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1.【生活应用】某旅行社在国庆期间接待了一个由亲友组成的旅游团.游玩时,导游先给该旅游团拍了1张集体照,又给每两位亲友都拍了1张合影.为了保证每位旅游团成员都能拿到有自己的所有照片,该旅行社一共冲印了256张照片,则这个旅游团的人数为(
A.12
B.14
C.16
D.18
C
)A.12
B.14
C.16
D.18
答案
C
解析
【分析】
这是一道一元二次方程的实际应用题，解题的关键是找准总冲印照片数和旅游团人数的等量关系。我们可以先设旅游团人数为x，先分析每位成员能拿到的有自己的照片数量：首先1张集体照必定包含自己，另外每两位亲友拍1张合影，包含自己的合影是自己和其余(x-1)位成员各拍1张，共(x-1)张，因此每位成员共能拿到[1+(x-1)]=x张照片。总冲印照片数等于人数乘以每人拿到的照片数，据此列方程求解即可。
【解析】
设这个旅游团的人数为x。
由题意得，每位成员能拿到的有自己的照片数量为：1张集体照 + (x-1)张和其他成员的合影 = x张。
总冲印照片数为人数×每人拿到的照片数，因此可列方程：
$x · x = 256$
即$x^2 = 256$
解得$x_1=16$，$x_2=-16$（人数不能为负数，不符合实际，舍去）
所以旅游团人数为16。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用，循环问题
【点评】
本题结合生活场景考查方程的实际应用，解题核心是理清每位成员拿到的照片数量和总冲印量的对应关系，只要准确找到等量关系即可快速求解，计算量较小。
【难度系数】
0.7
这是一道一元二次方程的实际应用题，解题的关键是找准总冲印照片数和旅游团人数的等量关系。我们可以先设旅游团人数为x，先分析每位成员能拿到的有自己的照片数量：首先1张集体照必定包含自己，另外每两位亲友拍1张合影，包含自己的合影是自己和其余(x-1)位成员各拍1张，共(x-1)张，因此每位成员共能拿到[1+(x-1)]=x张照片。总冲印照片数等于人数乘以每人拿到的照片数，据此列方程求解即可。
【解析】
设这个旅游团的人数为x。
由题意得，每位成员能拿到的有自己的照片数量为：1张集体照 + (x-1)张和其他成员的合影 = x张。
总冲印照片数为人数×每人拿到的照片数，因此可列方程：
$x · x = 256$
即$x^2 = 256$
解得$x_1=16$，$x_2=-16$（人数不能为负数，不符合实际，舍去）
所以旅游团人数为16。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用，循环问题
【点评】
本题结合生活场景考查方程的实际应用，解题核心是理清每位成员拿到的照片数量和总冲印量的对应关系，只要准确找到等量关系即可快速求解，计算量较小。
【难度系数】
0.7
2.【跨学科融合·物理】把一个小球以20 m/s的速度竖直向上抛出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系$h=20t-5t^2$，当$h=20$时，小球的运动时间为
2
s.答案
2
解析
【分析】
已知小球高度h与时间t的函数关系式，要求h=20时对应的运动时间，只需将h=20代入关系式，得到关于t的一元二次方程，求解方程后取符合实际意义的解即可。
【解析】
解：把$h=20$代入$h=20t-5t^2$，可得：
$20 = 20t - 5t^2$
移项整理得：$5t^2 - 20t + 20 = 0$
两边同时除以5化简得：$t^2 - 4t + 4 = 0$
因式分解得：$(t-2)^2 = 0$
解得$t_1 = t_2 = 2$
即小球的运动时间为2s。
【答案】
2
【知识点】
二次函数的实际应用、一元二次方程的解法、函数值与自变量的对应关系
【点评】
本题结合物理抛体运动背景考查基础的函数应用问题，解题核心是将已知函数值代入关系式转化为方程求解，难度较低，只需熟练掌握一元二次方程的解法，同时注意解要符合实际场景的要求即可。
【难度系数】
0.8
已知小球高度h与时间t的函数关系式，要求h=20时对应的运动时间，只需将h=20代入关系式，得到关于t的一元二次方程，求解方程后取符合实际意义的解即可。
【解析】
解：把$h=20$代入$h=20t-5t^2$，可得：
$20 = 20t - 5t^2$
移项整理得：$5t^2 - 20t + 20 = 0$
两边同时除以5化简得：$t^2 - 4t + 4 = 0$
因式分解得：$(t-2)^2 = 0$
解得$t_1 = t_2 = 2$
即小球的运动时间为2s。
【答案】
2
【知识点】
二次函数的实际应用、一元二次方程的解法、函数值与自变量的对应关系
【点评】
本题结合物理抛体运动背景考查基础的函数应用问题，解题核心是将已知函数值代入关系式转化为方程求解，难度较低，只需熟练掌握一元二次方程的解法，同时注意解要符合实际场景的要求即可。
【难度系数】
0.8
3.【数学文化】下面是改编自数学著作《算术之钥》的一道题:一群人走进果园去摘石榴,第一个人摘了1个石榴,第二个人摘了2个石榴,第三个人摘了3个石榴,以此类推,后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴,这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了.如果平均分配,每个人可以得到10个石榴,那么这群人共有
19
人.答案
19
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以通过设未知数、找等量关系列方程的思路求解：第一步，明确每人摘的石榴数是连续正整数，总石榴数是1到人数的连续整数之和；第二步，结合“平均每人得10个石榴”的条件，总石榴数也等于人数乘10；第三步，让两个表示总石榴数的式子相等，解方程即可，注意人数是正整数，要舍去不符合实际的解。
【解析】
设这群人共有$x$人。
由题意可知，所有人摘的石榴总个数为连续正整数的和，即：
$1+2+3+\dots+x=\frac{x(x+1)}{2}$
又因为平均分配每人可得10个石榴，所以石榴总个数也可表示为$10x$，据此列方程：
$\frac{x(x+1)}{2}=10x$
因为$x$表示人数，是正整数，$x≠0$，方程两边同时除以$x$得：
$\frac{x+1}{2}=10$
解得$x=19$。
（也可展开方程求解：去分母得$x(x+1)=20x$，整理得$x^2-19x=0$，因式分解得$x(x-19)=0$，解得$x_1=0$（不符合实际舍去），$x_2=19$）
【答案】
19
【知识点】
一元二次方程的应用；等差数列求和；平均数计算
【点评】
本题结合古代数学文化出题，考查方程思想的实际应用，解题核心是找准等量关系，正确表示石榴总数量，理清题意即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以通过设未知数、找等量关系列方程的思路求解：第一步，明确每人摘的石榴数是连续正整数，总石榴数是1到人数的连续整数之和；第二步，结合“平均每人得10个石榴”的条件，总石榴数也等于人数乘10；第三步，让两个表示总石榴数的式子相等，解方程即可，注意人数是正整数，要舍去不符合实际的解。
【解析】
设这群人共有$x$人。
由题意可知，所有人摘的石榴总个数为连续正整数的和，即：
$1+2+3+\dots+x=\frac{x(x+1)}{2}$
又因为平均分配每人可得10个石榴，所以石榴总个数也可表示为$10x$，据此列方程：
$\frac{x(x+1)}{2}=10x$
因为$x$表示人数，是正整数，$x≠0$，方程两边同时除以$x$得：
$\frac{x+1}{2}=10$
解得$x=19$。
（也可展开方程求解：去分母得$x(x+1)=20x$，整理得$x^2-19x=0$，因式分解得$x(x-19)=0$，解得$x_1=0$（不符合实际舍去），$x_2=19$）
【答案】
19
【知识点】
一元二次方程的应用；等差数列求和；平均数计算
【点评】
本题结合古代数学文化出题，考查方程思想的实际应用，解题核心是找准等量关系，正确表示石榴总数量，理清题意即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
4.【教材P23练习T2变式】我们都知道四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条.
(1)六边形的对角线有
(2)多边形的对角线可以有20条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由.
(1)六边形的对角线有
9
条，七边形的对角线有14
条.(2)多边形的对角线可以有20条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由.
答案
(1)9 14
(2)可以.设这个多边形的边数为n，
由题意,得$\frac{n(n-3)}{2}=20$,
整理,得$n^2-3n-40=0$,
解得$n_1=8$,$n_2=-5$(不合题意,舍去).
答:多边形的对角线可以有20条,这个多边形的边数为8.
(2)可以.设这个多边形的边数为n，
由题意,得$\frac{n(n-3)}{2}=20$,
整理,得$n^2-3n-40=0$,
解得$n_1=8$,$n_2=-5$(不合题意,舍去).
答:多边形的对角线可以有20条,这个多边形的边数为8.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要掌握n边形对角线条数的推导方法：n边形有n个顶点，每个顶点不能和自身、相邻的2个顶点连对角线，因此每个顶点可连(n-3)条对角线；由于每条对角线对应2个顶点，会被重复计算1次，因此n边形总对角线条数为$\frac{n(n-3)}{2}$。第一问直接将n=6、n=7代入公式计算即可；第二问将对角线条数20代入公式得到关于n的一元二次方程，求解后根据边数为正整数的实际意义取舍解即可。
【解析】
(1) 根据n边形对角线条数公式$\frac{n(n-3)}{2}$计算：
当多边形为六边形，即$n=6$时，对角线条数为$\frac{6×(6-3)}{2}=\frac{6×3}{2}=9$；
当多边形为七边形，即$n=7$时，对角线条数为$\frac{7×(7-3)}{2}=\frac{7×4}{2}=14$。
(2) 多边形的对角线可以有20条，求解过程如下：
设这个多边形的边数为n，根据对角线条数公式列方程：
$\frac{n(n-3)}{2}=20$
两边同乘2整理得：$n^2-3n-40=0$
因式分解得$(n-8)(n+5)=0$，解得$n_1=8$，$n_2=-5$。
∵多边形的边数为正整数，
∴$n_2=-5$不符合实际意义，舍去。
即该多边形的边数为8。
【答案】
(1)9；14
(2)可以，这个多边形的边数为8。
【知识点】
多边形对角线公式；一元二次方程的应用；解一元二次方程
【点评】
本题核心考查多边形对角线公式的灵活运用，解题的关键是牢记对角线条数的推导逻辑和公式，在求解方程后要注意结合多边形边数的实际意义舍去不合理的根，熟练掌握相关知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要掌握n边形对角线条数的推导方法：n边形有n个顶点，每个顶点不能和自身、相邻的2个顶点连对角线，因此每个顶点可连(n-3)条对角线；由于每条对角线对应2个顶点，会被重复计算1次，因此n边形总对角线条数为$\frac{n(n-3)}{2}$。第一问直接将n=6、n=7代入公式计算即可；第二问将对角线条数20代入公式得到关于n的一元二次方程，求解后根据边数为正整数的实际意义取舍解即可。
【解析】
(1) 根据n边形对角线条数公式$\frac{n(n-3)}{2}$计算：
当多边形为六边形，即$n=6$时，对角线条数为$\frac{6×(6-3)}{2}=\frac{6×3}{2}=9$；
当多边形为七边形，即$n=7$时，对角线条数为$\frac{7×(7-3)}{2}=\frac{7×4}{2}=14$。
(2) 多边形的对角线可以有20条，求解过程如下：
设这个多边形的边数为n，根据对角线条数公式列方程：
$\frac{n(n-3)}{2}=20$
两边同乘2整理得：$n^2-3n-40=0$
因式分解得$(n-8)(n+5)=0$，解得$n_1=8$，$n_2=-5$。
∵多边形的边数为正整数，
∴$n_2=-5$不符合实际意义，舍去。
即该多边形的边数为8。
【答案】
(1)9；14
(2)可以，这个多边形的边数为8。
【知识点】
多边形对角线公式；一元二次方程的应用；解一元二次方程
【点评】
本题核心考查多边形对角线公式的灵活运用，解题的关键是牢记对角线条数的推导逻辑和公式，在求解方程后要注意结合多边形边数的实际意义舍去不合理的根，熟练掌握相关知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.7
5.在一次象棋比赛中,实行单循环赛制(即每名选手都与其他选手比赛一局),每局胜者记2分,负者记0分,如果平局,两名选手各记1分.今有4名同学统计了比赛中全部选手的得分总和,结果分别为2005分、2004分、2070分、2008分,经核实确定只有一名同学统计无误,试计算这次比赛中共有多少名选手参赛.
答案
解:设共有x(x为正整数)名选手参赛，
所以共有$\frac{1}{2}x(x-1)$局比赛.
因为每局比赛共计2分,所以全部选手的得分总和为$x(x-1)$分,
由于相邻两个自然数之积是偶数,且得分总和的个位数字只能是0,2,6,
故得分总和不能为2005分,2004分,2008分,
所以可得方程$x(x-1)=2070$.
解得$x_1=46$,$x_2=-45$(不合题意,舍去).
答:这次比赛共有46名选手参赛.
所以共有$\frac{1}{2}x(x-1)$局比赛.
因为每局比赛共计2分,所以全部选手的得分总和为$x(x-1)$分,
由于相邻两个自然数之积是偶数,且得分总和的个位数字只能是0,2,6,
故得分总和不能为2005分,2004分,2008分,
所以可得方程$x(x-1)=2070$.
解得$x_1=46$,$x_2=-45$(不合题意,舍去).
答:这次比赛共有46名选手参赛.
解析
【分析】
首先明确单循环赛制的总比赛场数计算方法：若有x名选手，每名选手要和其余(x-1)名选手各赛1局，每场比赛被2名选手各统计1次，因此总场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$局。其次分析每局比赛的总得分：无论比赛结果是胜负还是平局，每局双方总得分均为2分（胜局2+0=2，平局1+1=2），因此全部选手的总得分=总场数×2，即总得分是$x(x-1)$分。x和x-1是相邻的正整数，乘积必然是偶数，且相邻正整数乘积的个位数字只能是0、2、6，据此可排除错误的统计结果，再列一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的负根即可得到参赛选手数。
【解析】
设共有x（x为正整数）名选手参赛。
1. 计算总比赛场数：单循环赛制下，总比赛场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$局。
2. 推导总得分表达式：每局比赛双方总得分恒为2分，因此全部选手的得分总和为$\frac{1}{2}x(x-1) × 2 = x(x-1)$分。
3. 排除错误统计结果：x和x-1是相邻正整数，乘积为偶数，首先排除奇数2005分；相邻正整数乘积的个位数字只能是0、2、6，因此排除个位为4的2004分、个位为8的2008分，仅2070分统计正确。
4. 列方程求解：
由题意得$x(x-1)=2070$，整理得$x^2 - x - 2070 = 0$。
解得$x=\frac{1\pm\sqrt{1+4×2070}}{2}=\frac{1\pm91}{2}$，即$x_1=46$，$x_2=-45$（选手人数不能为负，舍去）。
【答案】
这次比赛中共有46名选手参赛。
【知识点】
1. 单循环赛制计数
2. 一元二次方程的应用
3. 整数乘积性质
【点评】
本题是结合比赛场景的方程应用题，解题的核心是先推导出总得分的表达式，利用相邻整数乘积的特征快速筛除错误数据，再解方程得到结果，求解后要注意检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.6
首先明确单循环赛制的总比赛场数计算方法：若有x名选手，每名选手要和其余(x-1)名选手各赛1局，每场比赛被2名选手各统计1次，因此总场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$局。其次分析每局比赛的总得分：无论比赛结果是胜负还是平局，每局双方总得分均为2分（胜局2+0=2，平局1+1=2），因此全部选手的总得分=总场数×2，即总得分是$x(x-1)$分。x和x-1是相邻的正整数，乘积必然是偶数，且相邻正整数乘积的个位数字只能是0、2、6，据此可排除错误的统计结果，再列一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的负根即可得到参赛选手数。
【解析】
设共有x（x为正整数）名选手参赛。
1. 计算总比赛场数：单循环赛制下，总比赛场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$局。
2. 推导总得分表达式：每局比赛双方总得分恒为2分，因此全部选手的得分总和为$\frac{1}{2}x(x-1) × 2 = x(x-1)$分。
3. 排除错误统计结果：x和x-1是相邻正整数，乘积为偶数，首先排除奇数2005分；相邻正整数乘积的个位数字只能是0、2、6，因此排除个位为4的2004分、个位为8的2008分，仅2070分统计正确。
4. 列方程求解：
由题意得$x(x-1)=2070$，整理得$x^2 - x - 2070 = 0$。
解得$x=\frac{1\pm\sqrt{1+4×2070}}{2}=\frac{1\pm91}{2}$，即$x_1=46$，$x_2=-45$（选手人数不能为负，舍去）。
【答案】
这次比赛中共有46名选手参赛。
【知识点】
1. 单循环赛制计数
2. 一元二次方程的应用
3. 整数乘积性质
【点评】
本题是结合比赛场景的方程应用题，解题的核心是先推导出总得分的表达式，利用相邻整数乘积的特征快速筛除错误数据，再解方程得到结果，求解后要注意检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.6
