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1.已知点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$均在抛物线$y=x^2-1$上，下列说法中正确的是（
A.若$y_1=y_2$，则$x_1=x_2$
B.若$x_1=-x_2$，则$y_1=-y_2$
C.若$0＜x_1＜x_2$，则$y_1＞y_2$
D.若$x_1＜x_2＜0$，则$y_1＞y_2$
D
）A.若$y_1=y_2$，则$x_1=x_2$
B.若$x_1=-x_2$，则$y_1=-y_2$
C.若$0＜x_1＜x_2$，则$y_1＞y_2$
D.若$x_1＜x_2＜0$，则$y_1＞y_2$
答案
1.D
解析
【分析】
首先明确抛物线$y=x^2-1$的基本性质：开口向上，对称轴为y轴，在对称轴左侧y随x的增大而减小，右侧y随x的增大而增大，且关于y轴对称，即互为相反数的两个x值对应的y值相等。解题时可结合上述性质，逐一分析每个选项的正误，也可通过举反例快速排除错误选项。
【解析】
抛物线$y=x^2-1$的开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴），相关性质如下：
1. 对称性：若$x=-a$和$x=a$，代入函数得对应的y值均为$a^2-1$，即互为相反数的x值对应相等的y值；
2. 增减性：当$x＜0$时，y随x的增大而减小；当$x＞0$时，y随x的增大而增大。
逐个分析选项：
A选项：若$y_1=y_2$，例如$y_1=y_2=0$时，$x_1=1$，$x_2=-1$，此时$x_1≠ x_2$，故A错误；
B选项：若$x_1=-x_2$，则$y_1=x_1^2-1$，$y_2=x_2^2-1=(-x_1)^2-1=x_1^2-1=y_1$，即$y_1=y_2$，故B错误；
C选项：若$0＜x_1＜x_2$，两点都在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因此$y_1＜y_2$，故C错误；
D选项：若$x_1＜x_2＜0$，两点都在对称轴左侧，y随x的增大而减小，因此$x$越小$y$越大，即$y_1＞y_2$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的增减性；二次函数的对称性
【点评】
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质，解题时既可以根据函数的增减性、对称性直接判断，也可以通过举符合条件的反例排除错误选项，是对二次函数基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.7
首先明确抛物线$y=x^2-1$的基本性质：开口向上，对称轴为y轴，在对称轴左侧y随x的增大而减小，右侧y随x的增大而增大，且关于y轴对称，即互为相反数的两个x值对应的y值相等。解题时可结合上述性质，逐一分析每个选项的正误，也可通过举反例快速排除错误选项。
【解析】
抛物线$y=x^2-1$的开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴），相关性质如下：
1. 对称性：若$x=-a$和$x=a$，代入函数得对应的y值均为$a^2-1$，即互为相反数的x值对应相等的y值；
2. 增减性：当$x＜0$时，y随x的增大而减小；当$x＞0$时，y随x的增大而增大。
逐个分析选项：
A选项：若$y_1=y_2$，例如$y_1=y_2=0$时，$x_1=1$，$x_2=-1$，此时$x_1≠ x_2$，故A错误；
B选项：若$x_1=-x_2$，则$y_1=x_1^2-1$，$y_2=x_2^2-1=(-x_1)^2-1=x_1^2-1=y_1$，即$y_1=y_2$，故B错误；
C选项：若$0＜x_1＜x_2$，两点都在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因此$y_1＜y_2$，故C错误；
D选项：若$x_1＜x_2＜0$，两点都在对称轴左侧，y随x的增大而减小，因此$x$越小$y$越大，即$y_1＞y_2$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的增减性；二次函数的对称性
【点评】
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质，解题时既可以根据函数的增减性、对称性直接判断，也可以通过举符合条件的反例排除错误选项，是对二次函数基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.7
2.下列图象中,可能是函数$y=ax^2 - a(a≠0)$的图象的是(
D
)答案
2.D
解析
【分析】
解题时先从二次函数$y=ax^2 -a(a≠0)$的基本性质入手：该函数没有一次项，因此对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,-a)$。首先根据$a≠0$判断顶点不可能在原点，排除顶点在原点的选项；再分$a＞0$、$a＜0$两种情况讨论抛物线的开口方向、顶点位置，结合图像特征逐一排除错误选项即可。
【解析】
解：函数$y=ax^2 -a(a≠0)$是二次函数，一次项系数为0，因此对称轴为$x=0$（即y轴），顶点坐标为$(0,-a)$。
1. 排除顶点在原点的选项：
若顶点在原点，则$-a=0$，即$a=0$，与题干$a≠0$矛盾，因此顶点在原点的A、C选项错误。
2. 分类讨论参数$a$：
若$a＞0$，抛物线开口向上，顶点纵坐标$-a＜0$，即顶点在y轴负半轴，令$y=0$，解得$x=\pm1$，即抛物线与x轴交于$(-1,0)$、$(1,0)$两点。观察选项B，其对称轴不是y轴，不符合函数性质，故B错误。
若$a＜0$，抛物线开口向下，顶点纵坐标$-a＞0$，即顶点在y轴正半轴，令$y=0$，同样解得$x=\pm1$，抛物线与x轴交于$(-1,0)$、$(1,0)$两点，与选项D的图像一致，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质；二次函数开口方向；二次函数顶点坐标
【点评】
本题核心是考查二次函数$y=ax^2+k$的基础性质，解题时优先确定对称轴、顶点坐标，再结合参数的正负分类讨论即可快速排除错误选项，属于基础性质应用题。
【难度系数】
0.7
解题时先从二次函数$y=ax^2 -a(a≠0)$的基本性质入手：该函数没有一次项，因此对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,-a)$。首先根据$a≠0$判断顶点不可能在原点，排除顶点在原点的选项；再分$a＞0$、$a＜0$两种情况讨论抛物线的开口方向、顶点位置，结合图像特征逐一排除错误选项即可。
【解析】
解：函数$y=ax^2 -a(a≠0)$是二次函数，一次项系数为0，因此对称轴为$x=0$（即y轴），顶点坐标为$(0,-a)$。
1. 排除顶点在原点的选项：
若顶点在原点，则$-a=0$，即$a=0$，与题干$a≠0$矛盾，因此顶点在原点的A、C选项错误。
2. 分类讨论参数$a$：
若$a＞0$，抛物线开口向上，顶点纵坐标$-a＜0$，即顶点在y轴负半轴，令$y=0$，解得$x=\pm1$，即抛物线与x轴交于$(-1,0)$、$(1,0)$两点。观察选项B，其对称轴不是y轴，不符合函数性质，故B错误。
若$a＜0$，抛物线开口向下，顶点纵坐标$-a＞0$，即顶点在y轴正半轴，令$y=0$，同样解得$x=\pm1$，抛物线与x轴交于$(-1,0)$、$(1,0)$两点，与选项D的图像一致，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质；二次函数开口方向；二次函数顶点坐标
【点评】
本题核心是考查二次函数$y=ax^2+k$的基础性质，解题时优先确定对称轴、顶点坐标，再结合参数的正负分类讨论即可快速排除错误选项，属于基础性质应用题。
【难度系数】
0.7
3.已知二次函数$y=x^2 -1$，当$-2≤ x≤1$时，函数值$y$的取值范围是（
A.$0≤ y≤3$
B.$-1≤ y≤0$
C.$0≤ y≤1$
D.$-1≤ y≤3$
D
）A.$0≤ y≤3$
B.$-1≤ y≤0$
C.$0≤ y≤1$
D.$-1≤ y≤3$
答案
3.D
解析
【分析】要确定二次函数在指定区间内的函数值范围，首先需要明确二次函数的基本性质：该函数二次项系数为1＞0，因此抛物线开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,-1)$，是函数的最低点，对应函数的最小值。接下来判断最值的位置：最小值就是顶点的纵坐标，最大值需要比较区间端点到对称轴的距离，开口向上时离对称轴越远函数值越大，代入对应x值计算即可得到最大值，最终确定y的取值范围。
【解析】
1. 分析二次函数基本性质
二次函数$y=x^2-1$中$a=1＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,-1)$，因此函数的最小值为$y=-1$。
2. 计算区间端点的函数值
当$x=-2$时，$y=(-2)^2-1=3$；
当$x=1$时，$y=1^2-1=0$。
3. 确定取值范围
在$-2≤x≤1$范围内，函数最大值为3，最小值为-1，因此$y$的取值范围是$-1≤y≤3$。
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+k的性质；二次函数区间最值
【点评】本题解题的核心是不要直接代入区间两个端点的函数值作为最值，要先判断顶点是否在给定区间内，结合开口方向确定最值的位置，是二次函数性质的基础应用。
【难度系数】0.8
【解析】
1. 分析二次函数基本性质
二次函数$y=x^2-1$中$a=1＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,-1)$，因此函数的最小值为$y=-1$。
2. 计算区间端点的函数值
当$x=-2$时，$y=(-2)^2-1=3$；
当$x=1$时，$y=1^2-1=0$。
3. 确定取值范围
在$-2≤x≤1$范围内，函数最大值为3，最小值为-1，因此$y$的取值范围是$-1≤y≤3$。
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+k的性质；二次函数区间最值
【点评】本题解题的核心是不要直接代入区间两个端点的函数值作为最值，要先判断顶点是否在给定区间内，结合开口方向确定最值的位置，是二次函数性质的基础应用。
【难度系数】0.8
4.已知抛物线$y_1=x^2-2$经过平移后得到抛物线$y_2=x^2-4$。若抛物线$y_1=x^2-2$上任意一点M的坐标是$(m,n)$，则平移后其对应点的坐标一定是(
A.$(m,n-2)$
B.$(m-2,n)$
C.$(m+2,n)$
D.$(m,n+2)$
A
)A.$(m,n-2)$
B.$(m-2,n)$
C.$(m+2,n)$
D.$(m,n+2)$
答案
4.A
解析
【分析】
首先判断抛物线的平移类型：二次函数平移时，若二次项系数a相同，说明抛物线形状大小不变，仅位置改变。对比两个抛物线的解析式，自变量x的形式完全一致，只有常数项不同，因此属于上下平移，平移过程中点的横坐标不变。再结合二次函数上下平移“上加下减”的规律，计算平移的方向和距离，就能推导得到对应点的坐标。
【解析】
1. 判断平移类型
抛物线$y_1=x^2-2$和$y_2=x^2-4$的二次项系数均为1，自变量x的表达式完全相同，仅常数项不同，因此为上下平移，所有点的横坐标保持不变，可排除B、C选项。
2. 确定平移方向和距离
对$y_2$变形可得：$y_2=x^2-4=(x^2-2)-2=y_1-2$，说明对任意相同的横坐标，$y_2$的函数值比$y_1$小2，即$y_1$向下平移2个单位得到$y_2$。
3. 推导对应点坐标
点向下平移2个单位时，纵坐标减少2，横坐标不变。已知点M坐标为$(m,n)$，因此平移后对应点的坐标为$(m,n-2)$。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 点平移的坐标变化
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心是掌握“上加下减常数项，左加右减自变量”的平移口诀，区分上下、左右平移对应的坐标变化规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先判断抛物线的平移类型：二次函数平移时，若二次项系数a相同，说明抛物线形状大小不变，仅位置改变。对比两个抛物线的解析式，自变量x的形式完全一致，只有常数项不同，因此属于上下平移，平移过程中点的横坐标不变。再结合二次函数上下平移“上加下减”的规律，计算平移的方向和距离，就能推导得到对应点的坐标。
【解析】
1. 判断平移类型
抛物线$y_1=x^2-2$和$y_2=x^2-4$的二次项系数均为1，自变量x的表达式完全相同，仅常数项不同，因此为上下平移，所有点的横坐标保持不变，可排除B、C选项。
2. 确定平移方向和距离
对$y_2$变形可得：$y_2=x^2-4=(x^2-2)-2=y_1-2$，说明对任意相同的横坐标，$y_2$的函数值比$y_1$小2，即$y_1$向下平移2个单位得到$y_2$。
3. 推导对应点坐标
点向下平移2个单位时，纵坐标减少2，横坐标不变。已知点M坐标为$(m,n)$，因此平移后对应点的坐标为$(m,n-2)$。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 点平移的坐标变化
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心是掌握“上加下减常数项，左加右减自变量”的平移口诀，区分上下、左右平移对应的坐标变化规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 如图26－2－7，两条抛物线$y_1=-\dfrac{1}{2}x^2+1$，$y_2=-\dfrac{1}{2}x^2-1$与分别经过点$(-2,0),(2,0)$且平行于$y$轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为(
A.8
B.6
C.10
D.4
图26－2－7
A
)A.8
B.6
C.10
D.4
图26－2－7
答案
5.A 点拨:两条抛物线的形状相同,利用图形的平移,便可知阴影部分的面积为 8.
解析
【分析】
解题时先观察两个二次函数解析式的特点：二者二次项系数相同，说明两条抛物线形状完全一致，仅为上下平移得到的。阴影部分是不规则图形，无法直接用公式计算面积，因此需要转化为规则图形求解。计算相同x对应的两个函数值的差，可发现差值为固定值2，说明两条抛物线竖直方向的间距处处相等。阴影的左右边界是x=-2和x=2，两条平行线的水平距离为4，此时可通过平移割补将阴影部分转化为长方形，直接计算长方形面积即可。
【解析】
∵ 两条抛物线$y_1=-\dfrac{1}{2}x^2+1$和$y_2=-\dfrac{1}{2}x^2-1$的二次项系数相同，
∴ 两条抛物线形状完全相同，$y_2$是$y_1$向下平移2个单位得到的。
对任意相同的x值，两个函数的差值为：
$y_1 - y_2 = (-\dfrac{1}{2}x^2+1) - (-\dfrac{1}{2}x^2-1) = 2$，即两条抛物线竖直方向的间距恒为2。
又
∵ 围成阴影的左右边界是过$(-2,0)$、$(2,0)$且平行于y轴的直线，两条直线的水平距离为$2 - (-2) = 4$。
根据割补平移法，阴影部分的面积等价于长为4、宽为2的长方形的面积，
∴ $S_{\mathrm{阴影}} = 4 × 2 = 8$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象平移，割补法求面积，二次函数的性质
【点评】
本题巧妙考查了二次函数的图象性质和转化思想，不需要复杂计算，只要抓住两个抛物线形状相同、竖直间距固定的特点，通过平移将不规则阴影转化为规则长方形即可快速求解，能很好地锻炼学生的图形转化能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察两个二次函数解析式的特点：二者二次项系数相同，说明两条抛物线形状完全一致，仅为上下平移得到的。阴影部分是不规则图形，无法直接用公式计算面积，因此需要转化为规则图形求解。计算相同x对应的两个函数值的差，可发现差值为固定值2，说明两条抛物线竖直方向的间距处处相等。阴影的左右边界是x=-2和x=2，两条平行线的水平距离为4，此时可通过平移割补将阴影部分转化为长方形，直接计算长方形面积即可。
【解析】
∵ 两条抛物线$y_1=-\dfrac{1}{2}x^2+1$和$y_2=-\dfrac{1}{2}x^2-1$的二次项系数相同，
∴ 两条抛物线形状完全相同，$y_2$是$y_1$向下平移2个单位得到的。
对任意相同的x值，两个函数的差值为：
$y_1 - y_2 = (-\dfrac{1}{2}x^2+1) - (-\dfrac{1}{2}x^2-1) = 2$，即两条抛物线竖直方向的间距恒为2。
又
∵ 围成阴影的左右边界是过$(-2,0)$、$(2,0)$且平行于y轴的直线，两条直线的水平距离为$2 - (-2) = 4$。
根据割补平移法，阴影部分的面积等价于长为4、宽为2的长方形的面积，
∴ $S_{\mathrm{阴影}} = 4 × 2 = 8$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象平移，割补法求面积，二次函数的性质
【点评】
本题巧妙考查了二次函数的图象性质和转化思想，不需要复杂计算，只要抓住两个抛物线形状相同、竖直间距固定的特点，通过平移将不规则阴影转化为规则长方形即可快速求解，能很好地锻炼学生的图形转化能力。
【难度系数】
0.7
6.若$y=(a-4)x^{a^2 - 3a -2} +a$是二次函数，
（1）求$a$的值；
（2）求函数的解析式；
（3）请画出函数的图象，结合图象说一说图象有哪些性质。
（1）求$a$的值；
（2）求函数的解析式；
（3）请画出函数的图象，结合图象说一说图象有哪些性质。
答案
6.解:(1)由题意,得$\begin{cases} a^2 - 3a -2=2, \\ a-4≠0, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=4 或 a=-1, \\ a≠4. \end{cases}$
$\therefore a=-1.$
(2)$\because a=-1$,
$\therefore$ 函数的解析式为 $y=-5x^2-1$.
(3)列表:
|$x$|$···$|$-1$|$-\dfrac{1}{2}$|$0$|$\dfrac{1}{2}$|$1$|$···$|
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|$y$|$···$|$-6$|$-\dfrac{9}{4}$|$-1$|$-\dfrac{9}{4}$|$-6$|$···$|
描点画图, 函数 $y=-5x^2-1$ 的图象如答图 26-2-3.
它的开口向下, 对称轴是 $y$ 轴,
顶点坐标为 $(0,-1)$, 有最大值 $-1$.
当 $x＜0$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而增大;
当 $x＞0$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小.
解析
【分析】
（1）求解a的值需结合二次函数的定义思考：二次函数需满足两个核心条件，一是自变量的最高次数为2，二是二次项的系数不为0，据此列方程和不等式联立求解即可；
（2）求函数解析式只需将第（1）问求得的a值代入原式化简即可；
（3）画$y=ax^2+k$型二次函数的图象，可先选取关于y轴对称的点列表，再描点、连线得到图象；分析图象性质可从开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性这几个角度结合图象总结。
【解析】
（1）根据二次函数的定义，可得方程组：
$\begin{cases} a^2 - 3a -2=2 \\ a-4≠0 \end{cases}$
先解方程$a^2 - 3a -2=2$，移项得$a^2-3a-4=0$，因式分解为$(a-4)(a+1)=0$，解得$a=4$或$a=-1$；
结合不等式$a-4≠0$，即$a≠4$，因此$a=-1$。
（2）将$a=-1$代入原函数式，二次项系数为$-1-4=-5$，常数项为$-1$，因此函数解析式为$y=-5x^2-1$。
（3）①列表：选取关于y轴对称的x值，计算对应y值如下：
|$x$|$···$|$-1$|$-\dfrac{1}{2}$|$0$|$\dfrac{1}{2}$|$1$|$···$|
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|$y$|$···$|$-6$|$-\dfrac{9}{4}$|$-1$|$-\dfrac{9}{4}$|$-6$|$···$|
②描点、连线，画出函数图象：
③总结图象性质：
该函数图象开口向下，对称轴是y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,-1)$，函数有最大值$-1$；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
(1)$a=-1$；
(2)函数解析式为$\boldsymbol{y=-5x^2-1}$；
(3)列表、图象及性质如下：
|$x$|$···$|$-1$|$-\dfrac{1}{2}$|$0$|$\dfrac{1}{2}$|$1$|$···$|
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|$y$|$···$|$-6$|$-\dfrac{9}{4}$|$-1$|$-\dfrac{9}{4}$|$-6$|$···$|
图象性质：开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标$(0,-1)$，最大值为$-1$；$x＜0$时y随x增大而增大，$x＞0$时y随x增大而减小。
【知识点】
二次函数的定义；二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质；待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查对二次函数定义的理解和基础型二次函数图象性质的掌握，易错点是求解a值时容易忽略二次项系数不为0的限制条件，需要同学们牢固掌握基础概念，养成严谨的解题习惯。
【难度系数】
0.8
（1）求解a的值需结合二次函数的定义思考：二次函数需满足两个核心条件，一是自变量的最高次数为2，二是二次项的系数不为0，据此列方程和不等式联立求解即可；
（2）求函数解析式只需将第（1）问求得的a值代入原式化简即可；
（3）画$y=ax^2+k$型二次函数的图象，可先选取关于y轴对称的点列表，再描点、连线得到图象；分析图象性质可从开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性这几个角度结合图象总结。
【解析】
（1）根据二次函数的定义，可得方程组：
$\begin{cases} a^2 - 3a -2=2 \\ a-4≠0 \end{cases}$
先解方程$a^2 - 3a -2=2$，移项得$a^2-3a-4=0$，因式分解为$(a-4)(a+1)=0$，解得$a=4$或$a=-1$；
结合不等式$a-4≠0$，即$a≠4$，因此$a=-1$。
（2）将$a=-1$代入原函数式，二次项系数为$-1-4=-5$，常数项为$-1$，因此函数解析式为$y=-5x^2-1$。
（3）①列表：选取关于y轴对称的x值，计算对应y值如下：
|$x$|$···$|$-1$|$-\dfrac{1}{2}$|$0$|$\dfrac{1}{2}$|$1$|$···$|
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|$y$|$···$|$-6$|$-\dfrac{9}{4}$|$-1$|$-\dfrac{9}{4}$|$-6$|$···$|
②描点、连线，画出函数图象：
③总结图象性质：
该函数图象开口向下，对称轴是y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,-1)$，函数有最大值$-1$；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
(1)$a=-1$；
(2)函数解析式为$\boldsymbol{y=-5x^2-1}$；
(3)列表、图象及性质如下：
|$x$|$···$|$-1$|$-\dfrac{1}{2}$|$0$|$\dfrac{1}{2}$|$1$|$···$|
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|$y$|$···$|$-6$|$-\dfrac{9}{4}$|$-1$|$-\dfrac{9}{4}$|$-6$|$···$|
图象性质：开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标$(0,-1)$，最大值为$-1$；$x＜0$时y随x增大而增大，$x＞0$时y随x增大而减小。
【知识点】
二次函数的定义；二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质；待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查对二次函数定义的理解和基础型二次函数图象性质的掌握，易错点是求解a值时容易忽略二次项系数不为0的限制条件，需要同学们牢固掌握基础概念，养成严谨的解题习惯。
【难度系数】
0.8
