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1. （2026·杭州校级月考）下列函数中，是二次函数的是（
A.$y=x^2+\dfrac{1}{x}+1$
B.$y=ax^2+bx+c$
C.$y=(x+1)^2 - x^2$
D.$y=1 - 2(1 - x)^2$
D
）A.$y=x^2+\dfrac{1}{x}+1$
B.$y=ax^2+bx+c$
C.$y=(x+1)^2 - x^2$
D.$y=1 - 2(1 - x)^2$
答案
1. D
解析
【分析】
要判断函数是否为二次函数，首先明确二次函数的核心判定标准：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a\ne0$）的函数是二次函数，需同时满足3个条件：①表达式是整式；②自变量最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时逐个对照条件验证选项，排除不符合的即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$y=x^2+\dfrac{1}{x}+1$中$\dfrac{1}{x}$是分式，不是整式，不满足二次函数的整式要求，故A不是二次函数；
B选项：$y=ax^2+bx+c$未注明$a\ne0$，若$a=0$，函数最高次数低于2，不符合二次函数定义，故B不一定是二次函数；
C选项：先化简表达式：$y=(x+1)^2-x^2=x^2+2x+1-x^2=2x+1$，自变量最高次数为1，属于一次函数，故C不是二次函数；
D选项：先化简表达式：$y=1-2(1-x)^2=1-2(1-2x+x^2)=1-2+4x-2x^2=-2x^2+4x-1$，完全符合二次函数的判定条件，故D是二次函数。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义；整式的化简
【点评】
本题是二次函数识别的基础题型，解题核心是紧扣二次函数的定义，注意要先将函数表达式化为最简形式后再判断次数，同时不要遗漏二次项系数不为0、表达式为整式的隐含要求。
【难度系数】
0.8
要判断函数是否为二次函数，首先明确二次函数的核心判定标准：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a\ne0$）的函数是二次函数，需同时满足3个条件：①表达式是整式；②自变量最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时逐个对照条件验证选项，排除不符合的即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$y=x^2+\dfrac{1}{x}+1$中$\dfrac{1}{x}$是分式，不是整式，不满足二次函数的整式要求，故A不是二次函数；
B选项：$y=ax^2+bx+c$未注明$a\ne0$，若$a=0$，函数最高次数低于2，不符合二次函数定义，故B不一定是二次函数；
C选项：先化简表达式：$y=(x+1)^2-x^2=x^2+2x+1-x^2=2x+1$，自变量最高次数为1，属于一次函数，故C不是二次函数；
D选项：先化简表达式：$y=1-2(1-x)^2=1-2(1-2x+x^2)=1-2+4x-2x^2=-2x^2+4x-1$，完全符合二次函数的判定条件，故D是二次函数。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义；整式的化简
【点评】
本题是二次函数识别的基础题型，解题核心是紧扣二次函数的定义，注意要先将函数表达式化为最简形式后再判断次数，同时不要遗漏二次项系数不为0、表达式为整式的隐含要求。
【难度系数】
0.8
2. ★★ |改编题 已知$y=(m+1)x^{|m|+1}-(m-1)x+1$是关于x的二次函数，则m的值为
1
，此时该函数的二次项系数是2
，一次项系数是0
，常数项是1
。答案
2. 1 2 0 1
解析
【分析】
要确定m的值及函数各项系数，需依据二次函数的定义推导：首先二次函数需满足两个核心条件，一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。先根据次数要求列方程求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的限制排除不符合的取值，最后将正确的m代入原函数，即可分别求出二次项系数、一次项系数和常数项。
【解析】
解：
∵ $y=(m+1)x^{|m|+1}-(m-1)x+1$是关于x的二次函数
∴ 需同时满足以下两个条件：
1. 最高次项的次数为2：$|m|+1=2$，解得$|m|=1$，即$m=1$或$m=-1$
2. 二次项系数不为0：$m+1≠0$，解得$m≠-1$
综上可得$m=1$。
将$m=1$代入原函数，化简得：
$y=(1+1)x^{|1|+1}-(1-1)x+1=2x^2+1$
由此可知，该函数的二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为1。
【答案】
1；2；0；1
【知识点】
二次函数的定义；整式的项与系数
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，解题的关键是牢记二次函数需同时满足“最高次为2”和“二次项系数不为0”两个条件，避免遗漏限制条件导致错解。
【难度系数】
0.8
要确定m的值及函数各项系数，需依据二次函数的定义推导：首先二次函数需满足两个核心条件，一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。先根据次数要求列方程求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的限制排除不符合的取值，最后将正确的m代入原函数，即可分别求出二次项系数、一次项系数和常数项。
【解析】
解：
∵ $y=(m+1)x^{|m|+1}-(m-1)x+1$是关于x的二次函数
∴ 需同时满足以下两个条件：
1. 最高次项的次数为2：$|m|+1=2$，解得$|m|=1$，即$m=1$或$m=-1$
2. 二次项系数不为0：$m+1≠0$，解得$m≠-1$
综上可得$m=1$。
将$m=1$代入原函数，化简得：
$y=(1+1)x^{|1|+1}-(1-1)x+1=2x^2+1$
由此可知，该函数的二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为1。
【答案】
1；2；0；1
【知识点】
二次函数的定义；整式的项与系数
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，解题的关键是牢记二次函数需同时满足“最高次为2”和“二次项系数不为0”两个条件，避免遗漏限制条件导致错解。
【难度系数】
0.8
3. （2025·攀枝花中考）关于抛物线$y=-x^2+6x-7$，下列说法正确的是（
A.开口向上
B.对称轴是直线$x=-3$
C.与$y$轴的交点坐标是$(0,7)$
D.顶点坐标是$(3,2)$
D
）A.开口向上
B.对称轴是直线$x=-3$
C.与$y$轴的交点坐标是$(0,7)$
D.顶点坐标是$(3,2)$
答案
3. D
解析
【分析】
要判断各选项的正误，需结合二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的相关性质逐步分析：①由$a$的符号判断开口方向；②利用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算对称轴；③令$x=0$求函数值，得到与$y$轴的交点坐标；④通过配方法或顶点坐标公式求顶点坐标，逐一排除错误选项即可得到答案。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=-x^2+6x-7$，其中$a=-1$，$b=6$，$c=-7$：
1. 判断选项A：$\because a=-1＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，A错误；
2. 判断选项B：对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2×(-1)}=3$，不是$x=-3$，B错误；
3. 判断选项C：令$x=0$，代入解析式得$y=-0^2+6×0-7=-7$，$\therefore$与$y$轴交点坐标为$(0,-7)$，C错误；
4. 判断选项D：用配方法化简解析式：
$y=-x^2+6x-7=-(x^2-6x)-7=-(x^2-6x+9-9)-7=-(x-3)^2+9-7=-(x-3)^2+2$
$\therefore$顶点坐标为$(3,2)$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数对称轴计算；二次函数顶点坐标求解
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，熟练掌握二次函数开口方向、对称轴、交点坐标、顶点坐标的求解规则，就能快速判断各选项正误。
【难度系数】
0.8
要判断各选项的正误，需结合二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的相关性质逐步分析：①由$a$的符号判断开口方向；②利用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算对称轴；③令$x=0$求函数值，得到与$y$轴的交点坐标；④通过配方法或顶点坐标公式求顶点坐标，逐一排除错误选项即可得到答案。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=-x^2+6x-7$，其中$a=-1$，$b=6$，$c=-7$：
1. 判断选项A：$\because a=-1＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，A错误；
2. 判断选项B：对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2×(-1)}=3$，不是$x=-3$，B错误；
3. 判断选项C：令$x=0$，代入解析式得$y=-0^2+6×0-7=-7$，$\therefore$与$y$轴交点坐标为$(0,-7)$，C错误；
4. 判断选项D：用配方法化简解析式：
$y=-x^2+6x-7=-(x^2-6x)-7=-(x^2-6x+9-9)-7=-(x-3)^2+9-7=-(x-3)^2+2$
$\therefore$顶点坐标为$(3,2)$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数对称轴计算；二次函数顶点坐标求解
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，熟练掌握二次函数开口方向、对称轴、交点坐标、顶点坐标的求解规则，就能快速判断各选项正误。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在同一坐标系中,作出①$y=a_1x^2$,②$y=a_2x^2$,③$y=a_3x^2$的图象,比较$a_1,a_2,a_3$的大小是
$a_1＞a_2＞a_3$
.(用“＞”连接) 答案
4. $a_1＞a_2＞a_3$
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质：①开口方向由$a$的符号决定，开口向上时$a＞0$，开口向下时$a＜0$；②开口宽窄由$|a|$决定，$|a|$越大，抛物线开口越窄。观察本题图象，三个抛物线均开口向上，因此$a_1,a_2,a_3$均为正数，再对比三个抛物线的开口宽窄即可判断$a$的大小关系：开口越窄，对应的$a$越大。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$：
1. 由图象可知三个抛物线均开口向上，因此$a_1＞0,a_2＞0,a_3＞0$；
2. 二次项系数$a$越大，抛物线开口越窄。观察图象可得：抛物线①开口最窄，其次是②，抛物线③开口最宽，因此可得$a_1＞a_2＞a_3$。
【答案】
$a_1＞a_2＞a_3$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象性质
【点评】
本题是二次函数图象的基础考题，核心考查二次项系数$a$对抛物线开口的影响，牢记“开口方向定$a$的符号，开口宽窄定$|a|$的大小”的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质：①开口方向由$a$的符号决定，开口向上时$a＞0$，开口向下时$a＜0$；②开口宽窄由$|a|$决定，$|a|$越大，抛物线开口越窄。观察本题图象，三个抛物线均开口向上，因此$a_1,a_2,a_3$均为正数，再对比三个抛物线的开口宽窄即可判断$a$的大小关系：开口越窄，对应的$a$越大。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$：
1. 由图象可知三个抛物线均开口向上，因此$a_1＞0,a_2＞0,a_3＞0$；
2. 二次项系数$a$越大，抛物线开口越窄。观察图象可得：抛物线①开口最窄，其次是②，抛物线③开口最宽，因此可得$a_1＞a_2＞a_3$。
【答案】
$a_1＞a_2＞a_3$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象性质
【点评】
本题是二次函数图象的基础考题，核心考查二次项系数$a$对抛物线开口的影响，牢记“开口方向定$a$的符号，开口宽窄定$|a|$的大小”的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5. ★★★ 若函数$y=x^2 -1$的图象过点$P(-2,m)$，将该函数图象向左平移，当它再次经过点$P$时，所得的图象对应的函数表达式为
$y=(x+4)^2-1$
。答案
5. $y=(x+4)^2-1$
解析
【分析】
解题分三步展开：首先求点P的坐标，点P在原二次函数图象上，将点P横坐标代入原函数即可算出纵坐标，得到P点完整坐标。其次根据二次函数平移“左加右减”的规律，设出向左平移h个单位后的函数解析式。最后将P点坐标代入平移后的解析式，求解出符合题意的平移距离h，即可得到最终的函数表达式。
【解析】
1. 求点P的坐标：
将点$P(-2,m)$代入原函数$y=x^2 -1$，得：
$m=(-2)^2 -1=4-1=3$
因此点P的坐标为$(-2,3)$。
2. 设平移后的函数解析式：
设函数图象向左平移$h$个单位（$h＞0$），根据二次函数平移“左加右减”的规律，平移后的函数表达式为$y=(x+h)^2 -1$。
3. 代入点P求解平移距离：
因为平移后的图象经过点$P(-2,3)$，将$x=-2$，$y=3$代入平移后的解析式得：
$3=(-2+h)^2 -1$
整理得：$(h-2)^2=4$
开方得：$h-2=2$或$h-2=-2$
解得：$h=4$或$h=0$
$h=0$表示未平移，不符合题意，舍去，因此$h=4$。
4. 得到最终解析式：
将$h=4$代入所设解析式，得$y=(x+4)^2 -1$。
【答案】
$y=(x+4)^2-1$
【知识点】
二次函数点坐标特征；二次函数平移规律；待定系数法求解析式
【点评】
本题核心考查二次函数图象平移规律的应用，解题的关键是先确定已知点的坐标，再结合平移规则设出目标解析式，代入点求解时要注意舍去不符合题意的解，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
解题分三步展开：首先求点P的坐标，点P在原二次函数图象上，将点P横坐标代入原函数即可算出纵坐标，得到P点完整坐标。其次根据二次函数平移“左加右减”的规律，设出向左平移h个单位后的函数解析式。最后将P点坐标代入平移后的解析式，求解出符合题意的平移距离h，即可得到最终的函数表达式。
【解析】
1. 求点P的坐标：
将点$P(-2,m)$代入原函数$y=x^2 -1$，得：
$m=(-2)^2 -1=4-1=3$
因此点P的坐标为$(-2,3)$。
2. 设平移后的函数解析式：
设函数图象向左平移$h$个单位（$h＞0$），根据二次函数平移“左加右减”的规律，平移后的函数表达式为$y=(x+h)^2 -1$。
3. 代入点P求解平移距离：
因为平移后的图象经过点$P(-2,3)$，将$x=-2$，$y=3$代入平移后的解析式得：
$3=(-2+h)^2 -1$
整理得：$(h-2)^2=4$
开方得：$h-2=2$或$h-2=-2$
解得：$h=4$或$h=0$
$h=0$表示未平移，不符合题意，舍去，因此$h=4$。
4. 得到最终解析式：
将$h=4$代入所设解析式，得$y=(x+4)^2 -1$。
【答案】
$y=(x+4)^2-1$
【知识点】
二次函数点坐标特征；二次函数平移规律；待定系数法求解析式
【点评】
本题核心考查二次函数图象平移规律的应用，解题的关键是先确定已知点的坐标，再结合平移规则设出目标解析式，代入点求解时要注意舍去不符合题意的解，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
