1. 计算:
(1)$(\dfrac{3b^2}{a})^2 =$ ;
(2)$(-\dfrac{y^2}{2x^3})^3 =$ .

1. (1)$\dfrac{9b^4}{a^2}$ (2)$-\dfrac{y^6}{8x^9}$

【分析】
本题考查分式的乘方运算，解题思路如下：首先回忆分式乘方法则：分式的乘方，要把分子、分母分别乘方；其次运算时注意两点：一是若原式带负号，需根据乘方的指数奇偶性判断结果的符号，指数为奇数结果带负号，指数为偶数结果为正；二是分子、分母中的系数和字母分别按照积的乘方、幂的乘方法则计算，幂的乘方底数不变，指数相乘。
【解析】
(1) 根据分式乘方法则计算：
$(\dfrac{3b^2}{a})^2=\dfrac{(3b^2)^2}{a^2}=\dfrac{3^2 · (b^2)^2}{a^2}=\dfrac{9b^4}{a^2}$
(2) 先判断符号，再按照分式乘方法则计算：
$(-\dfrac{y^2}{2x^3})^3=-\dfrac{(y^2)^3}{(2x^3)^3}=-\dfrac{y^{2×3}}{2^3 · (x^3)^3}=-\dfrac{y^6}{8x^9}$
【答案】
(1)$\dfrac{9b^4}{a^2}$；(2)$-\dfrac{y^6}{8x^9}$
【知识点】
分式的乘方、幂的乘方、积的乘方
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查分式乘方的运算法则，解题时需注意符号判断，以及幂的相关运算规则的准确使用，计算时细心即可避免出错。
【难度系数】
0.8

2. 计算:
(1)$a^2 · (\dfrac{1}{a})^3 =$ ;
(2)$(-\dfrac{y}{2ax})^2 ÷ \dfrac{y^2}{4x} =$ ;
(3)$x^3 ÷ (\dfrac{x^3}{y})^2 =$ ;
(4)$(\dfrac{x^2}{2y})^2 · (\dfrac{-2y}{x})^3 =$ .

2. (1)$\dfrac{1}{a}$ (2)$\dfrac{1}{a^2x}$ (3)$\dfrac{y^2}{x^3}$ (4)$-2xy$

【分析】
这组题目是分式的乘除与乘方混合运算，解题时遵循“先算乘方，再算乘除”的运算顺序：①先根据分式乘方法则（分子分母分别乘方）计算所有乘方运算，注意负数的偶次幂为正、奇次幂为负；②再将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘以它的倒数）；③最后根据分式乘法法则计算，分子相乘作分子、分母相乘作分母，约去分子分母的公因式得到最简结果即可。
【解析】
(1) 先计算乘方：$(\dfrac{1}{a})^3=\dfrac{1^3}{a^3}=\dfrac{1}{a^3}$，再计算乘法：$a^2·\dfrac{1}{a^3}=\dfrac{a^2}{a^3}=\dfrac{1}{a}$；
(2) 先计算乘方：$(-\dfrac{y}{2ax})^2=\dfrac{y^2}{(2ax)^2}=\dfrac{y^2}{4a^2x^2}$，再将除法转化为乘法：$\dfrac{y^2}{4a^2x^2}÷\dfrac{y^2}{4x}=\dfrac{y^2}{4a^2x^2}×\dfrac{4x}{y^2}$，约分后得$\dfrac{1}{a^2x}$；
(3) 先计算乘方：$(\dfrac{x^3}{y})^2=\dfrac{(x^3)^2}{y^2}=\dfrac{x^6}{y^2}$，再将除法转化为乘法：$x^3÷\dfrac{x^6}{y^2}=x^3×\dfrac{y^2}{x^6}$，约分后得$\dfrac{y^2}{x^3}$；
(4) 先分别计算乘方：$(\dfrac{x^2}{2y})^2=\dfrac{(x^2)^2}{(2y)^2}=\dfrac{x^4}{4y^2}$，$(\dfrac{-2y}{x})^3=\dfrac{(-2y)^3}{x^3}=\dfrac{-8y^3}{x^3}$，再计算乘法：$\dfrac{x^4}{4y^2}·\dfrac{-8y^3}{x^3}$，约分后得$-2xy$。
【答案】
(1)$\dfrac{1}{a}$；(2)$\dfrac{1}{a^2x}$；(3)$\dfrac{y^2}{x^3}$；(4)$-2xy$
【知识点】
分式的乘方，分式的乘除运算，幂的运算性质
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心是掌握分式混合运算的顺序，运算过程中要注意符号判断，熟练运用约分技巧化简结果，对提升分式运算的熟练度很有帮助。
【难度系数】
0.8

3. 计算:
(1)$\dfrac{36 - a^2}{a^2 - 6a + 9} ÷ \dfrac{a + 6}{3a - 9} · \dfrac{a - 3}{a - 6}$；
(2)$( \dfrac{-b}{a^2} )^3 ÷ ( \dfrac{-b}{a} )^4 · (ab^3)^2$；
(3)$( \dfrac{a^3b^2}{2c} )^2 · ( -\dfrac{bc}{a^2} )^3 ÷ ( -\dfrac{3b^2c}{2a} )^2$。

3. 解：(1) 原式$= -\dfrac{a^2 - 36}{a^2 - 6a + 9} · \dfrac{3a - 9}{a + 6} · \dfrac{a - 3}{a - 6} = -\dfrac{(a + 6)(a - 6)}{(a - 3)^2} · \dfrac{3(a - 3)}{a + 6} · \dfrac{a - 3}{a - 6} = -3.$
(2) 原式$=\dfrac{-b^3}{a^6} ÷ \dfrac{b^4}{a^4} · a^2 b^6 = -\dfrac{b^3}{a^6} · \dfrac{a^4}{b^4} · a^2 b^6 = -b^5.$
(3) 原式$=\dfrac{a^6 b^4}{4c^2} · (-\dfrac{b^3 c^3}{a^6}) ÷ \dfrac{9b^4 c^2}{4a^2} = -\dfrac{a^6 b^4}{4c^2} · \dfrac{b^3 c^3}{a^6} · \dfrac{4a^2}{9b^4 c^2} = -\dfrac{a^2 b^3}{9c}.$

【分析】
解决分式乘除及乘方混合运算类题目，遵循以下思路：①先明确运算顺序：有乘方先算乘方，再算乘除，乘除是同级运算从左到右依次计算；②将所有除法运算转化为乘法运算，同时注意处理负号；③对分子分母中的多项式优先因式分解，单项式则整理幂的形式；④约去分子分母的公因式，最终化简为最简分式或整式。
具体到各小题：
(1)先对各分子分母因式分解，同时将除法转化为乘法，再约去公因式即可；
(2)先计算各分式及整式的乘方，注意符号的确定，再将除法转乘法，结合同底数幂的运算法则约分计算；
(3)同样先完成乘方运算，再统一为乘法运算，约分后得到最简结果。
【解析】
(1)先对多项式因式分解，将除法转化为乘法：
原式$= -\dfrac{(a + 6)(a - 6)}{(a - 3)^2} · \dfrac{3(a - 3)}{a + 6} · \dfrac{a - 3}{a - 6}$
约去分子分母的公因式$(a+6)$、$(a-6)$、$(a-3)^2$，得结果为$-3$。
(2)先计算乘方运算，再将除法转化为乘法：
原式$=\dfrac{-b^3}{a^6} ÷ \dfrac{b^4}{a^4} · a^2 b^6 = -\dfrac{b^3}{a^6} · \dfrac{a^4}{b^4} · a^2 b^6$
根据同底数幂的运算法则计算，约去公因式后得结果为$-b^5$。
(3)先计算乘方运算，处理负号后将除法转化为乘法：
原式$=\dfrac{a^6 b^4}{4c^2} · (-\dfrac{b^3 c^3}{a^6}) ÷ \dfrac{9b^4 c^2}{4a^2} = -\dfrac{a^6 b^4}{4c^2} · \dfrac{b^3 c^3}{a^6} · \dfrac{4a^2}{9b^4 c^2}$
约去分子分母的公因式后得结果为$-\dfrac{a^2 b^3}{9c}$。
【答案】
(1)$-3$；(2)$-b^5$；(3)$-\dfrac{a^2b^3}{9c}$
【知识点】
分式的乘除运算，分式的乘方运算，因式分解
【点评】
本题是分式运算的基础训练题，重点考查运算顺序、符号处理和约分的能力，做题时需细心，尤其要注意负数的偶次幂为正、奇次幂为负的规则，避免符号错误，多项式因式分解要彻底才能顺利约分。
【难度系数】
0.7

4. 若$(\dfrac{a^3}{b^2})^2 ÷ (-\dfrac{a}{b^3})^2 = 3$，则$a^8b^4 = (\quad)$。

A.6
B.9
C.12
D.81

B

【分析】
解题时先处理已知等式左边的分式混合运算：第一步根据分式乘方法则分别计算两个分式的平方，注意平方运算后负号会消失；第二步将分式除法转化为乘法，结合同底数幂的运算法则约分化简，得到a、b的最简幂次关系；最后观察所求代数式$a^8b^4$和化简结果的关联，用整体代入的方法计算即可。
【解析】
先化简已知等式左边的式子：
1. 计算分式乘方：
$(\dfrac{a^3}{b^2})^2 = \dfrac{(a^3)^2}{(b^2)^2} = \dfrac{a^6}{b^4}$
$(-\dfrac{a}{b^3})^2 = \dfrac{(-a)^2}{(b^3)^2} = \dfrac{a^2}{b^6}$
2. 除法转乘法并约分：
$\dfrac{a^6}{b^4} ÷ \dfrac{a^2}{b^6} = \dfrac{a^6}{b^4} × \dfrac{b^6}{a^2} = a^{6-2}·b^{6-4} = a^4b^2$
即可得化简后的等式：$a^4b^2=3$
3. 变形所求代数式代入计算：
$a^8b^4=(a^4)^2·(b^2)^2=(a^4b^2)^2$，将$a^4b^2=3$代入得：
$(a^4b^2)^2=3^2=9$
【答案】
B
【知识点】
分式乘方运算、分式乘除运算、幂的运算性质
【点评】
本题核心考查分式的乘除乘方混合运算和整体代入思想的应用，运算时要注意分式乘方需分子分母分别乘方，平方运算后负号消去，避免符号、幂次计算出错。
【难度系数】
0.7

5. 先化简，再求值：$(-\dfrac{a^2}{b})^2 · (-\dfrac{b^2}{a})^3 ÷ (-\dfrac{b}{a})^4$，其中$a=2$，$b=1$。

5. 解：原式$=\dfrac{a^4}{b^2} · (-\dfrac{b^6}{a^3}) ÷ \dfrac{b^4}{a^4} = -\dfrac{a^4}{b^2} · \dfrac{b^6}{a^3} · \dfrac{a^4}{b^4} = -a^5.$
当$a=2$时，原式$=-2^5=-32.$

【分析】
本题是分式乘方与乘除混合运算的化简求值题，解题需遵循运算优先级：先算分式的乘方，再将除法转化为乘法统一运算；运算时先根据负数乘方的符号规律（偶次幂为正、奇次幂为负）确定最终结果的符号，再对分子分母的公因式、同底数幂进行约分计算，得到最简结果后代入数值即可，先化简再计算能大幅减少运算量，降低出错概率。
【解析】
解：先计算各分式的乘方：
原式$=\dfrac{a^4}{b^2} · (-\dfrac{b^6}{a^3}) ÷ \dfrac{b^4}{a^4}$
将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘它的倒数），同时确定符号：
$= -\dfrac{a^4}{b^2} · \dfrac{b^6}{a^3} · \dfrac{a^4}{b^4}$
对分子、分母的同底数幂分别运算、约分：
$a$的总次数为$4-3+4=5$，$b$的总次数为$6-2-4=0$，即$b$项约去，化简得原式$=-a^5$。
将$a=2$代入化简后的式子计算：
原式$=-2^5=-32$
【答案】
$-32$
【知识点】
分式的乘方运算、分式乘除混合运算、代数式化简求值
【点评】
本题属于分式运算的基础常规题，核心考查运算顺序的掌握和符号判断能力，运算过程中注意先确定符号再计算绝对值，先化简后代入求值的思路能有效提升正确率。
【难度系数】
0.8

6. 如图，用四个全等的长方形拼成一个“带孔”的正方形，大正方形的面积为49，小正方形的面积为1，求$(a^4 - b^4) ÷ \frac{a^2 + b^2}{ab} ÷ (6a - 6b)$的值.

6. 解：根据题意，得$\begin{cases}(a+b)^2=49,\\(a-b)^2=1.\end{cases} \because a＞b＞0,$
$\therefore a+b＞0,\ a-b＞0.\ \therefore \begin{cases}a+b=7,\\a-b=1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=4,\\b=3.\end{cases} \therefore$ 原式$=(a^2 + b^2)(a^2 - b^2) · \dfrac{ab}{a^2 + b^2} · \dfrac{1}{6(a - b)} = (a^2 + b^2) · (a + b)(a - b) · \dfrac{ab}{a^2 + b^2} · \dfrac{1}{6(a - b)} = \dfrac{ab(a + b)}{6} = \dfrac{4×3×7}{6}=14.$

【分析】
解题时首先从几何图形中提取等量关系：大正方形的边长为a+b，其面积为49，可得(a+b)²=49；中间小正方形的边长为a-b，其面积为1，可得(a-b)²=1。结合a＞b＞0的隐含条件，对两个等式开方可得到关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的值。接下来处理待求值的代数式，按照分式乘除混合运算的规则，先将除法转化为乘法，同时对a⁴-b⁴用平方差公式因式分解，约分后将代数式化到最简，最后代入a、b的值计算即可得到结果。
【解析】
根据题意，可得方程组：
$\begin{cases}(a+b)^2=49\\(a-b)^2=1\end{cases}$
$\because a＞b＞0$，$\therefore a+b＞0,\ a-b＞0$，开方得：
$\begin{cases}a+b=7\\a-b=1\end{cases}$
解这个方程组，两式相加得2a=8，解得a=4，代入a+b=7得b=3，即$\begin{cases}a=4\\b=3\end{cases}$。
化简待求值的代数式：
原式$=(a^4 - b^4) × \frac{ab}{a^2 + b^2} × \frac{1}{6a - 6b}$
对$a^4 - b^4$因式分解得：$a^4 - b^4=(a^2 + b^2)(a^2 - b^2)=(a^2 + b^2)(a+b)(a-b)$，对分母$6a-6b$提公因式得$6(a-b)$，代入得：
原式$=(a^2 + b^2)(a+b)(a-b) · \dfrac{ab}{a^2 + b^2} · \dfrac{1}{6(a - b)}$
约分得：原式$=\dfrac{ab(a + b)}{6}$
将a=4，b=3代入得：
原式$=\dfrac{4×3×7}{6}=14$
【答案】
14
【知识点】
分式乘除混合运算，平方差公式，二元一次方程组求解
【点评】
本题结合了几何图形性质与代数运算，既考查了从图形中提取等量关系的能力，又考查了分式化简求值的运算技巧，解题时先化简代数式再代入数值计算，能有效降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.7