6.如图，已知$∠α＝40°$，在标有东南西北的图中，用尺规作图，并注明：
(1)北偏东$40°$；
(2)北偏西$50°$；
(3)南偏东$80°$。

解：
作图步骤如下：
取东西方向线与南北方向线的交点O为公共顶点，记正北方向射线为ON，正南方向射线为OS，正西方向射线为OW，正东方向射线为OE。
(1) 作北偏东$40°$：
以O为顶点，ON为一边，在正北与正东的直角内部，用尺规作$∠ NOA=∠α=40°$，射线OA即为北偏东$40°$的方向线，在旁标注“北偏东$40°$”。
(2) 作北偏西$50°$：
由$90°-40°=50°$，以O为顶点，OW为一边，在正北与正西的直角内部，用尺规作$∠ WOB=∠α=40°$，此时$∠ NOB=90°-40°=50°$，射线OB即为北偏西$50°$的方向线，在旁标注“北偏西$50°$”。
(3) 作南偏东$80°$：
由$40°×2=80°$，以O为顶点，OS为一边，在正南与正东的直角内部，连续用尺规作两个都等于$∠α$的角，得到总角度$∠ SOC=80°$，射线OC即为南偏东$80°$的方向线，在旁标注“南偏东$80°$”。
按上述步骤完成作图即可。

【分析】
解题时首先明确方向坐标系的交点为公共顶点，先标记出正北、正南、正西、正东四条基准射线；再结合已知$∠α=40°$，将待作的三个方向角转化为$∠α$的和差形式：$40°$即$∠α$本身，$50°=90°-∠α$，$80°=2×∠α$，后续用尺规作一个角等于已知角的方法即可完成作图。注意每类方向角对应固定的区域：北偏东对应东北区域、北偏西对应西北区域、南偏东对应东南区域，作角后要标注对应方向名称。
【解析】
取东西方向线与南北方向线的交点O为公共顶点，记正北方向射线为ON，正南方向射线为OS，正西方向射线为OW，正东方向射线为OE。
(1) 作北偏东$40°$：
以O为顶点，ON为一边，在正北与正东的直角内部，用尺规作$∠ NOA=∠α=40°$，射线OA即为北偏东$40°$的方向线，在旁标注“北偏东$40°$”。
(2) 作北偏西$50°$：
由$90°-40°=50°$，以O为顶点，OW为一边，在正北与正西的直角内部，用尺规作$∠ WOB=∠α=40°$，此时$∠ NOB=90°-40°=50°$，射线OB即为北偏西$50°$的方向线，在旁标注“北偏西$50°$”。
(3) 作南偏东$80°$：
由$40°×2=80°$，以O为顶点，OS为一边，在正南与正东的直角内部，连续用尺规作两个都等于$∠α$的角，得到总角度$∠ SOC=80°$，射线OC即为南偏东$80°$的方向线，在旁标注“南偏东$80°$”。
【答案】
按上述步骤作出标注正确的射线OA（北偏东40°）、OB（北偏西50°）、OC（南偏东80°）即为所求。
【知识点】
尺规作角、方向角、角的和差计算
【点评】
本题结合生活中的方位场景，既考查了尺规作一个角等于已知角的基本操作，也要求学生熟练运用角的和差关系构造目标角度，解题时需准确判断方向角对应的方位区域，避免出现方向偏差。
【难度系数】
0.7

7.已知：∠α，∠β（∠α＞∠β），如图所示。
求作：∠γ，使∠γ=2∠α+∠β。

7.解:如图,∠AOB 为所求作的角。

【分析】
要作出∠γ=2∠α+∠β，首先需要掌握尺规作一个角等于已知角的方法。我们可以分步构造角的和：首先构造2倍的∠α，即连续作两个相等的∠α，让两个∠α顶点重合、相邻边重合且两角不重叠，得到2∠α；再以2∠α的终边为始边，在外侧作一个等于∠β的角，最终得到的大角就是所求的∠γ，作图时要注意保留所有作图弧线痕迹。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作射线OB，作为所求角的一条边；
2. 以O为顶点，OB为一边，利用尺规作∠BOC=∠α；
3. 以O为顶点，OC为一边，在∠BOC的外侧作∠COD=∠α，此时∠BOD=∠BOC+∠COD=2∠α；
4. 以O为顶点，OD为一边，在∠BOD的外侧作∠DOA=∠β，此时∠AOB=∠BOD+∠DOA=2∠α+∠β。
∠AOB即为所求作的∠γ，保留作图痕迹即可。
【答案】
如图，∠AOB为所求作的角。
【知识点】
作一个角等于已知角；角的和差运算
【点评】
本题是基础的尺规作图题，核心考查作一个角等于已知角的操作技能，解题的关键是明确角的叠加顺序，作图时注意在已有角的外侧作新的角，避免角度重叠导致结果错误，需注意保留作图痕迹。
【难度系数】
0.8

8.【综合与实践】(1)按要求画图：
①任意画一个小于平角的∠AOB；
②以O为圆心，以任意长为半径画弧分别与OA，OB交于点C，D；
③分别以C，D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧，两弧交于点E；
④作射线OE。（不写作法，保留作图痕迹）
(2)问题：
①测量OE是不是∠AOB的平分线；
②根据以上信息你能用尺规画出一个直角吗？

8.解:(1)如图①。
(2)①OE 是∠AOB 的平分线。
②可以,如图②,∠POB 就是直角。

【分析】
第(1)问是基础尺规作图题，只需严格按照题目给出的4个步骤依次操作即可，该操作实际是角平分线的标准尺规作图方法。第(2)问①可直接结合角平分线作图的性质，或通过测量角的大小判断OE的性质；第(2)问②要作直角，可利用直角是平角的一半的特点，先画出180°的平角，再用上述作角平分线的方法平分平角，就能得到90°的直角。
【解析】
(1) 按题目步骤操作：先画出小于平角的∠AOB，再以O为圆心任意长为半径画弧，与OA、OB分别交于C、D两点，接着分别以C、D为圆心，取大于$\frac{1}{2}CD$的长度为半径画弧，两弧交点记为E，最后画出射线OE，保留所有作图痕迹，结果如图①所示。
(2) ①题中的作图步骤就是尺规作角平分线的规范方法，通过测量可得∠AOE=∠BOE，因此OE是∠AOB的平分线。
②可以画出直角：首先画直线AB，得到平角∠AOB=180°，再用上述作角平分线的方法作∠AOB的平分线OP，可得∠POB=$\frac{1}{2}$∠AOB=90°，即∠POB就是所求的直角，作图结果如图②所示。
【答案】
(1) 如图①。
(2) ①OE是∠AOB的平分线。
②可以，如图②，∠POB就是直角。
【知识点】
1. 尺规作角平分线
2. 角平分线定义
3. 平角的性质
【点评】
本题围绕尺规作角平分线的基础操作展开，既考查了基本作图步骤的掌握情况，也考查了对作图方法的灵活运用能力，通过平分平角得到直角的设计，体现了不同角度作图方法的关联性。
【难度系数】
0.8