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1. 已知抛物线$y=-ax^2 -2ax + c$（$a,c$是常数）经过不重合的两点$A(2,1)$，$B(m,1)$，则$m=$（
A.$-4$
B.$-2$
C.$0$
D.$1$
A
）A.$-4$
B.$-2$
C.$0$
D.$1$
答案
1. A
解析
【分析】
首先观察到点A、B的纵坐标均为1，说明两点是抛物线上关于对称轴对称的点，解题可分两步进行：第一步先根据二次函数一般式求出抛物线的对称轴；第二步利用对称点的横坐标中点等于对称轴的横坐标，列方程求解m的值即可。
【解析】
对于二次函数$y=Ax^2+Bx+C$（$A≠0$），其对称轴公式为$x=-\frac{B}{2A}$。
本题中抛物线解析式为$y=-ax^2-2ax + c$，其中二次项系数$A=-a$，一次项系数$B=-2a$，代入对称轴公式得：
$x=-\frac{-2a}{2×(-a)}=\frac{2a}{-2a}=-1$
$\because$点$A(2,1)$与$B(m,1)$纵坐标相同，$\therefore$两点关于抛物线的对称轴对称，即两点横坐标的中点为对称轴：
$\frac{2+m}{2}=-1$
解方程得：$2+m=-2$，$m=-4$
【答案】
A
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数对称轴计算，一元一次方程求解
【点评】
本题是二次函数对称性的典型应用题型，解题核心是识别出纵坐标相同的两点为抛物线的对称点，再结合对称轴公式即可快速求解，做题时需注意代入对称轴公式时不要弄错各项系数的符号。
【难度系数】
0.7
首先观察到点A、B的纵坐标均为1，说明两点是抛物线上关于对称轴对称的点，解题可分两步进行：第一步先根据二次函数一般式求出抛物线的对称轴；第二步利用对称点的横坐标中点等于对称轴的横坐标，列方程求解m的值即可。
【解析】
对于二次函数$y=Ax^2+Bx+C$（$A≠0$），其对称轴公式为$x=-\frac{B}{2A}$。
本题中抛物线解析式为$y=-ax^2-2ax + c$，其中二次项系数$A=-a$，一次项系数$B=-2a$，代入对称轴公式得：
$x=-\frac{-2a}{2×(-a)}=\frac{2a}{-2a}=-1$
$\because$点$A(2,1)$与$B(m,1)$纵坐标相同，$\therefore$两点关于抛物线的对称轴对称，即两点横坐标的中点为对称轴：
$\frac{2+m}{2}=-1$
解方程得：$2+m=-2$，$m=-4$
【答案】
A
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数对称轴计算，一元一次方程求解
【点评】
本题是二次函数对称性的典型应用题型，解题核心是识别出纵坐标相同的两点为抛物线的对称点，再结合对称轴公式即可快速求解，做题时需注意代入对称轴公式时不要弄错各项系数的符号。
【难度系数】
0.7
2. 在平面直角坐标系中,当$a＜0$时,抛物线$y=a(x-2)^2 + b$与直线$y=2x+1$上的三个不同的点$A(x_1,m),B(x_2,m),C(x_3,m)$总有$x_1+x_2+x_3＞6$,则整数$m$的最小值为________。
答案
2. 6
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先利用二次函数的对称性，抛物线上纵坐标相等的两个点关于抛物线的对称轴对称，已知抛物线顶点式可直接得对称轴为x=2，即可求出A、B两点横坐标之和；第二步，根据C点在直线y=2x+1上且纵坐标为m，代入直线解析式求出C点横坐标的表达式；第三步，将前两步得到的结论代入已知不等式x₁+x₂+x₃＞6，解不等式即可得到m的取值范围，进而求出最小整数m。
【解析】
1. 由抛物线的解析式$y=a(x-2)^2 + b$，可得抛物线的对称轴为直线$x=2$。
2. 因为$A(x_1,m)$、$B(x_2,m)$是抛物线上纵坐标相同的两点，根据二次函数的对称性，两点关于对称轴$x=2$对称，因此$x_1+x_2=2×2=4$。
3. 点$C(x_3,m)$在直线$y=2x+1$上，把$y=m$代入直线解析式得：$m=2x_3+1$，解得$x_3=\frac{m-1}{2}$。
4. 将$x_1+x_2=4$、$x_3=\frac{m-1}{2}$代入不等式$x_1+x_2+x_3＞6$，得：
$4+\frac{m-1}{2}＞6$
不等式两边同乘2得：$8+m-1＞12$，化简得$m＞5$。
5. 因为m为整数，所以整数m的最小值为6。
【答案】
6
【知识点】
二次函数的对称性，一次函数的点坐标特征，解一元一次不等式
【点评】
本题将二次函数性质、一次函数性质与不等式结合考查，核心突破口是利用二次函数对称性快速得到两点横坐标之和，不需要求解复杂的方程即可完成计算，属于中等难度的综合应用题。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：第一步，先利用二次函数的对称性，抛物线上纵坐标相等的两个点关于抛物线的对称轴对称，已知抛物线顶点式可直接得对称轴为x=2，即可求出A、B两点横坐标之和；第二步，根据C点在直线y=2x+1上且纵坐标为m，代入直线解析式求出C点横坐标的表达式；第三步，将前两步得到的结论代入已知不等式x₁+x₂+x₃＞6，解不等式即可得到m的取值范围，进而求出最小整数m。
【解析】
1. 由抛物线的解析式$y=a(x-2)^2 + b$，可得抛物线的对称轴为直线$x=2$。
2. 因为$A(x_1,m)$、$B(x_2,m)$是抛物线上纵坐标相同的两点，根据二次函数的对称性，两点关于对称轴$x=2$对称，因此$x_1+x_2=2×2=4$。
3. 点$C(x_3,m)$在直线$y=2x+1$上，把$y=m$代入直线解析式得：$m=2x_3+1$，解得$x_3=\frac{m-1}{2}$。
4. 将$x_1+x_2=4$、$x_3=\frac{m-1}{2}$代入不等式$x_1+x_2+x_3＞6$，得：
$4+\frac{m-1}{2}＞6$
不等式两边同乘2得：$8+m-1＞12$，化简得$m＞5$。
5. 因为m为整数，所以整数m的最小值为6。
【答案】
6
【知识点】
二次函数的对称性，一次函数的点坐标特征，解一元一次不等式
【点评】
本题将二次函数性质、一次函数性质与不等式结合考查，核心突破口是利用二次函数对称性快速得到两点横坐标之和，不需要求解复杂的方程即可完成计算，属于中等难度的综合应用题。
【难度系数】
0.65
3. (2026·杭州期中)对于二次函数$y=-2x^2+mx-1$，当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大，则满足条件的$m$的取值范围是（
A.$m≥-4$
B.$m≥2$
C.$m≥3$
D.$m≥4$
D
）A.$m≥-4$
B.$m≥2$
C.$m≥3$
D.$m≥4$
答案
3. D
解析
【分析】
要解决这道题，我们先明确二次函数增减性的规律：对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$a＜0$时抛物线开口向下，在对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，右侧$y$随$x$增大而减小。本题中$a=-2＜0$，符合开口向下的特征，要满足$x＜1$时$y$随$x$增大而增大，说明$x＜1$的区间全部在对称轴左侧，因此只需先求出函数对称轴，再令对称轴大于等于1，列不等式求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：对于二次函数$y=-2x^2+mx-1$，
二次项系数$a=-2＜0$，因此抛物线开口向下，
根据对称轴公式可得，该函数的对称轴为直线：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{m}{2×(-2)}=\frac{m}{4}$
∵开口向下时，对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，题目要求$x＜1$时$y$随$x$的增大而增大，
∴对称轴需满足$\frac{m}{4}≥1$
解不等式得：$m≥4$
【答案】
D
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数对称轴计算；解一元一次不等式
【点评】
本题考查二次函数增减性与对称轴的关联，解题核心是先通过二次项系数判断开口方向，再结合增减性要求确定对称轴的取值范围，解题时要注意端点值可取，避免漏写等号导致范围错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们先明确二次函数增减性的规律：对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$a＜0$时抛物线开口向下，在对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，右侧$y$随$x$增大而减小。本题中$a=-2＜0$，符合开口向下的特征，要满足$x＜1$时$y$随$x$增大而增大，说明$x＜1$的区间全部在对称轴左侧，因此只需先求出函数对称轴，再令对称轴大于等于1，列不等式求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：对于二次函数$y=-2x^2+mx-1$，
二次项系数$a=-2＜0$，因此抛物线开口向下，
根据对称轴公式可得，该函数的对称轴为直线：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{m}{2×(-2)}=\frac{m}{4}$
∵开口向下时，对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，题目要求$x＜1$时$y$随$x$的增大而增大，
∴对称轴需满足$\frac{m}{4}≥1$
解不等式得：$m≥4$
【答案】
D
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数对称轴计算；解一元一次不等式
【点评】
本题考查二次函数增减性与对称轴的关联，解题核心是先通过二次项系数判断开口方向，再结合增减性要求确定对称轴的取值范围，解题时要注意端点值可取，避免漏写等号导致范围错误。
【难度系数】
0.7
4. 已知$M(b,m)$和$N(b+1,n)$是二次函数$y=x^2 -bx +c$（其中$b,c$是常数）图象上不同的两点，则判断$m$和$n$的大小关系正确的是 （
A.$b＞0$时，$m＞n$
B.$b＜0$时，$m＜n$
C.$b＞-1$时，$m＜n$
D.$b＜1$时，$m＞n$
C
）A.$b＞0$时，$m＞n$
B.$b＜0$时，$m＜n$
C.$b＞-1$时，$m＜n$
D.$b＜1$时，$m＞n$
答案
4. C
解析
【分析】
要比较二次函数图象上两点的纵坐标大小，可采用直接代入作差的方法：先将两点的横坐标分别代入二次函数解析式，求出m、n的表达式，再计算n与m的差，根据差的正负即可得到m、n的大小关系与参数b的对应关系，最后逐一验证选项即可。
【解析】
∵点$M(b,m)$在二次函数$y=x^2 -bx +c$的图象上
∴将$x=b$代入解析式得：
$m = b^2 - b· b + c = c$
∵点$N(b+1,n)$在二次函数$y=x^2 -bx +c$的图象上
∴将$x=b+1$代入解析式得：
$n = (b+1)^2 - b(b+1) + c$
展开化简：
$n = b^2 + 2b + 1 - b^2 - b + c = b + 1 + c$
计算$n - m$的差值：
$n - m = (b + 1 + c) - c = b + 1$
对各选项逐一判断：
A. 当$b＞0$时，$b+1＞0$，即$n - m＞0$，得$n＞m$，故A错误；
B. 当$b＜0$时，若$b=-2$，则$b+1=-1＜0$，即$n - m＜0$，得$n＜m$，故B错误；
C. 当$b＞-1$时，$b+1＞0$，即$n - m＞0$，得$m＜n$，故C正确；
D. 当$b＜1$时，若$b=0$，则$b+1=1＞0$，即$n - m＞0$，得$n＞m$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数图象上点的坐标特征 2.作差法比较大小
【点评】
本题考查二次函数的相关性质，解题时选择代入作差的方法可简化思考过程，避免讨论对称轴位置的复杂步骤，也可结合二次函数开口方向与两点到对称轴的距离关系判断大小，两种方法都需要灵活掌握。
【难度系数】
0.7
要比较二次函数图象上两点的纵坐标大小，可采用直接代入作差的方法：先将两点的横坐标分别代入二次函数解析式，求出m、n的表达式，再计算n与m的差，根据差的正负即可得到m、n的大小关系与参数b的对应关系，最后逐一验证选项即可。
【解析】
∵点$M(b,m)$在二次函数$y=x^2 -bx +c$的图象上
∴将$x=b$代入解析式得：
$m = b^2 - b· b + c = c$
∵点$N(b+1,n)$在二次函数$y=x^2 -bx +c$的图象上
∴将$x=b+1$代入解析式得：
$n = (b+1)^2 - b(b+1) + c$
展开化简：
$n = b^2 + 2b + 1 - b^2 - b + c = b + 1 + c$
计算$n - m$的差值：
$n - m = (b + 1 + c) - c = b + 1$
对各选项逐一判断：
A. 当$b＞0$时，$b+1＞0$，即$n - m＞0$，得$n＞m$，故A错误；
B. 当$b＜0$时，若$b=-2$，则$b+1=-1＜0$，即$n - m＜0$，得$n＜m$，故B错误；
C. 当$b＞-1$时，$b+1＞0$，即$n - m＞0$，得$m＜n$，故C正确；
D. 当$b＜1$时，若$b=0$，则$b+1=1＞0$，即$n - m＞0$，得$n＞m$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数图象上点的坐标特征 2.作差法比较大小
【点评】
本题考查二次函数的相关性质，解题时选择代入作差的方法可简化思考过程，避免讨论对称轴位置的复杂步骤，也可结合二次函数开口方向与两点到对称轴的距离关系判断大小，两种方法都需要灵活掌握。
【难度系数】
0.7
5. ★★★ (1)已知点$A(-2,y_1)$,$B(-1,y_2)$,$C(1,y_3)$均在二次函数$y=3(x+1)^2-7$的图象上,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是________.(用“＞”连接)
(2)已知点$A(m-2,y_1)$,$B(m,y_2)$,$C(x_0,y_0)$在二次函数$y=ax^2+6ax+c(a≠0)$的图象上,且$C$为抛物线的顶点.若$y_0≥y_1＞y_2$,则$m$的取值范围是________.
(2)已知点$A(m-2,y_1)$,$B(m,y_2)$,$C(x_0,y_0)$在二次函数$y=ax^2+6ax+c(a≠0)$的图象上,且$C$为抛物线的顶点.若$y_0≥y_1＞y_2$,则$m$的取值范围是________.
答案
5. (1)$y_3＞y_1＞y_2$ (2)$m＞-2$
解析
【分析】
(1) 比较二次函数上点的函数值大小，首先确定抛物线的开口方向和对称轴：开口向上时，点到对称轴的距离越远，对应函数值越大；既可以直接代入坐标计算y值比较，也可以通过距离法快速判断。本题给出顶点式，可直接得到对称轴和开口方向。
(2) 先根据二次函数一般式求出对称轴，顶点C的函数值最大，说明抛物线开口向下，此时点到对称轴的距离越小，函数值越大；结合$y_1＞y_2$的条件，列出两点到对称轴距离的不等式，求解即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) 二次函数$y=3(x+1)^2-7$中，$a=3＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$。
计算各点到对称轴$x=-1$的距离：
点A距离：$|-2-(-1)|=1$，点B距离：$|-1-(-1)|=0$，点C距离：$|1-(-1)|=2$。
因为开口向上，距离对称轴越远函数值越大，$2＞1＞0$，因此$y_3＞y_1＞y_2$。
(2) 二次函数$y=ax^2+6ax+c(a≠0)$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{6a}{2a}=-3$。
已知顶点C的函数值$y_0$最大，可知抛物线开口向下（$a＜0$），此时点到对称轴距离越小，函数值越大。
由$y_1＞y_2$可得：点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，即
$\left|(m-2)-(-3)\right| ＜ \left|m-(-3)\right|$
化简得$\left|m+1\right| ＜ \left|m+3\right|$
两边平方得：$(m+1)^2 ＜ (m+3)^2$
展开整理：$m^2+2m+1 ＜ m^2+6m+9$，即$-4m＜8$
解得$m＞-2$。
【答案】
(1)$y_3＞y_1＞y_2$ (2)$m＞-2$
【知识点】
二次函数的增减性、二次函数的对称性、二次函数顶点性质
【点评】
本题重点考查二次函数的图象核心性质，第一问是基础的函数值比较题型，第二问需要结合开口方向、点与对称轴的距离关系建立不等式求解，熟练掌握二次函数的对称性和增减性规律即可快速解题。
【难度系数】
0.65
(1) 比较二次函数上点的函数值大小，首先确定抛物线的开口方向和对称轴：开口向上时，点到对称轴的距离越远，对应函数值越大；既可以直接代入坐标计算y值比较，也可以通过距离法快速判断。本题给出顶点式，可直接得到对称轴和开口方向。
(2) 先根据二次函数一般式求出对称轴，顶点C的函数值最大，说明抛物线开口向下，此时点到对称轴的距离越小，函数值越大；结合$y_1＞y_2$的条件，列出两点到对称轴距离的不等式，求解即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) 二次函数$y=3(x+1)^2-7$中，$a=3＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$。
计算各点到对称轴$x=-1$的距离：
点A距离：$|-2-(-1)|=1$，点B距离：$|-1-(-1)|=0$，点C距离：$|1-(-1)|=2$。
因为开口向上，距离对称轴越远函数值越大，$2＞1＞0$，因此$y_3＞y_1＞y_2$。
(2) 二次函数$y=ax^2+6ax+c(a≠0)$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{6a}{2a}=-3$。
已知顶点C的函数值$y_0$最大，可知抛物线开口向下（$a＜0$），此时点到对称轴距离越小，函数值越大。
由$y_1＞y_2$可得：点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，即
$\left|(m-2)-(-3)\right| ＜ \left|m-(-3)\right|$
化简得$\left|m+1\right| ＜ \left|m+3\right|$
两边平方得：$(m+1)^2 ＜ (m+3)^2$
展开整理：$m^2+2m+1 ＜ m^2+6m+9$，即$-4m＜8$
解得$m＞-2$。
【答案】
(1)$y_3＞y_1＞y_2$ (2)$m＞-2$
【知识点】
二次函数的增减性、二次函数的对称性、二次函数顶点性质
【点评】
本题重点考查二次函数的图象核心性质，第一问是基础的函数值比较题型，第二问需要结合开口方向、点与对称轴的距离关系建立不等式求解，熟练掌握二次函数的对称性和增减性规律即可快速解题。
【难度系数】
0.65
