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1. 计算：
(1) $\frac{a}{bc} · \frac{c^2}{a^2} =$
(2) $a^2b · \frac{b^2}{a} =$
(1) $\frac{a}{bc} · \frac{c^2}{a^2} =$
$\frac{c}{ab}$
；(2) $a^2b · \frac{b^2}{a} =$
$ab^3$
。答案
1. (1) $\frac{c}{ab}$ (2) $ab^3$
解析
【分析】
解决分式乘法运算题，首先要牢记分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母；若有整式参与运算，可将整式看作分母为1的分式，再按法则计算，最后通过约分将结果化为最简分式或整式。
针对(1)：两个分式相乘，先按法则写出乘积形式，再找出分子和分母的公因式约分即可；
针对(2)：整式乘分式，先将整式改写为分母为1的分式，再按乘法法则计算，最后约分化简。
【解析】
(1) 根据分式乘法法则计算：
$\frac{a}{bc} · \frac{c^2}{a^2} = \frac{a · c^2}{bc · a^2}$
分子分母的公因式为$ac$，约去公因式得：$\frac{c}{ab}$
(2) 先将整式$a^2b$看作分母为1的分式，再按分式乘法法则计算：
$a^2b · \frac{b^2}{a} = \frac{a^2b}{1} · \frac{b^2}{a} = \frac{a^2b · b^2}{a}$
分子分母的公因式为$a$，约去公因式得：$ab^3$
【答案】
(1) $\frac{c}{ab}$；(2) $ab^3$
【知识点】
分式乘法法则，约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题，重点考查分式乘法的基本运算能力，解题关键是熟练掌握乘法法则，准确找出公因式进行约分，运算结果需化为最简形式，是学习分式混合运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
解决分式乘法运算题，首先要牢记分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母；若有整式参与运算，可将整式看作分母为1的分式，再按法则计算，最后通过约分将结果化为最简分式或整式。
针对(1)：两个分式相乘，先按法则写出乘积形式，再找出分子和分母的公因式约分即可；
针对(2)：整式乘分式，先将整式改写为分母为1的分式，再按乘法法则计算，最后约分化简。
【解析】
(1) 根据分式乘法法则计算：
$\frac{a}{bc} · \frac{c^2}{a^2} = \frac{a · c^2}{bc · a^2}$
分子分母的公因式为$ac$，约去公因式得：$\frac{c}{ab}$
(2) 先将整式$a^2b$看作分母为1的分式，再按分式乘法法则计算：
$a^2b · \frac{b^2}{a} = \frac{a^2b}{1} · \frac{b^2}{a} = \frac{a^2b · b^2}{a}$
分子分母的公因式为$a$，约去公因式得：$ab^3$
【答案】
(1) $\frac{c}{ab}$；(2) $ab^3$
【知识点】
分式乘法法则，约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题，重点考查分式乘法的基本运算能力，解题关键是熟练掌握乘法法则，准确找出公因式进行约分，运算结果需化为最简形式，是学习分式混合运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
2. 计算:
(1) $\frac{3xy^3}{2mn} ÷ (-6y^2) =$
(2) $(ab - b^2) ÷ \frac{a - b}{ab} =$
(3) $\frac{x^2}{x^2 - 4} ÷ \frac{6x^3}{4 + 2x} =$
(4) $\frac{a^2 + ab}{a - b} ÷ \frac{ab}{a - b} =$
(1) $\frac{3xy^3}{2mn} ÷ (-6y^2) =$
$-\frac{xy}{4mn}$
;(2) $(ab - b^2) ÷ \frac{a - b}{ab} =$
$ab^2$
;(3) $\frac{x^2}{x^2 - 4} ÷ \frac{6x^3}{4 + 2x} =$
$\frac{1}{3x^2 - 6x}$
;(4) $\frac{a^2 + ab}{a - b} ÷ \frac{ab}{a - b} =$
$\frac{a+b}{b}$
.答案
2. (1) $-\frac{xy}{4mn}$ (2) $ab^2$ (3) $\frac{1}{3x^2 - 6x}$ (4) $\frac{a+b}{b}$
解析
【分析】
分式除法运算的核心思路是：先根据“除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数”，将除法转化为乘法运算；再对分子、分母中的多项式进行因式分解，约去分子分母的公因式，最终化为最简分式或整式即可，运算过程中需注意符号的处理。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法：
原式$=\frac{3xy^3}{2mn} × \frac{1}{-6y^2}$
分子分母约分：3和-6约分为$\frac{1}{-2}$，$y^3$和$y^2$约分为$y$，计算得：
$=\frac{3xy^3}{-12mny^2}=-\frac{xy}{4mn}$
(2) 先对被除式因式分解，再将除法转化为乘法：
原式$=b(a-b) × \frac{ab}{a-b}$
约去公因式$(a-b)$，计算得：
$=b × ab=ab^2$
(3) 先对各部分因式分解：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，$4+2x=2(x+2)$，再转化为乘法：
原式$=\frac{x^2}{(x+2)(x-2)} × \frac{2(x+2)}{6x^3}$
约去公因式$x^2$、$x+2$、2，计算得：
$=\frac{1}{(x-2) × 3x}=\frac{1}{3x^2-6x}$
(4) 先对被除式分子因式分解：$a^2+ab=a(a+b)$，再转化为乘法：
原式$=\frac{a(a+b)}{a-b} × \frac{a-b}{ab}$
约去公因式$a$、$a-b$，计算得：
$=\frac{a+b}{b}$
【答案】
(1) $-\frac{xy}{4mn}$ (2) $ab^2$ (3) $\frac{1}{3x^2 - 6x}$ (4) $\frac{a+b}{b}$
【知识点】
分式的乘除运算；因式分解；约分
【点评】
本题是分式乘除的基础题型，重点考察分式除法法则的应用，以及因式分解、约分的基本运算能力，计算时注意先统一为乘法运算，因式分解后再约分，同时要注意运算符号的准确性。
【难度系数】
0.8
分式除法运算的核心思路是：先根据“除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数”，将除法转化为乘法运算；再对分子、分母中的多项式进行因式分解，约去分子分母的公因式，最终化为最简分式或整式即可，运算过程中需注意符号的处理。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法：
原式$=\frac{3xy^3}{2mn} × \frac{1}{-6y^2}$
分子分母约分：3和-6约分为$\frac{1}{-2}$，$y^3$和$y^2$约分为$y$，计算得：
$=\frac{3xy^3}{-12mny^2}=-\frac{xy}{4mn}$
(2) 先对被除式因式分解，再将除法转化为乘法：
原式$=b(a-b) × \frac{ab}{a-b}$
约去公因式$(a-b)$，计算得：
$=b × ab=ab^2$
(3) 先对各部分因式分解：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，$4+2x=2(x+2)$，再转化为乘法：
原式$=\frac{x^2}{(x+2)(x-2)} × \frac{2(x+2)}{6x^3}$
约去公因式$x^2$、$x+2$、2，计算得：
$=\frac{1}{(x-2) × 3x}=\frac{1}{3x^2-6x}$
(4) 先对被除式分子因式分解：$a^2+ab=a(a+b)$，再转化为乘法：
原式$=\frac{a(a+b)}{a-b} × \frac{a-b}{ab}$
约去公因式$a$、$a-b$，计算得：
$=\frac{a+b}{b}$
【答案】
(1) $-\frac{xy}{4mn}$ (2) $ab^2$ (3) $\frac{1}{3x^2 - 6x}$ (4) $\frac{a+b}{b}$
【知识点】
分式的乘除运算；因式分解；约分
【点评】
本题是分式乘除的基础题型，重点考察分式除法法则的应用，以及因式分解、约分的基本运算能力，计算时注意先统一为乘法运算，因式分解后再约分，同时要注意运算符号的准确性。
【难度系数】
0.8
3. 计算：$\dfrac{2x - 2y}{10xy} · \dfrac{50x^2y^2}{x^2 - y^2} =$
$\frac{10xy}{x+y}$
.答案
3. $\frac{10xy}{x+y}$
解析
【分析】
本题是分式乘法运算题，解题思路如下：首先回忆分式乘法的运算规则，分式相乘时，为了简化计算，要先把分子、分母中能因式分解的多项式先分解因式，再找出分子和分母的公因式进行约分，最后将约分后剩余的分子相乘作为结果的分子，剩余的分母相乘作为结果的分母即可。
【解析】
解：第一步，对原式中可因式分解的部分分解因式：
分子$2x-2y=2(x-y)$，分母$x^2-y^2$符合平方差公式，分解为$(x+y)(x-y)$，代入原式得：
$\mathrm{原式}=\dfrac{2(x - y)}{10xy} · \dfrac{50x^2y^2}{(x + y)(x - y)}$
第二步，约去分子和分母的公因式：
公因式包括$2、x、y、(x-y)$，约去后计算剩余部分：常数项为$50÷10=5$，$5×2÷2=10$，字母项为$x^2y^2÷ xy=xy$，分母剩余$x+y$。
最终化简得结果。
【答案】
$\dfrac{10xy}{x+y}$
【知识点】
分式乘法运算、因式分解、约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题，解题的核心是先对多项式因式分解再约分，能有效降低计算量，减少错误，计算时要注意公因式要找全，避免出现约分不彻底的问题。
【难度系数】
0.8
本题是分式乘法运算题，解题思路如下：首先回忆分式乘法的运算规则，分式相乘时，为了简化计算，要先把分子、分母中能因式分解的多项式先分解因式，再找出分子和分母的公因式进行约分，最后将约分后剩余的分子相乘作为结果的分子，剩余的分母相乘作为结果的分母即可。
【解析】
解：第一步，对原式中可因式分解的部分分解因式：
分子$2x-2y=2(x-y)$，分母$x^2-y^2$符合平方差公式，分解为$(x+y)(x-y)$，代入原式得：
$\mathrm{原式}=\dfrac{2(x - y)}{10xy} · \dfrac{50x^2y^2}{(x + y)(x - y)}$
第二步，约去分子和分母的公因式：
公因式包括$2、x、y、(x-y)$，约去后计算剩余部分：常数项为$50÷10=5$，$5×2÷2=10$，字母项为$x^2y^2÷ xy=xy$，分母剩余$x+y$。
最终化简得结果。
【答案】
$\dfrac{10xy}{x+y}$
【知识点】
分式乘法运算、因式分解、约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题，解题的核心是先对多项式因式分解再约分，能有效降低计算量，减少错误，计算时要注意公因式要找全，避免出现约分不彻底的问题。
【难度系数】
0.8
4. 先化简，再求值：$\dfrac{x^2 -1}{x} · \dfrac{x}{x-1}$，其中$x=\sqrt{2}-1$。
答案
4. 解：原式$=\frac{(x+1)(x-1)}{x} · \frac{x}{x-1} = \frac{x(x+1)(x-1)}{x(x-1)} =x+1$. 当$x=\sqrt{2}-1$时，原式$=\sqrt{2}-1+1=\sqrt{2}$.
解析
【分析】
本题属于分式化简求值类题目，解题思路可分为两步：首先处理分式的乘法运算，先利用平方差公式对第一个分式的分子$x^2-1$因式分解，再根据分式乘法的运算法则，约去分子和分母中相同的公因式，将原式化简为最简整式；再将给定的$x$的值代入化简后的式子计算最终结果，相比直接代入原式计算，先化简能有效减少计算量，降低出错概率。
【解析】
解：首先对原式因式分解再约分：
原式$=\frac{(x+1)(x-1)}{x} · \frac{x}{x-1}$
已知$x=\sqrt{2}-1≠0$且$x≠1$，满足分式有意义的条件，约去分子分母的公因式$x$和$x-1$，可得：
原式$=x+1$
将$x=\sqrt{2}-1$代入化简后的式子计算：
原式$=\sqrt{2}-1+1=\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
分式乘法运算，平方差公式因式分解，代数式求值
【点评】
本题是分式运算的基础常规题，核心考查分式约分的规则和因式分解的基础应用，先化简再求值是代数运算中非常常用的技巧，熟练掌握该方法能有效提升运算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
本题属于分式化简求值类题目，解题思路可分为两步：首先处理分式的乘法运算，先利用平方差公式对第一个分式的分子$x^2-1$因式分解，再根据分式乘法的运算法则，约去分子和分母中相同的公因式，将原式化简为最简整式；再将给定的$x$的值代入化简后的式子计算最终结果，相比直接代入原式计算，先化简能有效减少计算量，降低出错概率。
【解析】
解：首先对原式因式分解再约分：
原式$=\frac{(x+1)(x-1)}{x} · \frac{x}{x-1}$
已知$x=\sqrt{2}-1≠0$且$x≠1$，满足分式有意义的条件，约去分子分母的公因式$x$和$x-1$，可得：
原式$=x+1$
将$x=\sqrt{2}-1$代入化简后的式子计算：
原式$=\sqrt{2}-1+1=\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
分式乘法运算，平方差公式因式分解，代数式求值
【点评】
本题是分式运算的基础常规题，核心考查分式约分的规则和因式分解的基础应用，先化简再求值是代数运算中非常常用的技巧，熟练掌握该方法能有效提升运算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
5. 若“$\dfrac{x+1}{x^2 - ◯} · \dfrac{x+2}{x}$”的结果可以进行约分，则“$◯$”不可以是(
A.1
B.$(-x)$
C.$x$
D.4
C
).A.1
B.$(-x)$
C.$x$
D.4
答案
5. C
解析
【分析】
要判断“◯”不可以是哪个选项，需明确分式相乘后能约分的条件：相乘后的分子与分母存在公因式。本题中两个分式相乘后，分子为$(x+1)(x+2)$，分母为$x(x^2 - ◯)$，因此只需将每个选项代入$◯$，对$x^2 - ◯$因式分解，判断是否和分子或分母的其他因式有公因式，若无公因式则无法约分，即为所求选项。
【解析】
我们逐个代入选项验证：
选项A：若$◯=1$，则$x^2 -1=(x+1)(x-1)$，此时分母含因式$x+1$，与分子的因式$x+1$是公因式，可以约分，不符合题意；
选项B：若$◯=-x$，则$x^2 - (-x)=x^2+x=x(x+1)$，此时分母含因式$x+1$，与分子的因式$x+1$是公因式，可以约分，不符合题意；
选项C：若$◯=x$，则$x^2 -x=x(x-1)$，此时分母为$x· x(x-1)=x^2(x-1)$，分子为$(x+1)(x+2)$，分子分母无公因式，无法约分，符合题意；
选项D：若$◯=4$，则$x^2 -4=(x+2)(x-2)$，此时分母含因式$x+2$，与分子的因式$x+2$是公因式，可以约分，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
分式的约分；因式分解；分式的乘除运算
【点评】
本题解题关键是掌握分式约分的核心是分子分母存在公因式，通过代入选项结合因式分解即可快速判断，解题时要注意分解因式要彻底，避免遗漏公因式。
【难度系数】
0.7
要判断“◯”不可以是哪个选项，需明确分式相乘后能约分的条件：相乘后的分子与分母存在公因式。本题中两个分式相乘后，分子为$(x+1)(x+2)$，分母为$x(x^2 - ◯)$，因此只需将每个选项代入$◯$，对$x^2 - ◯$因式分解，判断是否和分子或分母的其他因式有公因式，若无公因式则无法约分，即为所求选项。
【解析】
我们逐个代入选项验证：
选项A：若$◯=1$，则$x^2 -1=(x+1)(x-1)$，此时分母含因式$x+1$，与分子的因式$x+1$是公因式，可以约分，不符合题意；
选项B：若$◯=-x$，则$x^2 - (-x)=x^2+x=x(x+1)$，此时分母含因式$x+1$，与分子的因式$x+1$是公因式，可以约分，不符合题意；
选项C：若$◯=x$，则$x^2 -x=x(x-1)$，此时分母为$x· x(x-1)=x^2(x-1)$，分子为$(x+1)(x+2)$，分子分母无公因式，无法约分，符合题意；
选项D：若$◯=4$，则$x^2 -4=(x+2)(x-2)$，此时分母含因式$x+2$，与分子的因式$x+2$是公因式，可以约分，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
分式的约分；因式分解；分式的乘除运算
【点评】
本题解题关键是掌握分式约分的核心是分子分母存在公因式，通过代入选项结合因式分解即可快速判断，解题时要注意分解因式要彻底，避免遗漏公因式。
【难度系数】
0.7
6. 甲、乙两人同时从公司出发去火车站，路程$a$ km，甲骑自行车$b$ h到达，乙骑电动车比甲提前20 min到达，则甲、乙的平均速度之比为(
A.$\dfrac{a}{b}$
B.$\dfrac{b - 20}{b}$
C.$\dfrac{3b - 1}{3b}$
D.$\dfrac{3b + 1}{3b}$
C
).A.$\dfrac{a}{b}$
B.$\dfrac{b - 20}{b}$
C.$\dfrac{3b - 1}{3b}$
D.$\dfrac{3b + 1}{3b}$
答案
6. C
解析
【分析】
解题时首先明确平均速度的计算公式为平均速度=总路程÷总时间，第一步需要先统一时间单位，将20分钟换算为以小时为单位的量；接下来分别计算甲、乙两人走完全程的用时，再代入公式求出两人的平均速度；最后计算两者的速度比，通过分式的除法运算化简后即可得到结果。
【解析】
首先统一时间单位：20 min = $\dfrac{20}{60}$ h = $\dfrac{1}{3}$ h。
1. 求甲的平均速度：已知路程为$a$ km，甲用时$b$ h，根据平均速度公式得$v_{甲}=\dfrac{a}{b}$ km/h。
2. 求乙的平均速度：乙比甲提前$\dfrac{1}{3}$ h到达，所以乙的用时为$(b-\dfrac{1}{3})$ h，因此$v_{乙}=\dfrac{a}{b-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{3a}{3b-1}$ km/h。
3. 求甲、乙的平均速度之比：
$v_{甲}:v_{乙}=\dfrac{a}{b}:\dfrac{3a}{3b-1}=\dfrac{a}{b}÷\dfrac{3a}{3b-1}=\dfrac{a}{b}×\dfrac{3b-1}{3a}=\dfrac{3b-1}{3b}$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平均速度计算；分式的乘除运算；比的化简
【点评】
本题属于基础类应用题，解题的易错点是未统一时间单位直接计算，或混淆速度比的前后项。解题时只要按步骤统一单位、分别计算速度、再化简分式即可得出正确结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确平均速度的计算公式为平均速度=总路程÷总时间，第一步需要先统一时间单位，将20分钟换算为以小时为单位的量；接下来分别计算甲、乙两人走完全程的用时，再代入公式求出两人的平均速度；最后计算两者的速度比，通过分式的除法运算化简后即可得到结果。
【解析】
首先统一时间单位：20 min = $\dfrac{20}{60}$ h = $\dfrac{1}{3}$ h。
1. 求甲的平均速度：已知路程为$a$ km，甲用时$b$ h，根据平均速度公式得$v_{甲}=\dfrac{a}{b}$ km/h。
2. 求乙的平均速度：乙比甲提前$\dfrac{1}{3}$ h到达，所以乙的用时为$(b-\dfrac{1}{3})$ h，因此$v_{乙}=\dfrac{a}{b-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{3a}{3b-1}$ km/h。
3. 求甲、乙的平均速度之比：
$v_{甲}:v_{乙}=\dfrac{a}{b}:\dfrac{3a}{3b-1}=\dfrac{a}{b}÷\dfrac{3a}{3b-1}=\dfrac{a}{b}×\dfrac{3b-1}{3a}=\dfrac{3b-1}{3b}$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平均速度计算；分式的乘除运算；比的化简
【点评】
本题属于基础类应用题，解题的易错点是未统一时间单位直接计算，或混淆速度比的前后项。解题时只要按步骤统一单位、分别计算速度、再化简分式即可得出正确结果。
【难度系数】
0.7
7. (1)已知 $ A · \dfrac{x^2 - 4y^2}{x^2 - 4xy + 4y^2} = \dfrac{x}{x - 2y} $，求代数式 $ A $；
(2)已知 $ \dfrac{3x}{x^2 - y^2} ÷ B = \dfrac{1}{x + y} $，求代数式 $ B $。
(2)已知 $ \dfrac{3x}{x^2 - y^2} ÷ B = \dfrac{1}{x + y} $，求代数式 $ B $。
答案
7. 解：(1) $A = \frac{x}{x-2y} ÷ \frac{x^2 - 4y^2}{x^2 - 4xy + 4y^2} = \frac{x}{x-2y} · \frac{(x-2y)^2}{(x+2y)(x-2y)} = \frac{x}{x+2y}$.
(2) $B = \frac{3x}{x^2 - y^2} ÷ \frac{1}{x+y} = \frac{3x}{(x+y)(x-y)} · (x+y) = \frac{3x(x+y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{3x}{x-y}$.
(2) $B = \frac{3x}{x^2 - y^2} ÷ \frac{1}{x+y} = \frac{3x}{(x+y)(x-y)} · (x+y) = \frac{3x(x+y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{3x}{x-y}$.
解析
【分析】
(1) 已知两个因式的乘积和其中一个因式，求另一个因式A，根据“一个因数=积÷另一个因数”，可得A等于等式右侧的分式除以左侧已知的分式，再将除法转化为乘法，对分式的分子分母因式分解后约分即可得到结果。
(2) 已知被除数和商，求除数B，根据“除数=被除数÷商”，可得B等于已知的被除式除以商式，同样将除法转化为乘法，因式分解后约分计算即可。
【解析】
(1) 根据题意列式：
$A = \frac{x}{x-2y} ÷ \frac{x^2 - 4y^2}{x^2 - 4xy + 4y^2}$
对分子分母因式分解：$x^2-4y^2=(x+2y)(x-2y)$，$x^2-4xy+4y^2=(x-2y)^2$，将除法转为乘法：
$A = \frac{x}{x-2y} · \frac{(x-2y)^2}{(x+2y)(x-2y)}$
约去公因式$x-2y$（隐含$x≠2y$），化简得：
$A=\frac{x}{x+2y}$
(2) 根据题意列式：
$B = \frac{3x}{x^2 - y^2} ÷ \frac{1}{x+y}$
对分母因式分解：$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，将除法转为乘法：
$B = \frac{3x}{(x+y)(x-y)} · (x+y)$
约去公因式$x+y$（隐含$x≠-y$），化简得：
$B=\frac{3x}{x-y}$
【答案】
(1) $A=\dfrac{x}{x+2y}$；(2) $B=\dfrac{3x}{x-y}$
【知识点】
1.分式乘除运算 2.因式分解 3.分式约分
【点评】
本题是分式乘除的基础应用题型，解题核心是熟练运用乘除运算的互逆关系列出待求式，计算时先对多项式因式分解再约分，可有效降低计算难度，避免出错。
【难度系数】
0.8
(1) 已知两个因式的乘积和其中一个因式，求另一个因式A，根据“一个因数=积÷另一个因数”，可得A等于等式右侧的分式除以左侧已知的分式，再将除法转化为乘法，对分式的分子分母因式分解后约分即可得到结果。
(2) 已知被除数和商，求除数B，根据“除数=被除数÷商”，可得B等于已知的被除式除以商式，同样将除法转化为乘法，因式分解后约分计算即可。
【解析】
(1) 根据题意列式：
$A = \frac{x}{x-2y} ÷ \frac{x^2 - 4y^2}{x^2 - 4xy + 4y^2}$
对分子分母因式分解：$x^2-4y^2=(x+2y)(x-2y)$，$x^2-4xy+4y^2=(x-2y)^2$，将除法转为乘法：
$A = \frac{x}{x-2y} · \frac{(x-2y)^2}{(x+2y)(x-2y)}$
约去公因式$x-2y$（隐含$x≠2y$），化简得：
$A=\frac{x}{x+2y}$
(2) 根据题意列式：
$B = \frac{3x}{x^2 - y^2} ÷ \frac{1}{x+y}$
对分母因式分解：$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，将除法转为乘法：
$B = \frac{3x}{(x+y)(x-y)} · (x+y)$
约去公因式$x+y$（隐含$x≠-y$），化简得：
$B=\frac{3x}{x-y}$
【答案】
(1) $A=\dfrac{x}{x+2y}$；(2) $B=\dfrac{3x}{x-y}$
【知识点】
1.分式乘除运算 2.因式分解 3.分式约分
【点评】
本题是分式乘除的基础应用题型，解题核心是熟练运用乘除运算的互逆关系列出待求式，计算时先对多项式因式分解再约分，可有效降低计算难度，避免出错。
【难度系数】
0.8
8. 有依次排列的两个不为0的代数式 $a_1 = x+1$，$a_2 = x^2 -1$，且 $a_3 = \frac{a_2}{a_1}$，$a_4 = \frac{a_3}{a_2}$，$a_5 = \frac{a_4}{a_3}$，….依次类推，则 $a_{2026} = \_\_\_\_\_\_$.（用含x的代数式表示）
答案
8. $\frac{1}{x+1}$
解析
【分析】
本题中所求项的项数2026较大，直接计算不现实，因此可先根据递推规则计算前若干项，观察是否存在周期性规律，再通过周期定位第2026项的结果。解题时先利用平方差公式对多项式因式分解，再通过分式约分计算各项，找到周期后用2026除以周期得到余数，对应周期内的项即可求解。
【解析】
首先根据递推公式计算前几项：
已知$a_1 = x+1$，$a_2 = x^2 -1$，
1. 计算$a_3$：$a_3 = \frac{a_2}{a_1} = \frac{x^2-1}{x+1}$，对分子因式分解得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，约分后得$a_3=x-1$；
2. 计算$a_4$：$a_4 = \frac{a_3}{a_2} = \frac{x-1}{x^2-1} = \frac{x-1}{(x+1)(x-1)}$，约分后得$a_4=\frac{1}{x+1}$；
3. 计算$a_5$：$a_5 = \frac{a_4}{a_3} = \frac{\frac{1}{x+1}}{x-1} = \frac{1}{(x+1)(x-1)} = \frac{1}{x^2-1}$；
4. 计算$a_6$：$a_6 = \frac{a_5}{a_4} = \frac{\frac{1}{x^2-1}}{\frac{1}{x+1}} = \frac{x+1}{x^2-1} = \frac{1}{x-1}$；
5. 计算$a_7$：$a_7 = \frac{a_6}{a_5} = \frac{\frac{1}{x-1}}{\frac{1}{x^2-1}} = \frac{x^2-1}{x-1} = x+1 = a_1$；
6. 计算$a_8$：$a_8 = \frac{a_7}{a_6} = \frac{x+1}{\frac{1}{x-1}} = (x+1)(x-1) = x^2-1 = a_2$；
由此可知，该代数式序列每6项为一个周期循环。
接下来计算2026除以6的余数：$2026÷6=337······4$，即余数为4，说明$a_{2026}$对应周期内的第4项，因此$a_{2026}=a_4=\frac{1}{x+1}$。
【答案】
$\frac{1}{x+1}$
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、周期规律探究
【点评】
本题将分式运算和规律探究结合，核心是通过计算前几项找到序列的循环周期，解题过程中需要熟练运用平方差公式因式分解来完成分式约分，避免计算错误，这类题是代数式规律题的常见考法，掌握周期规律的分析方法即可快速求解。
【难度系数】
0.6
本题中所求项的项数2026较大，直接计算不现实，因此可先根据递推规则计算前若干项，观察是否存在周期性规律，再通过周期定位第2026项的结果。解题时先利用平方差公式对多项式因式分解，再通过分式约分计算各项，找到周期后用2026除以周期得到余数，对应周期内的项即可求解。
【解析】
首先根据递推公式计算前几项：
已知$a_1 = x+1$，$a_2 = x^2 -1$，
1. 计算$a_3$：$a_3 = \frac{a_2}{a_1} = \frac{x^2-1}{x+1}$，对分子因式分解得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，约分后得$a_3=x-1$；
2. 计算$a_4$：$a_4 = \frac{a_3}{a_2} = \frac{x-1}{x^2-1} = \frac{x-1}{(x+1)(x-1)}$，约分后得$a_4=\frac{1}{x+1}$；
3. 计算$a_5$：$a_5 = \frac{a_4}{a_3} = \frac{\frac{1}{x+1}}{x-1} = \frac{1}{(x+1)(x-1)} = \frac{1}{x^2-1}$；
4. 计算$a_6$：$a_6 = \frac{a_5}{a_4} = \frac{\frac{1}{x^2-1}}{\frac{1}{x+1}} = \frac{x+1}{x^2-1} = \frac{1}{x-1}$；
5. 计算$a_7$：$a_7 = \frac{a_6}{a_5} = \frac{\frac{1}{x-1}}{\frac{1}{x^2-1}} = \frac{x^2-1}{x-1} = x+1 = a_1$；
6. 计算$a_8$：$a_8 = \frac{a_7}{a_6} = \frac{x+1}{\frac{1}{x-1}} = (x+1)(x-1) = x^2-1 = a_2$；
由此可知，该代数式序列每6项为一个周期循环。
接下来计算2026除以6的余数：$2026÷6=337······4$，即余数为4，说明$a_{2026}$对应周期内的第4项，因此$a_{2026}=a_4=\frac{1}{x+1}$。
【答案】
$\frac{1}{x+1}$
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、周期规律探究
【点评】
本题将分式运算和规律探究结合，核心是通过计算前几项找到序列的循环周期，解题过程中需要熟练运用平方差公式因式分解来完成分式约分，避免计算错误，这类题是代数式规律题的常见考法，掌握周期规律的分析方法即可快速求解。
【难度系数】
0.6
