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1. 分式的乘除混合运算可以统一为
乘法
运算.答案
乘法
解析
【分析】
解题时先回忆分式的运算规则：我们已经学过分式的除法可以转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。类比有理数乘除混合运算的转换思路，分式的乘除混合运算中，所有的除法都可以通过上述法则转化为乘法，因此可以将乘除混合运算统一为同一种运算。
【解析】
根据分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。因此在进行分式的乘除混合运算时，可先将每一步除法运算全部转化为乘法运算，最终整个混合运算就可以统一为乘法运算。
【答案】
乘法
【知识点】
1. 分式除法法则
2. 乘除混合运算转换
【点评】
本题是基础概念类题目，核心考查对分式乘除运算规则的理解，熟练掌握除法转乘法的规律即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆分式的运算规则：我们已经学过分式的除法可以转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。类比有理数乘除混合运算的转换思路，分式的乘除混合运算中，所有的除法都可以通过上述法则转化为乘法，因此可以将乘除混合运算统一为同一种运算。
【解析】
根据分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。因此在进行分式的乘除混合运算时，可先将每一步除法运算全部转化为乘法运算，最终整个混合运算就可以统一为乘法运算。
【答案】
乘法
【知识点】
1. 分式除法法则
2. 乘除混合运算转换
【点评】
本题是基础概念类题目，核心考查对分式乘除运算规则的理解，熟练掌握除法转乘法的规律即可快速作答。
【难度系数】
0.9
例1 计算：(1) $(9x^4y^2) ÷ (-\dfrac{3y^6}{2x}) · \dfrac{y}{3}$；
(2) $\dfrac{a^2 -1}{a^2 -4} · \dfrac{a+2}{a^2 -2a +1} ÷ \dfrac{a+1}{a^2 -4a +4}$。
(2) $\dfrac{a^2 -1}{a^2 -4} · \dfrac{a+2}{a^2 -2a +1} ÷ \dfrac{a+1}{a^2 -4a +4}$。
答案
(1) $-\dfrac{2x^5}{y^3}$；(2) $\dfrac{a-2}{a-1}$
解析
【分析】
分式乘除混合运算的核心思路是先将除法统一转化为乘法，再按照从左到右的顺序计算：
(1) 单项式与分式的乘除运算，先处理符号，再分别计算系数的乘积、同底数幂的乘除，最后合并结果；
(2) 含多项式的分式乘除运算，第一步先将所有能因式分解的多项式分解因式，再将除法转为乘法，最后约去分子分母的公因式得到最简结果。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘以倒数：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(9x^4y^2) × (-\dfrac{2x}{3y^6}) × \dfrac{y}{3}\\&=9×(-\dfrac{2}{3})×\dfrac{1}{3} × x^{4+1} × y^{2+1-6}\\&=-2x^5y^{-3}\\&=-\dfrac{2x^5}{y^3}\end{aligned}$
(2) 先因式分解各多项式，其中$a^2-1=(a+1)(a-1)$，$a^2-4=(a+2)(a-2)$，$a^2-2a+1=(a-1)^2$，$a^2-4a+4=(a-2)^2$，再将除法转为乘法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{(a+1)(a-1)}{(a+2)(a-2)} × \dfrac{a+2}{(a-1)^2} × \dfrac{(a-2)^2}{a+1}\\&=\dfrac{\cancel{(a+1)}\cancel{(a-1)}×\cancel{(a+2)}×(a-2)^{\cancel{2}}}{\cancel{(a+2)}\cancel{(a-2)}×(a-1)^{\cancel{2}}×\cancel{(a+1)}}\\&=\dfrac{a-2}{a-1}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\dfrac{2x^5}{y^3}$；(2) $\dfrac{a-2}{a-1}$
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，幂的运算
【点评】
本题是分式乘除混合运算的基础题型，解题时要注意运算顺序：先统一为乘法运算再计算，遇多项式先因式分解再约分，计算过程中要格外注意符号和幂的指数变化，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
分式乘除混合运算的核心思路是先将除法统一转化为乘法，再按照从左到右的顺序计算：
(1) 单项式与分式的乘除运算，先处理符号，再分别计算系数的乘积、同底数幂的乘除，最后合并结果；
(2) 含多项式的分式乘除运算，第一步先将所有能因式分解的多项式分解因式，再将除法转为乘法，最后约去分子分母的公因式得到最简结果。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘以倒数：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(9x^4y^2) × (-\dfrac{2x}{3y^6}) × \dfrac{y}{3}\\&=9×(-\dfrac{2}{3})×\dfrac{1}{3} × x^{4+1} × y^{2+1-6}\\&=-2x^5y^{-3}\\&=-\dfrac{2x^5}{y^3}\end{aligned}$
(2) 先因式分解各多项式，其中$a^2-1=(a+1)(a-1)$，$a^2-4=(a+2)(a-2)$，$a^2-2a+1=(a-1)^2$，$a^2-4a+4=(a-2)^2$，再将除法转为乘法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{(a+1)(a-1)}{(a+2)(a-2)} × \dfrac{a+2}{(a-1)^2} × \dfrac{(a-2)^2}{a+1}\\&=\dfrac{\cancel{(a+1)}\cancel{(a-1)}×\cancel{(a+2)}×(a-2)^{\cancel{2}}}{\cancel{(a+2)}\cancel{(a-2)}×(a-1)^{\cancel{2}}×\cancel{(a+1)}}\\&=\dfrac{a-2}{a-1}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\dfrac{2x^5}{y^3}$；(2) $\dfrac{a-2}{a-1}$
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，幂的运算
【点评】
本题是分式乘除混合运算的基础题型，解题时要注意运算顺序：先统一为乘法运算再计算，遇多项式先因式分解再约分，计算过程中要格外注意符号和幂的指数变化，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
2. 一般地，当$n$是正整数时，$(\dfrac{a}{b})^n =$
$\dfrac{a^n}{b^n}$
.即分式乘方要把 分子
、 分母
分别乘方.答案
2. $\dfrac{a^n}{b^n}$；分子；分母
解析
【分析】
要推导分式乘方的结果，可结合乘方的意义和分式乘法的法则思考：首先乘方表示n个相同因式相乘，因此$(\dfrac{a}{b})^n$就是n个$\dfrac{a}{b}$相乘；再根据分式乘法的计算规则，分子相乘的积作为新分子，分母相乘的积作为新分母，n个a相乘得到$a^n$，n个b相乘得到$b^n$，就能得出最终结果，同时总结出分式乘方的运算规则。
【解析】
根据乘方的定义：$(\dfrac{a}{b})^n=\underbrace{\dfrac{a}{b}×\dfrac{a}{b}×···×\dfrac{a}{b}}_{n个}$
根据分式乘法法则，将所有分子相乘、所有分母相乘：
分子部分：$\underbrace{a× a×···× a}_{n个}=a^n$
分母部分：$\underbrace{b× b×···× b}_{n个}=b^n$
因此$(\dfrac{a}{b})^n=\dfrac{a^n}{b^n}$，由此可得分式乘方的规则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。
【答案】
$\dfrac{a^n}{b^n}$；分子；分母
【知识点】
分式乘方法则；乘方的意义；分式乘法法则
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对分式乘方法则的推导过程和内容的记忆，掌握基础运算规则即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要推导分式乘方的结果，可结合乘方的意义和分式乘法的法则思考：首先乘方表示n个相同因式相乘，因此$(\dfrac{a}{b})^n$就是n个$\dfrac{a}{b}$相乘；再根据分式乘法的计算规则，分子相乘的积作为新分子，分母相乘的积作为新分母，n个a相乘得到$a^n$，n个b相乘得到$b^n$，就能得出最终结果，同时总结出分式乘方的运算规则。
【解析】
根据乘方的定义：$(\dfrac{a}{b})^n=\underbrace{\dfrac{a}{b}×\dfrac{a}{b}×···×\dfrac{a}{b}}_{n个}$
根据分式乘法法则，将所有分子相乘、所有分母相乘：
分子部分：$\underbrace{a× a×···× a}_{n个}=a^n$
分母部分：$\underbrace{b× b×···× b}_{n个}=b^n$
因此$(\dfrac{a}{b})^n=\dfrac{a^n}{b^n}$，由此可得分式乘方的规则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。
【答案】
$\dfrac{a^n}{b^n}$；分子；分母
【知识点】
分式乘方法则；乘方的意义；分式乘法法则
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对分式乘方法则的推导过程和内容的记忆，掌握基础运算规则即可快速作答。
【难度系数】
0.9
3. 分式与数有相同的混合运算顺序：先________，再________。若涉及符号问题，可以先确定结果的符号，再进行其他运算。
(2) $( \dfrac{x^2 y}{z^2} )^3 ÷ \dfrac{x^3}{z} = \_\_\_\_\_\_$
(2) $( \dfrac{x^2 y}{z^2} )^3 ÷ \dfrac{x^3}{z} = \_\_\_\_\_\_$
答案
3. 乘方；乘除；$\dfrac{x^3 y^3}{z^5}$
解析
【分析】
首先回忆分式混合运算的顺序规则，它和有理数混合运算顺序完全相同，第一部分的填空直接对应运算顺序的优先级即可。对于第二问的计算，解题思路分两步走：第一步按照运算优先级先计算分式的乘方，运用分式乘方法则：分子分母分别乘方，再结合幂的乘方法则计算指数；第二步将分式除法转化为乘法运算，再通过约分、同底数幂的运算规则化简得到最终结果，本题所有项均为正，无需额外判断符号。
【解析】
（1）分式和数的混合运算顺序一致，运算优先级为：先算乘方，再算乘除，因此两个空依次填乘方、乘除。
（2）计算$(\dfrac{x^2 y}{z^2})^3 ÷ \dfrac{x^3}{z}$：
① 先计算乘方：根据分式乘方法则，分子分母分别乘方，结合幂的乘方“底数不变，指数相乘”的规则，可得$(\dfrac{x^2 y}{z^2})^3=\dfrac{(x^2)^3· y^3}{(z^2)^3}=\dfrac{x^6 y^3}{z^6}$；
② 将除法转化为乘法：除以一个分式等于乘以该分式的倒数，因此原式变为$\dfrac{x^6 y^3}{z^6} × \dfrac{z}{x^3}$；
③ 约分化简：根据同底数幂乘除规则“底数不变，指数相减”，计算得$\dfrac{x^{6-3} y^3}{z^{6-1}}=\dfrac{x^3 y^3}{z^5}$。
【答案】
乘方；乘除；$\dfrac{x^3 y^3}{z^5}$
【知识点】
分式混合运算顺序；分式乘方运算；分式乘除运算
【点评】
本题属于分式运算的基础考查题，核心是牢记运算优先级，熟练掌握分式乘方、乘除的运算法则以及幂的运算性质，计算时主动约分可以有效简化运算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.85
首先回忆分式混合运算的顺序规则，它和有理数混合运算顺序完全相同，第一部分的填空直接对应运算顺序的优先级即可。对于第二问的计算，解题思路分两步走：第一步按照运算优先级先计算分式的乘方，运用分式乘方法则：分子分母分别乘方，再结合幂的乘方法则计算指数；第二步将分式除法转化为乘法运算，再通过约分、同底数幂的运算规则化简得到最终结果，本题所有项均为正，无需额外判断符号。
【解析】
（1）分式和数的混合运算顺序一致，运算优先级为：先算乘方，再算乘除，因此两个空依次填乘方、乘除。
（2）计算$(\dfrac{x^2 y}{z^2})^3 ÷ \dfrac{x^3}{z}$：
① 先计算乘方：根据分式乘方法则，分子分母分别乘方，结合幂的乘方“底数不变，指数相乘”的规则，可得$(\dfrac{x^2 y}{z^2})^3=\dfrac{(x^2)^3· y^3}{(z^2)^3}=\dfrac{x^6 y^3}{z^6}$；
② 将除法转化为乘法：除以一个分式等于乘以该分式的倒数，因此原式变为$\dfrac{x^6 y^3}{z^6} × \dfrac{z}{x^3}$；
③ 约分化简：根据同底数幂乘除规则“底数不变，指数相减”，计算得$\dfrac{x^{6-3} y^3}{z^{6-1}}=\dfrac{x^3 y^3}{z^5}$。
【答案】
乘方；乘除；$\dfrac{x^3 y^3}{z^5}$
【知识点】
分式混合运算顺序；分式乘方运算；分式乘除运算
【点评】
本题属于分式运算的基础考查题，核心是牢记运算优先级，熟练掌握分式乘方、乘除的运算法则以及幂的运算性质，计算时主动约分可以有效简化运算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.85
1. 计算：$(-\dfrac{2a}{b^2})^3 = \_\_\_\_\_\_.$
答案
$-\dfrac{8a^3}{b^6}$
解析
【分析】
要解答本题，首先回忆分式乘方的运算规则：分式乘方时需要将分子、分母分别进行乘方运算。解题思路如下：第一步，对原分式应用乘方法则，将分子$(-2a)$和分母$b^2$分别做三次方运算；第二步，计算分子部分，利用积的乘方法则，把积的每个因式分别乘方，同时注意负数的奇次幂结果为负；第三步，计算分母部分，利用幂的乘方法则，底数不变，指数相乘；最后将分子、分母的运算结果合并，即可得到最终答案。
【解析】
解：根据分式乘方的运算法则，将分子、分母分别乘方：
$(-\dfrac{2a}{b^2})^3 = \dfrac{(-2a)^3}{(b^2)^3}$
计算分子：$(-2a)^3 = (-2)^3 · a^3 = -8a^3$
计算分母：$(b^2)^3 = b^{2 × 3} = b^6$
因此原式的运算结果为$-\dfrac{8a^3}{b^6}$。
【答案】
$-\dfrac{8a^3}{b^6}$
【知识点】
分式的乘方；积的乘方；幂的乘方
【点评】
本题是基础运算类题目，主要考查分式乘方及幂的相关运算规则，解题时要注意判断负数奇次幂的符号，避免出现指数运算错误、符号遗漏等常见问题。
【难度系数】
0.85
要解答本题，首先回忆分式乘方的运算规则：分式乘方时需要将分子、分母分别进行乘方运算。解题思路如下：第一步，对原分式应用乘方法则，将分子$(-2a)$和分母$b^2$分别做三次方运算；第二步，计算分子部分，利用积的乘方法则，把积的每个因式分别乘方，同时注意负数的奇次幂结果为负；第三步，计算分母部分，利用幂的乘方法则，底数不变，指数相乘；最后将分子、分母的运算结果合并，即可得到最终答案。
【解析】
解：根据分式乘方的运算法则，将分子、分母分别乘方：
$(-\dfrac{2a}{b^2})^3 = \dfrac{(-2a)^3}{(b^2)^3}$
计算分子：$(-2a)^3 = (-2)^3 · a^3 = -8a^3$
计算分母：$(b^2)^3 = b^{2 × 3} = b^6$
因此原式的运算结果为$-\dfrac{8a^3}{b^6}$。
【答案】
$-\dfrac{8a^3}{b^6}$
【知识点】
分式的乘方；积的乘方；幂的乘方
【点评】
本题是基础运算类题目，主要考查分式乘方及幂的相关运算规则，解题时要注意判断负数奇次幂的符号，避免出现指数运算错误、符号遗漏等常见问题。
【难度系数】
0.85
2. 计算：(1)$\frac{x-1}{x+2} · \frac{x^2 -4}{x^2 -2x +1} ÷ \frac{1}{x^2 -x}$；
(2)$(-\frac{a}{b})^2 ÷ (\frac{2a^2}{5b})^2 · (-\frac{a^2}{5b}).$
(2)$(-\frac{a}{b})^2 ÷ (\frac{2a^2}{5b})^2 · (-\frac{a^2}{5b}).$
答案
2. 解：(1)原式$=\dfrac{x-1}{x+2} · \dfrac{x^2 -4}{x^2 -2x +1} · (x^2 - x) =\dfrac{x-1}{x+2} · \dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-1)^2} · x(x-1)=x(x-2)=x^2 -2x.$
(2)原式$=\dfrac{a^2}{b^2} ÷ \dfrac{4a^4}{25b^2} · (-\dfrac{a^2}{5b}) = -\dfrac{a^2}{b^2} · \dfrac{25b^2}{4a^4} · \dfrac{a^2}{5b} = -\dfrac{5}{4b}.$
(2)原式$=\dfrac{a^2}{b^2} ÷ \dfrac{4a^4}{25b^2} · (-\dfrac{a^2}{5b}) = -\dfrac{a^2}{b^2} · \dfrac{25b^2}{4a^4} · \dfrac{a^2}{5b} = -\dfrac{5}{4b}.$
解析
【分析】
解决分式乘除及乘方混合运算题，遵循以下思路：①运算顺序：有乘方先算乘方，再算乘除，同时将所有除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘它的倒数）；②因式分解：将分子、分母中能分解的多项式用提公因式法、公式法分解因式；③约分：约去分子分母的公因式；④化简：将剩余因式相乘得到最简结果，计算过程注意符号处理。
第(1)题先把除法变乘法，再分别对$x^2-4$、$x^2-2x+1$、$x^2-x$因式分解后约分计算；第(2)题先计算分式的乘方，再把除法变乘法，统一为乘法运算后约分即可。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法，再因式分解约分：
原式$=\dfrac{x-1}{x+2} · \dfrac{x^2 -4}{x^2 -2x +1} · (x^2 - x)$
$=\dfrac{x-1}{x+2} · \dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-1)^2} · x(x-1)$
约去公因式$(x+2)$、$(x-1)^2$后，得$x(x-2)=x^2 -2x$
(2) 先算乘方，再将除法转化为乘法，注意符号：
原式$=\dfrac{a^2}{b^2} ÷ \dfrac{4a^4}{25b^2} · (-\dfrac{a^2}{5b})$
$= -\dfrac{a^2}{b^2} · \dfrac{25b^2}{4a^4} · \dfrac{a^2}{5b}$
约去公因式$a^4$、$b^2$后，计算得$-\dfrac{5}{4b}$
【答案】
(1)$x^2-2x$；(2)$-\dfrac{5}{4b}$
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、分式的乘方
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心是掌握分式运算的顺序和规则，解题的关键是对多项式正确因式分解，同时注意运算过程中的符号变化，避免因因式分解错误或符号疏忽失分。
【难度系数】
0.8
解决分式乘除及乘方混合运算题，遵循以下思路：①运算顺序：有乘方先算乘方，再算乘除，同时将所有除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘它的倒数）；②因式分解：将分子、分母中能分解的多项式用提公因式法、公式法分解因式；③约分：约去分子分母的公因式；④化简：将剩余因式相乘得到最简结果，计算过程注意符号处理。
第(1)题先把除法变乘法，再分别对$x^2-4$、$x^2-2x+1$、$x^2-x$因式分解后约分计算；第(2)题先计算分式的乘方，再把除法变乘法，统一为乘法运算后约分即可。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法，再因式分解约分：
原式$=\dfrac{x-1}{x+2} · \dfrac{x^2 -4}{x^2 -2x +1} · (x^2 - x)$
$=\dfrac{x-1}{x+2} · \dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-1)^2} · x(x-1)$
约去公因式$(x+2)$、$(x-1)^2$后，得$x(x-2)=x^2 -2x$
(2) 先算乘方，再将除法转化为乘法，注意符号：
原式$=\dfrac{a^2}{b^2} ÷ \dfrac{4a^4}{25b^2} · (-\dfrac{a^2}{5b})$
$= -\dfrac{a^2}{b^2} · \dfrac{25b^2}{4a^4} · \dfrac{a^2}{5b}$
约去公因式$a^4$、$b^2$后，计算得$-\dfrac{5}{4b}$
【答案】
(1)$x^2-2x$；(2)$-\dfrac{5}{4b}$
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、分式的乘方
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心是掌握分式运算的顺序和规则，解题的关键是对多项式正确因式分解，同时注意运算过程中的符号变化，避免因因式分解错误或符号疏忽失分。
【难度系数】
0.8
