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1. 阅读与思考.
在学习了第十七章的知识后，老师布置了一道规律探索题，如下：
观察下列各式：$15^2=225$，$25^2=625$，$35^2=1\ 225$，……
个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数字有什么规律？
小丽的思考如下：
假设个位数字是5的两位数的十位数字为$a$，则这个两位数可以表示为$10a +5$，这个两位数的平方为$(10a +5)^2=\underline{\quad①\quad}$，由此可知个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数字是$\underline{\quad②\quad}$.
(1)补全上面小丽的思考过程：①______，②______；
(2)小丽继续探究发现，个位数字是5的两位数平方后，除了末尾的两个数字有规律外，其他数位上的数字也有规律，且与原两位数的十位数字有关. 探究过程如下：
$15^2=100×1×2 +25=225$，
$25^2=100×2×3 +25=625$，
$35^2=100×3×4 +25=1\ 225$，
……
Ⅰ. 请直接写出：$65^2=\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_$；
Ⅱ. 请用含$a$的式子表示上述等式中蕴含的一般规律：______.
(3)类比小丽的探究思路，小凯发现十位上的数字相同，且个位上的数字之和等于10的两位数的积也存在一定的规律，例如：$53×57=3\ 021$，$38×32=1\ 216$，$84×86=7\ 224$，$71×79=5\ 609$，……设第一个因数十位上的数字为$x$，个位上的数字为$y$，请你用含$x$，$y$的式子表示这个规律，并用这个规律计算$93×97$.
在学习了第十七章的知识后，老师布置了一道规律探索题，如下：
观察下列各式：$15^2=225$，$25^2=625$，$35^2=1\ 225$，……
个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数字有什么规律？
小丽的思考如下：
假设个位数字是5的两位数的十位数字为$a$，则这个两位数可以表示为$10a +5$，这个两位数的平方为$(10a +5)^2=\underline{\quad①\quad}$，由此可知个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数字是$\underline{\quad②\quad}$.
(1)补全上面小丽的思考过程：①______，②______；
(2)小丽继续探究发现，个位数字是5的两位数平方后，除了末尾的两个数字有规律外，其他数位上的数字也有规律，且与原两位数的十位数字有关. 探究过程如下：
$15^2=100×1×2 +25=225$，
$25^2=100×2×3 +25=625$，
$35^2=100×3×4 +25=1\ 225$，
……
Ⅰ. 请直接写出：$65^2=\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_$；
Ⅱ. 请用含$a$的式子表示上述等式中蕴含的一般规律：______.
(3)类比小丽的探究思路，小凯发现十位上的数字相同，且个位上的数字之和等于10的两位数的积也存在一定的规律，例如：$53×57=3\ 021$，$38×32=1\ 216$，$84×86=7\ 224$，$71×79=5\ 609$，……设第一个因数十位上的数字为$x$，个位上的数字为$y$，请你用含$x$，$y$的式子表示这个规律，并用这个规律计算$93×97$.
答案
(1)①$100a^2+100a+25$，②$25$
(2)Ⅰ.$100×6×7+25$，$4225$
Ⅱ.$(10a+5)^2=100a(a+1)+25$
(3)解：由题意得，$(10x+y)(10x+10-y)=100x^2+10xy+100x+10y-10xy-y^2=100x^2+100x+10y-y^2=100x(x+1)+y(10-y)$.
∴这个规律为$(10x+y)·(10x+10-y)=100x(x+1)+y(10-y)$.
∴$93×97=100×9×(9+1)+3×(10-3)=9000+21=9021$.
(2)Ⅰ.$100×6×7+25$，$4225$
Ⅱ.$(10a+5)^2=100a(a+1)+25$
(3)解：由题意得，$(10x+y)(10x+10-y)=100x^2+10xy+100x+10y-10xy-y^2=100x^2+100x+10y-y^2=100x(x+1)+y(10-y)$.
∴这个规律为$(10x+y)·(10x+10-y)=100x(x+1)+y(10-y)$.
∴$93×97=100×9×(9+1)+3×(10-3)=9000+21=9021$.
解析
【分析】
这是一道结合整式乘法的数字规律探究题，解题遵循从特殊到一般的思路：①第(1)问先利用完全平方公式展开个位为5的两位数的平方表达式，再分析展开式各项的特征，即可得到末尾两位数的规律；②第(2)问根据给出的示例结构，直接套用规律计算$65^2$，再整理展开式得到含$a$的一般规律；③第(3)问先根据题意写出两个符合条件的两位数的代数式，再利用多项式乘多项式法则展开化简得到通用规律，最后代入数值计算即可。
【解析】
(1) ①根据完全平方公式展开：
$(10a+5)^2=(10a)^2 + 2×10a×5 +5^2=100a^2+100a+25$
②观察展开式，$100a^2$和$100a$都是100的整数倍，因此平方结果的末两位只和常数项25有关，故末尾两个数字是25。
(2) Ⅰ. 参照给出的规律形式，$65^2$的十位数字是6，因此：
$65^2=100×6×7 +25=4225$
Ⅱ. 把(1)中展开式提取公因式整理可得：
$(10a+5)^2=100a(a+1)+25$
(3) 由题意可知，第一个因数为$10x+y$，第二个因数十位数字为$x$，个位数字为$10-y$，即第二个因数为$10x+(10-y)$，对两数乘积展开化简：
$\begin{aligned}(10x+y)(10x+10-y)&=100x^2+10x(10-y)+10xy+y(10-y)\\&=100x^2+100x-10xy+10xy+10y-y^2\\&=100x^2+100x + y(10-y)\\&=100x(x+1)+y(10-y)\end{aligned}$
因此规律为$(10x+y)(10x+10-y)=100x(x+1)+y(10-y)$。
计算$93×97$时，$x=9$，$y=3$，代入得：
$93×97=100×9×(9+1)+3×(10-3)=9000+21=9021$
【答案】
(1)①$\boxed{100a^2+100a+25}$；②$\boxed{25}$
(2)Ⅰ.$\boxed{100×6×7+25}$，$\boxed{4225}$；Ⅱ.$\boxed{(10a+5)^2=100a(a+1)+25}$
(3)规律为$\boxed{(10x+y)(10x+10-y)=100x(x+1)+y(10-y)}$，$93×97=\boxed{9021}$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 多项式乘多项式
3. 数字规律探究
【点评】
本题属于规律探究类题型，将整式运算和数字规律结合，既考查了整式乘法的运算熟练度，也考查了从特殊案例归纳一般规律的推理能力，推导得出的规律可用于快速计算对应类型的乘法，实用性较强。
【难度系数】
0.7
这是一道结合整式乘法的数字规律探究题，解题遵循从特殊到一般的思路：①第(1)问先利用完全平方公式展开个位为5的两位数的平方表达式，再分析展开式各项的特征，即可得到末尾两位数的规律；②第(2)问根据给出的示例结构，直接套用规律计算$65^2$，再整理展开式得到含$a$的一般规律；③第(3)问先根据题意写出两个符合条件的两位数的代数式，再利用多项式乘多项式法则展开化简得到通用规律，最后代入数值计算即可。
【解析】
(1) ①根据完全平方公式展开：
$(10a+5)^2=(10a)^2 + 2×10a×5 +5^2=100a^2+100a+25$
②观察展开式，$100a^2$和$100a$都是100的整数倍，因此平方结果的末两位只和常数项25有关，故末尾两个数字是25。
(2) Ⅰ. 参照给出的规律形式，$65^2$的十位数字是6，因此：
$65^2=100×6×7 +25=4225$
Ⅱ. 把(1)中展开式提取公因式整理可得：
$(10a+5)^2=100a(a+1)+25$
(3) 由题意可知，第一个因数为$10x+y$，第二个因数十位数字为$x$，个位数字为$10-y$，即第二个因数为$10x+(10-y)$，对两数乘积展开化简：
$\begin{aligned}(10x+y)(10x+10-y)&=100x^2+10x(10-y)+10xy+y(10-y)\\&=100x^2+100x-10xy+10xy+10y-y^2\\&=100x^2+100x + y(10-y)\\&=100x(x+1)+y(10-y)\end{aligned}$
因此规律为$(10x+y)(10x+10-y)=100x(x+1)+y(10-y)$。
计算$93×97$时，$x=9$，$y=3$，代入得：
$93×97=100×9×(9+1)+3×(10-3)=9000+21=9021$
【答案】
(1)①$\boxed{100a^2+100a+25}$；②$\boxed{25}$
(2)Ⅰ.$\boxed{100×6×7+25}$，$\boxed{4225}$；Ⅱ.$\boxed{(10a+5)^2=100a(a+1)+25}$
(3)规律为$\boxed{(10x+y)(10x+10-y)=100x(x+1)+y(10-y)}$，$93×97=\boxed{9021}$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 多项式乘多项式
3. 数字规律探究
【点评】
本题属于规律探究类题型，将整式运算和数字规律结合，既考查了整式乘法的运算熟练度，也考查了从特殊案例归纳一般规律的推理能力，推导得出的规律可用于快速计算对应类型的乘法，实用性较强。
【难度系数】
0.7
