1. 如图,在CD上作一点P,使它到OA,OB的距离相等,则点P是().

A.线段CD的中点
B.$△ OCD$的边CD上的高与CD的交点
C.CD与$∠ AOB$的平分线的交点
D.以上答案都不对

1.C

2. 如图，$PM = PN$，$∠ BOC = 30°$，则$∠ AOB =$ 。

2.$60°$

3.如图,在平面内画∠AOB,在OA,OB上分别截取OD,OE,使OD=OE,过点D作OD的垂线,过点E作OE的垂线.若两条垂线相交于点P,则点P在∠DOE的平分线上吗?为什么?

3.解 点 $P$ 在$∠ DOE$ 的平分线上,
理由: $\because OD ⊥ PD, OE ⊥ PE, OD=OE,$
$\therefore PO$ 平分$∠ DPE,$
即$∠ DPO=∠ EPO,$
$\because DP⊥ OD,PE⊥ OE,$
$\therefore 90°-∠ DPO=90°-∠ EPO,$
即$∠ DOP=∠ EOP,$
$\therefore OP$ 为$∠ DOE$ 的平分线,即点 $P$ 在$∠ DOE$ 的平分线上.

4. 如图，$∠ ADC + ∠ ABC = 180°$，$DC = BC$. 求证:点C在$∠ DAB$的平分线上.

4.证明 如图,作 $CE$ 垂直 $AB$,$CF$ 垂直 $AD$ 的延长线,垂足分别为 $E,F$,
$\therefore ∠ BEC=∠ DFC=90°.$
$\because ∠ ADC+∠ ABC=180°,∠ ADC+∠ CDF=180°,\therefore ∠ ABC=∠ CDF.$
在$△ CBE$ 和$△ CDF$ 中,
$\begin{cases} ∠ EBC=∠ FDC,\\ ∠ BEC=∠ DFC,\\ BC=DC, \end{cases}$
$\therefore △ CBE≌△ CDF(\mathrm{AAS}),$
$\therefore FC=EC,\therefore$ 点 $C$ 在$∠ DAB$ 的平分线上.

5. 如图，在$∠ AOB$的两边$OA$，$OB$上分别取$OM=ON$，$OD=OE$，$DN$和$EM$相交于点$C$. 求证:点$C$在$∠ AOB$的平分线上.

5.证明 过点 $C$ 作 $CG⊥ OA$ 于点 $G$,$CF⊥ OB$ 于点 $F$,如图,
在$△ MOE$ 和$△ NOD$ 中,
$\begin{cases} OM=ON,\\ ∠ MOE=∠ NOD,\\ OE=OD, \end{cases}$
$\therefore △ MOE≌△ NOD(\mathrm{SAS}),$
$\therefore S_{△ MOE}=S_{△ NOD},$
即 $S_{△ MDC}=S_{△ NEC}.$
$\because OM=ON,OD=OE,$
$\therefore MD=NE,$
$\therefore CG=CF.$
$\because CG⊥ OA,CF⊥ OB,$
$\therefore$ 点 $C$ 在$∠ AOB$ 的平分线上.