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9. 分解因式：
(1) $16m^4 - 8m^2n^2 + n^4$；
(2) $9x^2 - (x - 2y)^2$。
(1) $16m^4 - 8m^2n^2 + n^4$；
(2) $9x^2 - (x - 2y)^2$。
答案
9. 解：(1)原式$=(4m^2-n^2)^2=(2m+n)^2(2m-n)^2$.
(2)原式$=(3x+x-2y)(3x-x+2y)=(4x-2y)·(2x+2y)=4(2x-y)(x+y)$.
(2)原式$=(3x+x-2y)(3x-x+2y)=(4x-2y)·(2x+2y)=4(2x-y)(x+y)$.
解析
【分析】
(1) 第(1)小题是三项式，观察可得首项$16m^4$是$(4m^2)^2$，末项$n^4$是$(n^2)^2$，中间项$-8m^2n^2$恰好是$-2×4m^2× n^2$，符合完全平方公式的结构，因此先利用完全平方公式分解；分解后得到的$4m^2-n^2$仍符合平方差公式的结构，需要继续用平方差公式分解，直到每个因式都不能再分解为止。
(2) 第(2)小题是两个平方项作差的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，其中$a=3x$，$b=x-2y$，先代入平方差公式展开，再合并同类项，最后提取每个因式里的公因式，保证分解彻底。
【解析】
(1) 利用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$分解：
原式$=(4m^2)^2-2·4m^2· n^2+(n^2)^2=(4m^2-n^2)^2$
再利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$对$4m^2-n^2$继续分解：
$4m^2-n^2=(2m+n)(2m-n)$
因此原式$=(2m+n)^2(2m-n)^2$
(2) 利用平方差公式分解，其中$a=3x$，$b=x-2y$：
原式$=[3x+(x-2y)][3x-(x-2y)]$
去括号合并同类项：
$=(3x+x-2y)(3x-x+2y)=(4x-2y)(2x+2y)$
提取两个因式的公因式2：
$=2(2x-y)·2(x+y)=4(2x-y)(x+y)$
【答案】
(1) $(2m+n)^2(2m-n)^2$；(2) $4(2x-y)(x+y)$
【知识点】
1. 完全平方公式因式分解
2. 平方差公式因式分解
3. 提公因式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的常规题型，重点考察因式分解公式的灵活运用，解题时需先观察式子结构匹配对应公式，最后要检查是否分解到每一个因式都不能再分解，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.7
(1) 第(1)小题是三项式，观察可得首项$16m^4$是$(4m^2)^2$，末项$n^4$是$(n^2)^2$，中间项$-8m^2n^2$恰好是$-2×4m^2× n^2$，符合完全平方公式的结构，因此先利用完全平方公式分解；分解后得到的$4m^2-n^2$仍符合平方差公式的结构，需要继续用平方差公式分解，直到每个因式都不能再分解为止。
(2) 第(2)小题是两个平方项作差的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，其中$a=3x$，$b=x-2y$，先代入平方差公式展开，再合并同类项，最后提取每个因式里的公因式，保证分解彻底。
【解析】
(1) 利用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$分解：
原式$=(4m^2)^2-2·4m^2· n^2+(n^2)^2=(4m^2-n^2)^2$
再利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$对$4m^2-n^2$继续分解：
$4m^2-n^2=(2m+n)(2m-n)$
因此原式$=(2m+n)^2(2m-n)^2$
(2) 利用平方差公式分解，其中$a=3x$，$b=x-2y$：
原式$=[3x+(x-2y)][3x-(x-2y)]$
去括号合并同类项：
$=(3x+x-2y)(3x-x+2y)=(4x-2y)(2x+2y)$
提取两个因式的公因式2：
$=2(2x-y)·2(x+y)=4(2x-y)(x+y)$
【答案】
(1) $(2m+n)^2(2m-n)^2$；(2) $4(2x-y)(x+y)$
【知识点】
1. 完全平方公式因式分解
2. 平方差公式因式分解
3. 提公因式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的常规题型，重点考察因式分解公式的灵活运用，解题时需先观察式子结构匹配对应公式，最后要检查是否分解到每一个因式都不能再分解，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.7
10. 对$x^4 +4$分解因式，可以先添加一个项使其变形为完全平方式，再减去这个项，即：$x^4 +4 = x^4 +4x^2 +4 -4x^2 = (x^2 +2)^2 - (2x)^2 = (x^2 +2x +2)(x^2 -2x +2)$。
请根据上述做法，分解因式：$4x^4 +16y^4$。
请根据上述做法，分解因式：$4x^4 +16y^4$。
答案
10. 解：原式$=4x^4 +16x^2 y^2 +16y^4 -16x^2 y^2 = (2x^2 +4y^2)^2 - (4xy)^2 = (2x^2 +4y^2 +4xy)(2x^2 +4y^2 -4xy)=4(x^2 +2y^2 +2xy)(x^2 +2y^2 -2xy)$.
解析
【分析】
本题可模仿题干给出的添项法思路解题：首先观察多项式$4x^4 +16y^4$，可确定完全平方的两个平方项分别为$4x^4=(2x^2)^2$、$16y^4=(4y^2)^2$，根据完全平方公式的结构，缺少的中间项为$2×2x^2×4y^2=16x^2y^2$，因此先添加$16x^2y^2$凑成完全平方式，再减去$16x^2y^2$保证原式值不变，随后将变形后的式子转化为平方差形式分解，最后提取公因式化简即可。
【解析】
解：$4x^4 +16y^4$
$=4x^4 +16x^2 y^2 +16y^4 -16x^2 y^2$
$=(2x^2 +4y^2)^2 - (4xy)^2$
$=(2x^2 +4y^2 +4xy)(2x^2 +4y^2 -4xy)$
$=4(x^2 +2xy +2y^2)(x^2 -2xy +2y^2)$
【答案】
$4(x^2 + 2xy + 2y^2)(x^2 - 2xy + 2y^2)$
【知识点】
添项法因式分解、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题属于方法迁移类因式分解题，需要熟练掌握完全平方公式和平方差公式的结构特征，解题时注意添项后需减去相同项保证原式值不变，分解完成后要检查是否有公因式可提，确保分解彻底。
【难度系数】
0.6
本题可模仿题干给出的添项法思路解题：首先观察多项式$4x^4 +16y^4$，可确定完全平方的两个平方项分别为$4x^4=(2x^2)^2$、$16y^4=(4y^2)^2$，根据完全平方公式的结构，缺少的中间项为$2×2x^2×4y^2=16x^2y^2$，因此先添加$16x^2y^2$凑成完全平方式，再减去$16x^2y^2$保证原式值不变，随后将变形后的式子转化为平方差形式分解，最后提取公因式化简即可。
【解析】
解：$4x^4 +16y^4$
$=4x^4 +16x^2 y^2 +16y^4 -16x^2 y^2$
$=(2x^2 +4y^2)^2 - (4xy)^2$
$=(2x^2 +4y^2 +4xy)(2x^2 +4y^2 -4xy)$
$=4(x^2 +2xy +2y^2)(x^2 -2xy +2y^2)$
【答案】
$4(x^2 + 2xy + 2y^2)(x^2 - 2xy + 2y^2)$
【知识点】
添项法因式分解、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题属于方法迁移类因式分解题，需要熟练掌握完全平方公式和平方差公式的结构特征，解题时注意添项后需减去相同项保证原式值不变，分解完成后要检查是否有公因式可提，确保分解彻底。
【难度系数】
0.6
11. 阅读材料，并回答问题.
我们知道，$(x+p)(x+q)=x^2+(p+q)·x+pq$，将这个式子的等号两边互换，就得到公式$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)·(x+q)$，运用这个公式，可以把某些二次三项式分解因式.
例如：$x^2+3x+2=x^2+(2+1)x+2×1=(x+2)(x+1)$.
上述分解因式$x^2+3x+2$的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示（如图）.
(1)用十字相乘法分解因式：
①$x^2+2x-3$；
②$2x^2+x-6$.
(2)若$3x^2+ax-15$利用十字相乘法可分解为$(3x+b)(x+3)$，求$a$和$b$的值.
我们知道，$(x+p)(x+q)=x^2+(p+q)·x+pq$，将这个式子的等号两边互换，就得到公式$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)·(x+q)$，运用这个公式，可以把某些二次三项式分解因式.
例如：$x^2+3x+2=x^2+(2+1)x+2×1=(x+2)(x+1)$.
上述分解因式$x^2+3x+2$的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示（如图）.
(1)用十字相乘法分解因式：
①$x^2+2x-3$；
②$2x^2+x-6$.
(2)若$3x^2+ax-15$利用十字相乘法可分解为$(3x+b)(x+3)$，求$a$和$b$的值.
答案
11. 解：(1)①原式$=x^2 +(3-1)x +3×(-1)=(x+3)·(x-1)$. ②原式$=2x· x +[2×2+1×(-3)]x +2×(-3)=(2x-3)(x+2)$.
(2)$\because (3x+b)(x+3)=3x^2 +(b+9)x +3b$, $\therefore b+9=a$, $3b=-15$, 解得$a=4$, $b=-5$.
(2)$\because (3x+b)(x+3)=3x^2 +(b+9)x +3b$, $\therefore b+9=a$, $3b=-15$, 解得$a=4$, $b=-5$.
解析
【分析】
这道题考查十字相乘法分解因式及多项式对应系数相等的应用，解题思路如下：1. 分解二次三项式时，若二次项系数为1，只需找到两个数满足乘积等于常数项、和等于一次项系数，即可套用公式拆分；若二次项系数不为1，需分别拆分二次项系数和常数项，验证交叉相乘的和等于一次项系数后，再组合成两个一次因式的乘积。2. 求a、b的值时，先将右侧多项式展开，根据等式两边对应项系数相等列方程，即可求解。
【解析】
(1) ① 对$x^2+2x-3$，常数项$-3=3×(-1)$，且$3+(-1)=2$（恰好为一次项系数），因此：
原式$=x^2 +(3-1)x +3×(-1)=(x+3)(x-1)$
② 对$2x^2+x-6$，二次项系数$2=2×1$，常数项$-6=(-3)×2$，交叉相乘得$2×2+1×(-3)=1$（恰好为一次项系数），因此：
原式$=(2x-3)(x+2)$
(2) 先将$(3x+b)(x+3)$展开：
$(3x+b)(x+3)=3x^2 +(b+9)x +3b$
该式与$3x^2+ax-15$相等，因此对应项系数相等，可得方程组：
$\begin{cases}b+9=a\\3b=-15\end{cases}$
解$3b=-15$得$b=-5$，将$b=-5$代入$b+9=a$，得$a=-5+9=4$。
【答案】
(1) ①$\boldsymbol{(x+3)(x-1)}$；②$\boldsymbol{(2x-3)(x+2)}$
(2) $\boldsymbol{a=4}$，$\boldsymbol{b=-5}$
【知识点】
十字相乘法分解因式，多项式乘多项式
【点评】
本题侧重考查十字相乘法的基础应用，同时结合多项式展开的系数对应关系进行延伸，解题时需注意常数项的符号对拆分数字符号的影响，熟练掌握交叉相乘验证一次项系数的步骤，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
这道题考查十字相乘法分解因式及多项式对应系数相等的应用，解题思路如下：1. 分解二次三项式时，若二次项系数为1，只需找到两个数满足乘积等于常数项、和等于一次项系数，即可套用公式拆分；若二次项系数不为1，需分别拆分二次项系数和常数项，验证交叉相乘的和等于一次项系数后，再组合成两个一次因式的乘积。2. 求a、b的值时，先将右侧多项式展开，根据等式两边对应项系数相等列方程，即可求解。
【解析】
(1) ① 对$x^2+2x-3$，常数项$-3=3×(-1)$，且$3+(-1)=2$（恰好为一次项系数），因此：
原式$=x^2 +(3-1)x +3×(-1)=(x+3)(x-1)$
② 对$2x^2+x-6$，二次项系数$2=2×1$，常数项$-6=(-3)×2$，交叉相乘得$2×2+1×(-3)=1$（恰好为一次项系数），因此：
原式$=(2x-3)(x+2)$
(2) 先将$(3x+b)(x+3)$展开：
$(3x+b)(x+3)=3x^2 +(b+9)x +3b$
该式与$3x^2+ax-15$相等，因此对应项系数相等，可得方程组：
$\begin{cases}b+9=a\\3b=-15\end{cases}$
解$3b=-15$得$b=-5$，将$b=-5$代入$b+9=a$，得$a=-5+9=4$。
【答案】
(1) ①$\boldsymbol{(x+3)(x-1)}$；②$\boldsymbol{(2x-3)(x+2)}$
(2) $\boldsymbol{a=4}$，$\boldsymbol{b=-5}$
【知识点】
十字相乘法分解因式，多项式乘多项式
【点评】
本题侧重考查十字相乘法的基础应用，同时结合多项式展开的系数对应关系进行延伸，解题时需注意常数项的符号对拆分数字符号的影响，熟练掌握交叉相乘验证一次项系数的步骤，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
