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1.某商店以20元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)(x＞20)之间的函数关系如图25－3－8所示.
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)现要求尽快售完该商品，并使销售利润达到800元，求销售单价应定为每千克多少元.
(3)销售利润能达到1000元吗？若能，求出此时的销售单价；若不能，请说明理由.
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)现要求尽快售完该商品，并使销售利润达到800元，求销售单价应定为每千克多少元.
(3)销售利润能达到1000元吗？若能，求出此时的销售单价；若不能，请说明理由.
答案
(1)设$y=kx+b$,
将$(20,60)$和$(80,0)$的坐标分别代入上式，
得$\begin{cases}20k+b=60,\\80k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=80,\end{cases}$
∴y与x之间的函数关系式为$y=-x+80$.
(2)当销售利润达到800元时,$(x-20)y=800$,即$(x-20)(-x+80)=800$,
解得$x_1=40$,$x_2=60$.
∵要尽快售完该商品，
∴$x=60$应舍去.
答:销售单价应定为40元/千克.
(3)销售利润不能达到1000元.
理由:当销售利润达到1000元时，
$(x-20)y=1000$,
即$(x-20)(-x+80)=1000$,
整理,得$x^2-100x+2600=0$,
∵$b^2-4ac=10000-10400=-400＜0$,
∴方程没有实数根，
∴销售利润不能达到1000元.
将$(20,60)$和$(80,0)$的坐标分别代入上式，
得$\begin{cases}20k+b=60,\\80k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=80,\end{cases}$
∴y与x之间的函数关系式为$y=-x+80$.
(2)当销售利润达到800元时,$(x-20)y=800$,即$(x-20)(-x+80)=800$,
解得$x_1=40$,$x_2=60$.
∵要尽快售完该商品，
∴$x=60$应舍去.
答:销售单价应定为40元/千克.
(3)销售利润不能达到1000元.
理由:当销售利润达到1000元时，
$(x-20)y=1000$,
即$(x-20)(-x+80)=1000$,
整理,得$x^2-100x+2600=0$,
∵$b^2-4ac=10000-10400=-400＜0$,
∴方程没有实数根，
∴销售利润不能达到1000元.
解析
【分析】
(1)观察图象可知y与x是一次函数关系，图象经过(20,60)和(80,0)两个点，可采用待定系数法求函数解析式：设解析式为y=kx+b，将两个点坐标代入得到二元一次方程组，解出k、b即可，注意结合题意明确x的取值范围。
(2)销售利润的等量关系为：总利润=每千克利润×销售量，其中每千克利润为(x-20)元，销售量是第一问求出的y，根据利润为800元列方程求解。因为要尽快售完商品，需要销售量尽可能大，结合一次函数的增减性，选择更小的x值即可。
(3)假设利润能达到1000元，按照上述利润等量关系列方程，整理为一元二次方程的一般形式后计算根的判别式，若判别式≥0说明存在符合条件的销售单价，若判别式＜0说明方程无实根，利润无法达到。
【解析】
(1)设y与x的函数关系式为$y=kx+b\ (k≠0)$，
将$(20,60)$和$(80,0)$代入解析式，得：
$\begin{cases}20k+b=60\\80k+b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=80\end{cases}$
∴y与x之间的函数关系式为$y=-x+80\ (20＜x≤80)$。
(2)根据总利润的等量关系列方程：
$(x-20)(-x+80)=800$
整理得$x^2-100x+2400=0$
解得$x_1=40$，$x_2=60$
∵要尽快售完商品，$y=-x+80$中y随x的增大而减小，x越小销售量越大，
∴舍去$x=60$，取$x=40$。
(3)销售利润不能达到1000元，理由如下：
假设利润能达到1000元，列方程得：
$(x-20)(-x+80)=1000$
整理得$x^2-100x+2600=0$
根的判别式$\Delta=(-100)^2-4×1×2600=10000-10400=-400＜0$
∴该一元二次方程无实数根，即不存在符合条件的销售单价，销售利润不能达到1000元。
【答案】
(1)$y=-x+80\ (20＜x≤80)$
(2)40元
(3)不能，理由见解析
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题结合一次函数图象考查销售类实际应用问题，解题的关键是先求出销售量与销售单价的函数关系，再根据利润的等量关系列方程求解，要注意结合实际需求对方程的解进行取舍，可通过根的判别式快速判断方程是否有实根，解决存在性问题。
【难度系数】
0.65
(1)观察图象可知y与x是一次函数关系，图象经过(20,60)和(80,0)两个点，可采用待定系数法求函数解析式：设解析式为y=kx+b，将两个点坐标代入得到二元一次方程组，解出k、b即可，注意结合题意明确x的取值范围。
(2)销售利润的等量关系为：总利润=每千克利润×销售量，其中每千克利润为(x-20)元，销售量是第一问求出的y，根据利润为800元列方程求解。因为要尽快售完商品，需要销售量尽可能大，结合一次函数的增减性，选择更小的x值即可。
(3)假设利润能达到1000元，按照上述利润等量关系列方程，整理为一元二次方程的一般形式后计算根的判别式，若判别式≥0说明存在符合条件的销售单价，若判别式＜0说明方程无实根，利润无法达到。
【解析】
(1)设y与x的函数关系式为$y=kx+b\ (k≠0)$，
将$(20,60)$和$(80,0)$代入解析式，得：
$\begin{cases}20k+b=60\\80k+b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=80\end{cases}$
∴y与x之间的函数关系式为$y=-x+80\ (20＜x≤80)$。
(2)根据总利润的等量关系列方程：
$(x-20)(-x+80)=800$
整理得$x^2-100x+2400=0$
解得$x_1=40$，$x_2=60$
∵要尽快售完商品，$y=-x+80$中y随x的增大而减小，x越小销售量越大，
∴舍去$x=60$，取$x=40$。
(3)销售利润不能达到1000元，理由如下：
假设利润能达到1000元，列方程得：
$(x-20)(-x+80)=1000$
整理得$x^2-100x+2600=0$
根的判别式$\Delta=(-100)^2-4×1×2600=10000-10400=-400＜0$
∴该一元二次方程无实数根，即不存在符合条件的销售单价，销售利润不能达到1000元。
【答案】
(1)$y=-x+80\ (20＜x≤80)$
(2)40元
(3)不能，理由见解析
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题结合一次函数图象考查销售类实际应用问题，解题的关键是先求出销售量与销售单价的函数关系，再根据利润的等量关系列方程求解，要注意结合实际需求对方程的解进行取舍，可通过根的判别式快速判断方程是否有实根，解决存在性问题。
【难度系数】
0.65
2.某中学九(1)班共有48名同学,除夕夜那天全班每两名同学都通一次电话且仅通一次电话,那么全班同学共通了多少次电话呢?我们可以用下面的方式来解决问题.
用点$A_1,A_2,A_3,···,A_{48}$分别表示第1名同学、第2名同学、第3名同学、…、第48名同学,把该班人数$x$与通电话次数$y$之间的关系用如图25－3－9所示的模型表示:
图25－3－9
(1)上图中,$x=5$时,$y$的值为
(2)通过探索发现,通电话次数$y$与该班人数$x$之间的关系式为
(3)若九(1)班全体女生相互之间共通电话190次,该班共有多少名女生?
用点$A_1,A_2,A_3,···,A_{48}$分别表示第1名同学、第2名同学、第3名同学、…、第48名同学,把该班人数$x$与通电话次数$y$之间的关系用如图25－3－9所示的模型表示:
图25－3－9
(1)上图中,$x=5$时,$y$的值为
10
;$x=6$时,$y$的值为15
.(2)通过探索发现,通电话次数$y$与该班人数$x$之间的关系式为
$y=\frac{x(x-1)}{2}$
,当$x=48$时,对应的$y=$1128
.(3)若九(1)班全体女生相互之间共通电话190次,该班共有多少名女生?
答案
(1)10 15
(2)$y=\frac{x(x-1)}{2}$ 1128
(3)设该班有a名女生,依题意,
得$\frac{a(a-1)}{2}=190$.
化简,得$a^2-a-380=0$.
解得$a_1=20$,$a_2=-19$(不合题意,舍去).
答:该班共有20名女生.
(2)$y=\frac{x(x-1)}{2}$ 1128
(3)设该班有a名女生,依题意,
得$\frac{a(a-1)}{2}=190$.
化简,得$a^2-a-380=0$.
解得$a_1=20$,$a_2=-19$(不合题意,舍去).
答:该班共有20名女生.
解析
【分析】
本题属于单循环计数类实际应用题，可将每名同学对应一个点，每两人通一次电话对应两点之间连接一条线段，通话总次数即为所有线段总条数。解题思路：1. 计数线段总数时，x个点中每个点可与其余x-1个点连线，直接计算x(x-1)会将每条线段重复计算1次，因此除以2即可得到总线段数也就是通话次数的规律；2. 利用该规律先计算x=5、x=6对应的y值，再推导y与x的通用关系式，代入x=48即可算出全班总通话次数；3. 第三问将女生总通话次数代入关系式列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到女生人数。
【解析】
(1) 根据x个点的线段总计数公式$\frac{x(x-1)}{2}$：
当$x=5$时，$y=\frac{5×(5-1)}{2}=10$；
当$x=6$时，$y=\frac{6×(6-1)}{2}=15$。
(2) 由计数规律可得通电话次数y与人数x的关系式为$y=\frac{x(x-1)}{2}$；
将$x=48$代入关系式，得$y=\frac{48×47}{2}=1128$。
(3) 设该班共有a名女生，依题意列方程：
$\frac{a(a-1)}{2}=190$
化简得：$a^2-a-380=0$
解得$a_1=20$，$a_2=-19$，人数不能为负，故舍去$a_2=-19$，即该班女生共有20名。
【答案】
(1)10；15
(2)$y=\frac{x(x-1)}{2}$；1128
(3)20名
【知识点】
单循环计数、一元二次方程的应用、列代数式
【点评】
本题将实际通话问题转化为几何点连线段的计数问题，体现了数学建模思想，解题关键是掌握单循环计数的规律，避免重复计数，求解方程后要结合实际场景检验根的合理性。
【难度系数】
0.7
本题属于单循环计数类实际应用题，可将每名同学对应一个点，每两人通一次电话对应两点之间连接一条线段，通话总次数即为所有线段总条数。解题思路：1. 计数线段总数时，x个点中每个点可与其余x-1个点连线，直接计算x(x-1)会将每条线段重复计算1次，因此除以2即可得到总线段数也就是通话次数的规律；2. 利用该规律先计算x=5、x=6对应的y值，再推导y与x的通用关系式，代入x=48即可算出全班总通话次数；3. 第三问将女生总通话次数代入关系式列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到女生人数。
【解析】
(1) 根据x个点的线段总计数公式$\frac{x(x-1)}{2}$：
当$x=5$时，$y=\frac{5×(5-1)}{2}=10$；
当$x=6$时，$y=\frac{6×(6-1)}{2}=15$。
(2) 由计数规律可得通电话次数y与人数x的关系式为$y=\frac{x(x-1)}{2}$；
将$x=48$代入关系式，得$y=\frac{48×47}{2}=1128$。
(3) 设该班共有a名女生，依题意列方程：
$\frac{a(a-1)}{2}=190$
化简得：$a^2-a-380=0$
解得$a_1=20$，$a_2=-19$，人数不能为负，故舍去$a_2=-19$，即该班女生共有20名。
【答案】
(1)10；15
(2)$y=\frac{x(x-1)}{2}$；1128
(3)20名
【知识点】
单循环计数、一元二次方程的应用、列代数式
【点评】
本题将实际通话问题转化为几何点连线段的计数问题，体现了数学建模思想，解题关键是掌握单循环计数的规律，避免重复计数，求解方程后要结合实际场景检验根的合理性。
【难度系数】
0.7
