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【猜想】等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？
【证明】(1)如图
，已知AB=AC，D为边BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. 求证：$DE=DF$；
【拓展】(2)Ⅰ. 等腰三角形两腰上的中线相等吗？(请写出已知、求证并完成证明)
Ⅱ. 等腰三角形两底角的平分线相等吗？(请写出已知、求证并完成证明)
(3)如图，已知AB=AC，D为边BC上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BH⊥AC于点H. 求证：$DE+DF=BH$.
【证明】(1)如图
，已知AB=AC，D为边BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. 求证：$DE=DF$；【拓展】(2)Ⅰ. 等腰三角形两腰上的中线相等吗？(请写出已知、求证并完成证明)
Ⅱ. 等腰三角形两底角的平分线相等吗？(请写出已知、求证并完成证明)
(3)如图，已知AB=AC，D为边BC上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BH⊥AC于点H. 求证：$DE+DF=BH$.
答案
(1)证明：
∵AB=AC，D为边BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD. 又DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF.
(2)Ⅰ. 已知：
，在△ABC中，已知AB=AC，BD是边AC的中线，CE是边AB的中线. 求证：BD=CE.证明如下：
∵BD是边AC的中线，CE是边AB的中线，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC，AE=$\frac{1}{2}$AB.
∵AB=AC，
∴AD=AE.
在△ADB和△AEC中，$\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ ∠A=∠A,\\ AD=AE,\end{array} $
∴△ADB≌△AEC（SAS）.
∴BD=CE.
∴等腰三角形两腰上的中线相等.
Ⅱ. 已知：
，在△ABC中，已知AB=AC，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB. 求证：BD=CE.证明如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB.
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠ECB = $\frac{1}{2}$∠ACB.
∴∠DBC = ∠ECB. 在△DCB和△EBC中，$\{\begin{array}{l} ∠ACB=∠ABC,\\ BC=CB,\\ ∠DBC=∠ECB,\end{array} $
∴△DCB ≌ △EBC（ASA）.
∴BD=CE.
∴等腰三角形两底角的平分线相等.
(3)证明：
，连接AD.∵$S_{△ABC} = S_{△ABD} + S_{△ACD}$，BH⊥AC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴$\frac{1}{2} AC · BH = \frac{1}{2} AB · DE + \frac{1}{2} AC · DF$. 又AB=AC，
∴$\frac{1}{2} AC · BH = \frac{1}{2} AC · DE + \frac{1}{2} AC · DF = \frac{1}{2} AC · (DE + DF)$.
∴DE+DF=BH.
解析
【分析】
(1)要证明底边中点D到两腰的距离相等，可先利用等腰三角形“三线合一”的性质证明AD是∠BAC的角平分线，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可证得DE=DF。
(2)Ⅰ.证明两腰上的中线相等，先明确已知条件和待证结论，根据中线定义得到一组相等的边，再通过SAS证明包含两条中线的三角形全等，即可得到线段相等；
Ⅱ.证明两底角的平分线相等，先明确已知条件和待证结论，利用等腰三角形底角相等的性质，结合角平分线定义得到一组相等的角，再通过ASA证明包含两条角平分线的三角形全等，即可得证。
(3)要证明DE+DF=BH，可采用等面积法：连接AD后，△ABC的面积等于△ABD与△ACD的面积和，结合AB=AC的条件，对面积公式化简后即可得到结论。
【解析】
(1)证明：
∵AB=AC，D为边BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD。又DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF。
(2)Ⅰ. 已知：，在△ABC中，已知AB=AC，BD是边AC的中线，CE是边AB的中线。求证：BD=CE。
证明如下：
∵BD是边AC的中线，CE是边AB的中线，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC，AE=$\frac{1}{2}$AB。
∵AB=AC，
∴AD=AE。
在△ADB和△AEC中，$\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ ∠A=∠A,\\ AD=AE,\end{array} $
∴△ADB≌△AEC（SAS）。
∴BD=CE。
∴等腰三角形两腰上的中线相等。
Ⅱ. 已知：，在△ABC中，已知AB=AC，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB。求证：BD=CE。
证明如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB。
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠ECB = $\frac{1}{2}$∠ACB。
∴∠DBC = ∠ECB。在△DCB和△EBC中，$\{\begin{array}{l} ∠ACB=∠ABC,\\ BC=CB,\\ ∠DBC=∠ECB,\end{array} $
∴△DCB ≌ △EBC（ASA）。
∴BD=CE。
∴等腰三角形两底角的平分线相等。
(3)证明：，连接AD。
∵$S_{△ABC} = S_{△ABD} + S_{△ACD}$，BH⊥AC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴$\frac{1}{2} AC · BH = \frac{1}{2} AB · DE + \frac{1}{2} AC · DF$。又AB=AC，
∴$\frac{1}{2} AC · BH = \frac{1}{2} AC · DE + \frac{1}{2} AC · DF = \frac{1}{2} AC · (DE + DF)$。
∴DE+DF=BH。
【答案】
(1)证明见解析，DE=DF成立；
(2)Ⅰ.等腰三角形两腰上的中线相等，证明见解析；
Ⅱ.等腰三角形两底角的平分线相等，证明见解析；
(3)证明见解析，DE+DF=BH成立。
【知识点】
等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质
【点评】
本题围绕等腰三角形的常见相等线段结论展开，既考查了等腰三角形、中线、角平分线的基础性质，也考查了全等证明、等面积法等常用几何解题方法，有助于学生归纳等腰三角形相关结论，提升几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证明底边中点D到两腰的距离相等，可先利用等腰三角形“三线合一”的性质证明AD是∠BAC的角平分线，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可证得DE=DF。
(2)Ⅰ.证明两腰上的中线相等，先明确已知条件和待证结论，根据中线定义得到一组相等的边，再通过SAS证明包含两条中线的三角形全等，即可得到线段相等；
Ⅱ.证明两底角的平分线相等，先明确已知条件和待证结论，利用等腰三角形底角相等的性质，结合角平分线定义得到一组相等的角，再通过ASA证明包含两条角平分线的三角形全等，即可得证。
(3)要证明DE+DF=BH，可采用等面积法：连接AD后，△ABC的面积等于△ABD与△ACD的面积和，结合AB=AC的条件，对面积公式化简后即可得到结论。
【解析】
(1)证明：
∵AB=AC，D为边BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD。又DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF。
(2)Ⅰ. 已知：
，在△ABC中，已知AB=AC，BD是边AC的中线，CE是边AB的中线。求证：BD=CE。证明如下：
∵BD是边AC的中线，CE是边AB的中线，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC，AE=$\frac{1}{2}$AB。
∵AB=AC，
∴AD=AE。
在△ADB和△AEC中，$\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ ∠A=∠A,\\ AD=AE,\end{array} $
∴△ADB≌△AEC（SAS）。
∴BD=CE。
∴等腰三角形两腰上的中线相等。
Ⅱ. 已知：
，在△ABC中，已知AB=AC，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB。求证：BD=CE。证明如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB。
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠ECB = $\frac{1}{2}$∠ACB。
∴∠DBC = ∠ECB。在△DCB和△EBC中，$\{\begin{array}{l} ∠ACB=∠ABC,\\ BC=CB,\\ ∠DBC=∠ECB,\end{array} $
∴△DCB ≌ △EBC（ASA）。
∴BD=CE。
∴等腰三角形两底角的平分线相等。
(3)证明：
，连接AD。∵$S_{△ABC} = S_{△ABD} + S_{△ACD}$，BH⊥AC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴$\frac{1}{2} AC · BH = \frac{1}{2} AB · DE + \frac{1}{2} AC · DF$。又AB=AC，
∴$\frac{1}{2} AC · BH = \frac{1}{2} AC · DE + \frac{1}{2} AC · DF = \frac{1}{2} AC · (DE + DF)$。
∴DE+DF=BH。
【答案】
(1)证明见解析，DE=DF成立；
(2)Ⅰ.等腰三角形两腰上的中线相等，证明见解析；
Ⅱ.等腰三角形两底角的平分线相等，证明见解析；
(3)证明见解析，DE+DF=BH成立。
【知识点】
等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质
【点评】
本题围绕等腰三角形的常见相等线段结论展开，既考查了等腰三角形、中线、角平分线的基础性质，也考查了全等证明、等面积法等常用几何解题方法，有助于学生归纳等腰三角形相关结论，提升几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
