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6.如图，AC是$\odot O$的直径，弦$BD⊥ AO$于点E，连接BC，过点O作$OF⊥ BC$于点F，$BD=8$，$AE=2$。求BF的长度。
答案
6.$BF=2\sqrt{5}$。
解析
【分析】
解题时先利用垂径定理求出BE的长度，再设圆的半径为r，在Rt△OBE中运用勾股定理列方程求出半径r；接着求出CE的长度，在Rt△BEC中用勾股定理计算出BC的长；最后根据垂径定理，由OF⊥BC可知F是BC的中点，BF为BC的一半，即可求出BF的长度。
【解析】
1. 由垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，已知BD⊥AO，BD=8，可得：
$BE=\frac{1}{2}BD=4$
2. 设$\odot O$的半径为$r$，则$OB=r$，$OE=OA-AE=r-2$。
在$Rt△ OBE$中，由勾股定理得：
$OB^2=OE^2+BE^2$
代入得$r^2=(r-2)^2+4^2$
展开计算：$r^2=r^2-4r+4+16$
化简得$4r=20$，解得$r=5$。
3. 可得直径$AC=2r=10$，则$CE=AC-AE=10-2=8$。
在$Rt△ BEC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BE^2+CE^2}=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$
4. 由垂径定理，$OF⊥ BC$且OF过圆心O，故F为BC中点，因此：
$BF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4\sqrt{5}=2\sqrt{5}$
【答案】
$BF=2\sqrt{5}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆的轴对称性的典型应用题目，解题核心是两次运用垂径定理得到线段的等量关系，结合勾股定理列方程求出半径，进而得到所求线段长度，解题时要注意垂径定理适用的条件。
【难度系数】
0.7
解题时先利用垂径定理求出BE的长度，再设圆的半径为r，在Rt△OBE中运用勾股定理列方程求出半径r；接着求出CE的长度，在Rt△BEC中用勾股定理计算出BC的长；最后根据垂径定理，由OF⊥BC可知F是BC的中点，BF为BC的一半，即可求出BF的长度。
【解析】
1. 由垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，已知BD⊥AO，BD=8，可得：
$BE=\frac{1}{2}BD=4$
2. 设$\odot O$的半径为$r$，则$OB=r$，$OE=OA-AE=r-2$。
在$Rt△ OBE$中，由勾股定理得：
$OB^2=OE^2+BE^2$
代入得$r^2=(r-2)^2+4^2$
展开计算：$r^2=r^2-4r+4+16$
化简得$4r=20$，解得$r=5$。
3. 可得直径$AC=2r=10$，则$CE=AC-AE=10-2=8$。
在$Rt△ BEC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BE^2+CE^2}=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$
4. 由垂径定理，$OF⊥ BC$且OF过圆心O，故F为BC中点，因此：
$BF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4\sqrt{5}=2\sqrt{5}$
【答案】
$BF=2\sqrt{5}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆的轴对称性的典型应用题目，解题核心是两次运用垂径定理得到线段的等量关系，结合勾股定理列方程求出半径，进而得到所求线段长度，解题时要注意垂径定理适用的条件。
【难度系数】
0.7
7.如图，$\odot O$的直径AB和弦CD相交于点E，已知$AE=1\ \mathrm{cm}$，$EB=5\ \mathrm{cm}$，$∠ DEB=60°$，求CD的长。
答案
7.$CD=2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
要求弦CD的长，根据圆的轴对称性，考虑用垂径定理求解，步骤如下：①先根据已知的AE、EB长度计算圆的直径和半径，进而求出OE的长度；②过圆心O作CD的垂线OF，构造直角三角形，结合∠DEB=60°的条件，计算出OF的长度；③在含半径OD的直角三角形中，用勾股定理求出半弦长DF，再乘2即可得到CD的全长。
【解析】
过点$ O $作$ OF ⊥ CD $于点$ F $，连接$ OD $。
1. 计算半径和$ OE $长度：
$ AB = AE + EB = 1 + 5 = 6\ \mathrm{cm} $，故$ \odot O $的半径$ OD = OA = \frac{1}{2}AB = 3\ \mathrm{cm} $，
$ OE = OA - AE = 3 - 1 = 2\ \mathrm{cm} $。
2. 在$ \mathrm{Rt}△ OEF $中计算$ OF $：
已知$ ∠ OEF = ∠ DEB = 60° $，则$ ∠ EOF = 30° $，
因此$ EF = \frac{1}{2}OE = 1\ \mathrm{cm} $，
由勾股定理得：$ OF = \sqrt{OE^2 - EF^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}\ \mathrm{cm} $。
3. 在$ \mathrm{Rt}△ ODF $中计算半弦长：
由勾股定理得：$ DF = \sqrt{OD^2 - OF^2} = \sqrt{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{6}\ \mathrm{cm} $。
4. 由垂径定理得：$ CD = 2DF = 2\sqrt{6}\ \mathrm{cm} $。
【答案】
$ CD=2\sqrt{6}\ \mathrm{cm} $
【知识点】
垂径定理，勾股定理，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题，解题核心是通过作弦的垂线构造直角三角形，将圆的性质和直角三角形的性质结合求解，要熟练掌握这类“作弦心距”的辅助线构造方法。
【难度系数】
0.7
要求弦CD的长，根据圆的轴对称性，考虑用垂径定理求解，步骤如下：①先根据已知的AE、EB长度计算圆的直径和半径，进而求出OE的长度；②过圆心O作CD的垂线OF，构造直角三角形，结合∠DEB=60°的条件，计算出OF的长度；③在含半径OD的直角三角形中，用勾股定理求出半弦长DF，再乘2即可得到CD的全长。
【解析】
过点$ O $作$ OF ⊥ CD $于点$ F $，连接$ OD $。
1. 计算半径和$ OE $长度：
$ AB = AE + EB = 1 + 5 = 6\ \mathrm{cm} $，故$ \odot O $的半径$ OD = OA = \frac{1}{2}AB = 3\ \mathrm{cm} $，
$ OE = OA - AE = 3 - 1 = 2\ \mathrm{cm} $。
2. 在$ \mathrm{Rt}△ OEF $中计算$ OF $：
已知$ ∠ OEF = ∠ DEB = 60° $，则$ ∠ EOF = 30° $，
因此$ EF = \frac{1}{2}OE = 1\ \mathrm{cm} $，
由勾股定理得：$ OF = \sqrt{OE^2 - EF^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}\ \mathrm{cm} $。
3. 在$ \mathrm{Rt}△ ODF $中计算半弦长：
由勾股定理得：$ DF = \sqrt{OD^2 - OF^2} = \sqrt{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{6}\ \mathrm{cm} $。
4. 由垂径定理得：$ CD = 2DF = 2\sqrt{6}\ \mathrm{cm} $。
【答案】
$ CD=2\sqrt{6}\ \mathrm{cm} $
【知识点】
垂径定理，勾股定理，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题，解题核心是通过作弦的垂线构造直角三角形，将圆的性质和直角三角形的性质结合求解，要熟练掌握这类“作弦心距”的辅助线构造方法。
【难度系数】
0.7
8.小亮同学善于思考,能在实际生活中发现问题,并利用所学的数学知识解决问题。如图,他将汽车轮胎放置在地面台阶直角处,测量了台阶高a为160 mm,直角顶点到轮胎与底面接触点AB长为320 mm。请帮小亮计算轮胎的直径为
800
mm。答案
8.800
解析
【分析】
本题要求轮胎的直径，我们可以先设圆的半径为$ r $，利用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，且圆心到切线的距离等于半径，通过作辅助线构造直角三角形，再结合勾股定理列方程求解半径，进而求出直径。思考时首先明确两条直角边分别是AB的长度和半径与台阶高度的差，斜边为圆的半径，以此建立等量关系即可。
【解析】
设轮胎的半径为$ r $ mm。
过圆心$ O $作台阶竖直边的垂线，垂足记为$ C $，连接$ OB $。
因为$ AB $是$ \odot O $的切线，切点为$ B $，根据切线的性质可得$ OB ⊥ AB $，即$ OB = r $。
由题意可知：水平方向上圆心到竖直台阶边的距离等于$ AB $的长度，即$ OC = AB = 320\ \mathrm{mm} $；竖直方向上，圆心到切点$ C $的竖直距离为$ (r - 160)\ \mathrm{mm} $。
在以$ r $为斜边的直角三角形中，由勾股定理得：
$320^2 + (r - 160)^2 = r^2$
展开计算：
$102400 + r^2 - 320r + 25600 = r^2$
消去$ r^2 $后整理得：
$320r = 128000$
解得$ r = 400 $。
所以轮胎的直径为$ 2r = 2×400 = 800\ \mathrm{mm} $。
【答案】
800
【知识点】
切线的性质；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题结合生活实际场景命题，重点考查学生将实际问题转化为几何模型的能力，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形，利用切线性质和勾股定理建立方程求解，能较好地考查学生的知识应用能力。
【难度系数】
0.7
本题要求轮胎的直径，我们可以先设圆的半径为$ r $，利用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，且圆心到切线的距离等于半径，通过作辅助线构造直角三角形，再结合勾股定理列方程求解半径，进而求出直径。思考时首先明确两条直角边分别是AB的长度和半径与台阶高度的差，斜边为圆的半径，以此建立等量关系即可。
【解析】
设轮胎的半径为$ r $ mm。
过圆心$ O $作台阶竖直边的垂线，垂足记为$ C $，连接$ OB $。
因为$ AB $是$ \odot O $的切线，切点为$ B $，根据切线的性质可得$ OB ⊥ AB $，即$ OB = r $。
由题意可知：水平方向上圆心到竖直台阶边的距离等于$ AB $的长度，即$ OC = AB = 320\ \mathrm{mm} $；竖直方向上，圆心到切点$ C $的竖直距离为$ (r - 160)\ \mathrm{mm} $。
在以$ r $为斜边的直角三角形中，由勾股定理得：
$320^2 + (r - 160)^2 = r^2$
展开计算：
$102400 + r^2 - 320r + 25600 = r^2$
消去$ r^2 $后整理得：
$320r = 128000$
解得$ r = 400 $。
所以轮胎的直径为$ 2r = 2×400 = 800\ \mathrm{mm} $。
【答案】
800
【知识点】
切线的性质；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题结合生活实际场景命题，重点考查学生将实际问题转化为几何模型的能力，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形，利用切线性质和勾股定理建立方程求解，能较好地考查学生的知识应用能力。
【难度系数】
0.7
9.如图①,在化学实验中,一个底部呈球形的烧瓶,其纵截面是如图②的⊙O。瓶内液体的最大深度CD为2 cm,液面的宽度AB的长为8 cm,求⊙O的半径。
答案
9.5 cm
解析
【分析】
本题可利用垂径定理和勾股定理求解：首先观察到OD垂直于弦AB，根据垂径定理可得到AB一半的长度；其次设圆的半径为R，将Rt△OAC的三边分别用含R的代数式表示；最后根据勾股定理列方程，解方程即可求出半径。
【解析】
解：
∵OD⊥AB，AB=8 cm，
根据垂径定理，得$AC=\frac{1}{2}AB=4$ cm。
设⊙O的半径为$R$ cm，则$OA=OD=R$ cm，
∵CD=2 cm，
∴$OC=OD-CD=(R-2)$ cm。
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$OA^2=OC^2+AC^2$，
代入得$R^2=(R-2)^2+4^2$，
展开得$R^2=R^2-4R+4+16$，
移项合并得$4R=20$，
解得$R=5$。
【答案】
5 cm
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是垂径定理的实际应用问题，解题的关键是结合图形构造直角三角形，利用方程思想将几何计算问题转化为解方程问题，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
本题可利用垂径定理和勾股定理求解：首先观察到OD垂直于弦AB，根据垂径定理可得到AB一半的长度；其次设圆的半径为R，将Rt△OAC的三边分别用含R的代数式表示；最后根据勾股定理列方程，解方程即可求出半径。
【解析】
解：
∵OD⊥AB，AB=8 cm，
根据垂径定理，得$AC=\frac{1}{2}AB=4$ cm。
设⊙O的半径为$R$ cm，则$OA=OD=R$ cm，
∵CD=2 cm，
∴$OC=OD-CD=(R-2)$ cm。
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$OA^2=OC^2+AC^2$，
代入得$R^2=(R-2)^2+4^2$，
展开得$R^2=R^2-4R+4+16$，
移项合并得$4R=20$，
解得$R=5$。
【答案】
5 cm
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是垂径定理的实际应用问题，解题的关键是结合图形构造直角三角形，利用方程思想将几何计算问题转化为解方程问题，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
10.已知一座圆弧形拱桥，圆心为点O，桥下水面宽度AB为18 m，过点O作OC⊥AB于点D，CD=3 m。
(1)求该圆弧形拱桥的半径。
(2)现有一艘宽6 m，船舱顶部高出水面2 m的货船要经过这座拱桥(船舱截面为长方形)，请问该货船能顺利通过吗？
(1)求该圆弧形拱桥的半径。
(2)现有一艘宽6 m，船舱顶部高出水面2 m的货船要经过这座拱桥(船舱截面为长方形)，请问该货船能顺利通过吗？
答案
10. 解：(1) 因为 $OC ⊥ AB$，
所以 $AD = \frac{1}{2}AB = 9\ (\mathrm{m})$。
连接 $AO$，设 $AO=r\ \mathrm{m}$，
根据题意得 $r^2=9^2+(r-3)^2$，
解得 $r=15$。
所以圆弧形拱桥的半径为 $15\ \mathrm{m}$。
(2) 因为 $ED=2\ \mathrm{m}$，$OD=15-3=12(\mathrm{m})$，所以 $EO=14\ \mathrm{m}$。
因为 $MN ⊥ CO$，所以 $ME = \frac{1}{2}MN$。
连接 $OM$，因为 $OM=15\ \mathrm{m}$，所以 $ME = \sqrt{15^2-14^2} = \sqrt{29}\ (\mathrm{m})$，所以 $MN=2ME=2\sqrt{29}\ (\mathrm{m})$，$2\sqrt{29}＞6$。
所以该货船可以顺利通过。
解析
【分析】
(1) 求圆弧半径时，首先利用垂径定理，由OC垂直AB可得AB被D平分，得到AD的长度；连接半径AO，设半径为r，则OD的长度为r-CD，在Rt△OAD中利用勾股定理列方程即可求解半径。
(2) 判断货船能否通过，需计算高出水面2m位置对应的拱桥宽度：先求出该位置到圆心O的距离，再连接半径OM，利用勾股定理算出该位置的半弦长，得到总宽度后与货船宽度6m比较，若总宽度大于6m则可以通过，反之不能。
【解析】
(1)
∵ OC⊥AB，由垂径定理得，
∴ $AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×18=9\ (\mathrm{m})$。
连接AO，设圆弧形拱桥的半径$AO = r\ \mathrm{m}$，则$OD = (r-3)\ \mathrm{m}$，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：$OA^2 = AD^2 + OD^2$，
代入得 $r^2=9^2+(r-3)^2$，
展开化简得$6r=90$，解得$r=15$。
即圆弧形拱桥的半径为15 m。
(2) 已知船舱顶部高出水面2m，即$ED=2\ \mathrm{m}$，
由(1)得$OD = 15-3=12(\mathrm{m})$，则$OE = OD+ED=12+2=14(\mathrm{m})$。
∵ MN⊥CO，由垂径定理得$ME = \frac{1}{2}MN$，
连接OM，$OM=15\ \mathrm{m}$，在Rt△OEM中，由勾股定理得：
$ME = \sqrt{OM^2-OE^2} = \sqrt{15^2-14^2} = \sqrt{29}\ (\mathrm{m})$，
∴ $MN=2ME=2\sqrt{29}\ \mathrm{m}$，
∵ $2\sqrt{29}＞6$，因此该货船可以顺利通过。
【答案】
10. 解：(1) 因为 $OC ⊥ AB$，
所以 $AD = \frac{1}{2}AB = 9\ (\mathrm{m})$。
连接 $AO$，设 $AO=r\ \mathrm{m}$，
根据题意得 $r^2=9^2+(r-3)^2$，
解得 $r=15$。
所以圆弧形拱桥的半径为 $15\ \mathrm{m}$。
(2) 因为 $ED=2\ \mathrm{m}$，$OD=15-3=12(\mathrm{m})$，所以 $EO=14\ \mathrm{m}$。
因为 $MN ⊥ CO$，所以 $ME = \frac{1}{2}MN$。
连接 $OM$，因为 $OM=15\ \mathrm{m}$，所以 $ME = \sqrt{15^2-14^2} = \sqrt{29}\ (\mathrm{m})$，所以 $MN=2ME=2\sqrt{29}\ (\mathrm{m})$，$2\sqrt{29}＞6$。
所以该货船可以顺利通过。
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的性质
【点评】
本题是圆的轴对称性的典型实际应用题，解题核心是将实际通行问题转化为几何中垂径定理的应用模型，结合勾股定理计算对应线段长度，考查了学生将实际问题抽象为几何模型的应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求圆弧半径时，首先利用垂径定理，由OC垂直AB可得AB被D平分，得到AD的长度；连接半径AO，设半径为r，则OD的长度为r-CD，在Rt△OAD中利用勾股定理列方程即可求解半径。
(2) 判断货船能否通过，需计算高出水面2m位置对应的拱桥宽度：先求出该位置到圆心O的距离，再连接半径OM，利用勾股定理算出该位置的半弦长，得到总宽度后与货船宽度6m比较，若总宽度大于6m则可以通过，反之不能。
【解析】
(1)
∵ OC⊥AB，由垂径定理得，
∴ $AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×18=9\ (\mathrm{m})$。
连接AO，设圆弧形拱桥的半径$AO = r\ \mathrm{m}$，则$OD = (r-3)\ \mathrm{m}$，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：$OA^2 = AD^2 + OD^2$，
代入得 $r^2=9^2+(r-3)^2$，
展开化简得$6r=90$，解得$r=15$。
即圆弧形拱桥的半径为15 m。
(2) 已知船舱顶部高出水面2m，即$ED=2\ \mathrm{m}$，
由(1)得$OD = 15-3=12(\mathrm{m})$，则$OE = OD+ED=12+2=14(\mathrm{m})$。
∵ MN⊥CO，由垂径定理得$ME = \frac{1}{2}MN$，
连接OM，$OM=15\ \mathrm{m}$，在Rt△OEM中，由勾股定理得：
$ME = \sqrt{OM^2-OE^2} = \sqrt{15^2-14^2} = \sqrt{29}\ (\mathrm{m})$，
∴ $MN=2ME=2\sqrt{29}\ \mathrm{m}$，
∵ $2\sqrt{29}＞6$，因此该货船可以顺利通过。
【答案】
10. 解：(1) 因为 $OC ⊥ AB$，
所以 $AD = \frac{1}{2}AB = 9\ (\mathrm{m})$。
连接 $AO$，设 $AO=r\ \mathrm{m}$，
根据题意得 $r^2=9^2+(r-3)^2$，
解得 $r=15$。
所以圆弧形拱桥的半径为 $15\ \mathrm{m}$。
(2) 因为 $ED=2\ \mathrm{m}$，$OD=15-3=12(\mathrm{m})$，所以 $EO=14\ \mathrm{m}$。
因为 $MN ⊥ CO$，所以 $ME = \frac{1}{2}MN$。
连接 $OM$，因为 $OM=15\ \mathrm{m}$，所以 $ME = \sqrt{15^2-14^2} = \sqrt{29}\ (\mathrm{m})$，所以 $MN=2ME=2\sqrt{29}\ (\mathrm{m})$，$2\sqrt{29}＞6$。
所以该货船可以顺利通过。
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的性质
【点评】
本题是圆的轴对称性的典型实际应用题，解题核心是将实际通行问题转化为几何中垂径定理的应用模型，结合勾股定理计算对应线段长度，考查了学生将实际问题抽象为几何模型的应用能力。
【难度系数】
0.7
