抛物线表达式即可得到结果。
【解析】
第一步：求抛物线经过的定点P
将抛物线表达式$y=x^2+(m-3)x+1-2m$整理为：
$y=x^2-3x+1+m(x-2)$
由于定点P的坐标与m的取值无关，因此m的系数为0，即：
$x-2=0$，解得$x=2$
将$x=2$代入上式，得$y=2^2-3×2+1=4-6+1=-1$
即定点P的坐标为$(2,-1)$
第二步：求参数m的值
已知直线$y=(1-m)x+3$经过点P，将$x=2,y=-1$代入直线方程：
$-1=(1-m)×2+3$
化简得：$-1=5-2m$
移项解得$2m=6$，即$m=3$
第三步：求抛物线的表达式
将$m=3$代入原抛物线表达式，得：
$y=x^2+(3-3)x+1-2×3=x^2-5$
【答案】
$y=x^2-5$
【知识点】
二次函数定点问题，一次函数点的坐标特征，求二次函数表达式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的常见题型，解题核心是掌握含参数函数过定点的求解逻辑：若函数过定点与参数无关，则参数的系数为0，再结合函数图象上的点满足对应函数解析式即可逐步推导。
【难度系数】
0.6
6. (2025·西安期中)在平面直角坐标系中,将一抛物线先向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的新抛物线的函数表达式为 $ y = -x^2 + 2x - 3 $,则原抛物线的函数表达式为
$y=-(x+1)^2+1$
.答案
6. $y=-(x+1)^2+1$
解析
【分析】
本题是二次函数平移的逆向推导问题，解题思路如下：1. 明确二次函数平移规律为“左加右减自变量，上加下减常数项”，已知平移后的解析式求原解析式，需将平移过程逆推：原抛物线向右移2、向下移3得到新抛物线，因此将新抛物线向左移2、向上移3即可得到原抛物线；2. 为方便平移计算，先将新抛物线的一般式通过配方转化为顶点式，再按照逆平移规则调整解析式即可。
【解析】
第一步：将新抛物线的一般式化为顶点式：
对$y = -x^2 + 2x - 3$配方：
$\begin{aligned}y&=-(x^2-2x)-3\\&=-(x^2-2x+1-1)-3\\&=-(x-1)^2 +1 -3\\&=-(x-1)^2 -2\end{aligned}$
第二步：逆平移求原抛物线解析式：
① 将新抛物线向左平移2个单位，自变量$x$替换为$x+2$，得：
$y=-(x+2 -1)^2 -2=-(x+1)^2 -2$
② 再将所得抛物线向上平移3个单位，常数项加3，得：
$y=-(x+1)^2 -2 +3=-(x+1)^2 +1$
【答案】
$y=-(x+1)^2+1$
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数一般式化顶点式
【点评】
本题考查二次函数的平移变换，核心是区分正向平移和逆向平移的操作方向，逆平移时移动方向与原平移方向相反，熟练运用配方法将一般式转化为顶点式能大幅降低平移计算的出错率。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数平移的逆向推导问题，解题思路如下：1. 明确二次函数平移规律为“左加右减自变量，上加下减常数项”，已知平移后的解析式求原解析式，需将平移过程逆推：原抛物线向右移2、向下移3得到新抛物线，因此将新抛物线向左移2、向上移3即可得到原抛物线；2. 为方便平移计算，先将新抛物线的一般式通过配方转化为顶点式，再按照逆平移规则调整解析式即可。
【解析】
第一步：将新抛物线的一般式化为顶点式：
对$y = -x^2 + 2x - 3$配方：
$\begin{aligned}y&=-(x^2-2x)-3\\&=-(x^2-2x+1-1)-3\\&=-(x-1)^2 +1 -3\\&=-(x-1)^2 -2\end{aligned}$
第二步：逆平移求原抛物线解析式：
① 将新抛物线向左平移2个单位，自变量$x$替换为$x+2$，得：
$y=-(x+2 -1)^2 -2=-(x+1)^2 -2$
② 再将所得抛物线向上平移3个单位，常数项加3，得：
$y=-(x+1)^2 -2 +3=-(x+1)^2 +1$
【答案】
$y=-(x+1)^2+1$
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数一般式化顶点式
【点评】
本题考查二次函数的平移变换，核心是区分正向平移和逆向平移的操作方向，逆平移时移动方向与原平移方向相反，熟练运用配方法将一般式转化为顶点式能大幅降低平移计算的出错率。
【难度系数】
0.7
7. 已知抛物线$y=x^2 -2x -1$.
(1)与此抛物线关于$x$轴对称的抛物线表达式为________;
(2)与此抛物线关于$y$轴对称的抛物线表达式为________.
(1)与此抛物线关于$x$轴对称的抛物线表达式为________;
(2)与此抛物线关于$y$轴对称的抛物线表达式为________.
答案
7. (1)$y=-(x-1)^2+2$
(2)$y=(x+1)^2-2$
(2)$y=(x+1)^2-2$
解析
【分析】
要解决二次函数关于坐标轴对称的解析式问题，可按以下思路推导：第一步，先将原抛物线解析式通过配方法转化为顶点式，确定原抛物线的开口方向（由二次项系数a决定）和顶点坐标；第二步，关于x轴对称时，新抛物线与原抛物线开口方向相反（a变为原数的相反数），顶点横坐标不变、纵坐标变为原顶点纵坐标的相反数；关于y轴对称时，新抛物线与原抛物线开口方向相同（a不变），顶点纵坐标不变、横坐标变为原顶点横坐标的相反数，最后根据新的a和顶点坐标写出顶点式即可。也可利用坐标对称性质：若点(x,y)在新抛物线上，则其对称点在原抛物线上，代入原解析式整理得到结果。
【解析】
先将原抛物线解析式化为顶点式：
$y=x^2 -2x -1 = (x^2-2x+1) -1 -1 = (x-1)^2 - 2$
可得原抛物线二次项系数$a=1$，顶点坐标为$(1,-2)$。
(1) 求关于x轴对称的抛物线解析式：
关于x轴对称的抛物线，二次项系数变为原数的相反数，即$a'=-1$，顶点关于x轴对称，新顶点坐标为$(1,2)$，代入顶点式$y=a'(x-h)^2+k$得：
$y=-(x-1)^2 + 2$
(2) 求关于y轴对称的抛物线解析式：
关于y轴对称的抛物线，二次项系数不变，即$a''=1$，顶点关于y轴对称，新顶点坐标为$(-1,-2)$，代入顶点式得：
$y=(x+1)^2 - 2$
【答案】
(1)$y=-(x-1)^2+2$；(2)$y=(x+1)^2-2$
【知识点】
1. 二次函数的轴对称变换；2. 配方法化顶点式；3. 坐标轴对称的点的特征
【点评】
本题考查二次函数的轴对称变换，解题核心是掌握对称前后二次项系数和顶点坐标的变化规律，也可通过对称点坐标代入法求解，是二次函数解析式变换类的基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决二次函数关于坐标轴对称的解析式问题，可按以下思路推导：第一步，先将原抛物线解析式通过配方法转化为顶点式，确定原抛物线的开口方向（由二次项系数a决定）和顶点坐标；第二步，关于x轴对称时，新抛物线与原抛物线开口方向相反（a变为原数的相反数），顶点横坐标不变、纵坐标变为原顶点纵坐标的相反数；关于y轴对称时，新抛物线与原抛物线开口方向相同（a不变），顶点纵坐标不变、横坐标变为原顶点横坐标的相反数，最后根据新的a和顶点坐标写出顶点式即可。也可利用坐标对称性质：若点(x,y)在新抛物线上，则其对称点在原抛物线上，代入原解析式整理得到结果。
【解析】
先将原抛物线解析式化为顶点式：
$y=x^2 -2x -1 = (x^2-2x+1) -1 -1 = (x-1)^2 - 2$
可得原抛物线二次项系数$a=1$，顶点坐标为$(1,-2)$。
(1) 求关于x轴对称的抛物线解析式：
关于x轴对称的抛物线，二次项系数变为原数的相反数，即$a'=-1$，顶点关于x轴对称，新顶点坐标为$(1,2)$，代入顶点式$y=a'(x-h)^2+k$得：
$y=-(x-1)^2 + 2$
(2) 求关于y轴对称的抛物线解析式：
关于y轴对称的抛物线，二次项系数不变，即$a''=1$，顶点关于y轴对称，新顶点坐标为$(-1,-2)$，代入顶点式得：
$y=(x+1)^2 - 2$
【答案】
(1)$y=-(x-1)^2+2$；(2)$y=(x+1)^2-2$
【知识点】
1. 二次函数的轴对称变换；2. 配方法化顶点式；3. 坐标轴对称的点的特征
【点评】
本题考查二次函数的轴对称变换，解题核心是掌握对称前后二次项系数和顶点坐标的变化规律，也可通过对称点坐标代入法求解，是二次函数解析式变换类的基础题型。
【难度系数】
0.7
8. 将抛物线$y=2(x-1)^2+3$绕原点旋转$180°$，旋转后的抛物线表达式为________
答案
8. $y=-2(x+1)^2-3$
解析
【分析】
要解决抛物线绕原点旋转180°的表达式问题，可从两点切入：①抛物线旋转180°后，开口大小不变、方向相反，因此二次项系数a的绝对值不变，符号相反；②旋转180°属于中心对称变换，原抛物线上所有点都会关于原点中心对称，我们可以先找原抛物线的顶点（顶点式下顶点可直接读出），计算顶点旋转后的坐标，再结合a的变化代入顶点式即可；也可通过坐标替换法，利用旋转前后点的坐标关系代入原式推导，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
方法一（顶点变换法）：
1. 原抛物线$y=2(x-1)^2+3$是顶点式，可得原顶点坐标为$(1,3)$，二次项系数$a=2$，开口向上。
2. 绕原点旋转180°后，顶点关于原点中心对称，横、纵坐标均变为原坐标的相反数，因此新顶点坐标为$(-1,-3)$；旋转后开口向下，二次项系数变为$a=-2$。
3. 将新的a和顶点坐标代入顶点式$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标），得：
$y=-2[x-(-1)]^2 + (-3)$，整理得$y=-2(x+1)^2-3$。
方法二（坐标替换法）：
1. 设旋转后抛物线上任意一点的坐标为$(x,y)$，该点是原抛物线上的点$(x',y')$绕原点旋转180°得到的，根据中心对称的坐标特征，得$x'=-x$，$y'=-y$。
2. 由于$(x',y')$在原抛物线上，满足原解析式，将$x'=-x$，$y'=-y$代入$y'=2(x'-1)^2+3$，得：
$-y=2(-x-1)^2+3$
3. 整理上式，两边同乘$-1$得：$y=-2(x+1)^2-3$。
【答案】
$y=-2(x+1)^2-3$
【知识点】
二次函数顶点式；中心对称坐标变换；二次函数图象旋转
【点评】
本题是二次函数图象变换的典型题型，核心是抓住旋转180°的变换本质：开口反向、顶点关于原点对称，无论是用顶点变换法还是坐标替换法，只要掌握变换规律就能快速求解，也可推广到其他函数绕原点旋转180°的同类问题。
【难度系数】
0.7
要解决抛物线绕原点旋转180°的表达式问题，可从两点切入：①抛物线旋转180°后，开口大小不变、方向相反，因此二次项系数a的绝对值不变，符号相反；②旋转180°属于中心对称变换，原抛物线上所有点都会关于原点中心对称，我们可以先找原抛物线的顶点（顶点式下顶点可直接读出），计算顶点旋转后的坐标，再结合a的变化代入顶点式即可；也可通过坐标替换法，利用旋转前后点的坐标关系代入原式推导，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
方法一（顶点变换法）：
1. 原抛物线$y=2(x-1)^2+3$是顶点式，可得原顶点坐标为$(1,3)$，二次项系数$a=2$，开口向上。
2. 绕原点旋转180°后，顶点关于原点中心对称，横、纵坐标均变为原坐标的相反数，因此新顶点坐标为$(-1,-3)$；旋转后开口向下，二次项系数变为$a=-2$。
3. 将新的a和顶点坐标代入顶点式$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标），得：
$y=-2[x-(-1)]^2 + (-3)$，整理得$y=-2(x+1)^2-3$。
方法二（坐标替换法）：
1. 设旋转后抛物线上任意一点的坐标为$(x,y)$，该点是原抛物线上的点$(x',y')$绕原点旋转180°得到的，根据中心对称的坐标特征，得$x'=-x$，$y'=-y$。
2. 由于$(x',y')$在原抛物线上，满足原解析式，将$x'=-x$，$y'=-y$代入$y'=2(x'-1)^2+3$，得：
$-y=2(-x-1)^2+3$
3. 整理上式，两边同乘$-1$得：$y=-2(x+1)^2-3$。
【答案】
$y=-2(x+1)^2-3$
【知识点】
二次函数顶点式；中心对称坐标变换；二次函数图象旋转
【点评】
本题是二次函数图象变换的典型题型，核心是抓住旋转180°的变换本质：开口反向、顶点关于原点对称，无论是用顶点变换法还是坐标替换法，只要掌握变换规律就能快速求解，也可推广到其他函数绕原点旋转180°的同类问题。
【难度系数】
0.7
