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1. 公式$ L= L_{0}+KP 表示当重力为 P $的物体作用在弹簧上时弹簧的长度,$ L_{0}(cm) $代表弹簧的初始长度,$ K(cm) $表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度.下列给出的四个公式中,表明这是一个短而硬的弹簧的是( )
A.$ L= 10+0.5P $
B.$ L= 10+5P $
C.$ L= 80+0.5P $
D.$ L= 80+5P $
A.$ L= 10+0.5P $
B.$ L= 10+5P $
C.$ L= 80+0.5P $
D.$ L= 80+5P $
答案
A
解析
短而硬的弹簧意味着初始长度$L_0$小且单位重力拉伸长度$K$小。比较各选项：
A选项：$L_0 = 10$，$K = 0.5$
B选项：$L_0 = 10$，$K = 5$
C选项：$L_0 = 80$，$K = 0.5$
D选项：$L_0 = 80$，$K = 5$
A选项$L_0$和$K$均最小，符合短而硬的条件。
A
A选项：$L_0 = 10$，$K = 0.5$
B选项：$L_0 = 10$，$K = 5$
C选项：$L_0 = 80$，$K = 0.5$
D选项：$L_0 = 80$，$K = 5$
A选项$L_0$和$K$均最小，符合短而硬的条件。
A
2. (2024·淮安)一辆轿车从A地驶向B地,设出发$ x $h后,这辆轿车离B地路程为$ y $km,已知$ y 与 x 之间的函数表达式为 y= 200-80x $,则轿车从A地到达B地所用时间是______h.
答案
2.5
解析
当轿车到达B地时，离B地路程$ y=0 $，则有：
$ 0=200-80x $
$ 80x=200 $
$ x=\frac{200}{80}=2.5 $
2.5
$ 0=200-80x $
$ 80x=200 $
$ x=\frac{200}{80}=2.5 $
2.5
3. 下表记录了一次试验中时间和温度的数据：
|时间/min|0|5|10|15|20|25|
|温度/℃|10|25|40|55|70|85|
若温度的变化是均匀的,则14 min时的温度是______℃.
|时间/min|0|5|10|15|20|25|
|温度/℃|10|25|40|55|70|85|
若温度的变化是均匀的,则14 min时的温度是______℃.
答案
52
解析
设温度$y$与时间$x$的函数关系式为$y=kx+b$。
当$x=0$时，$y=10$，代入得$10=k×0+b$，解得$b=10$。
当$x=5$时，$y=25$，代入$y=kx+10$得$25=5k+10$，解得$k=3$。
所以函数关系式为$y=3x+10$。
当$x=14$时，$y=3×14 + 10=52$。
52
当$x=0$时，$y=10$，代入得$10=k×0+b$，解得$b=10$。
当$x=5$时，$y=25$，代入$y=kx+10$得$25=5k+10$，解得$k=3$。
所以函数关系式为$y=3x+10$。
当$x=14$时，$y=3×14 + 10=52$。
52
4. (2024·广安)某小区物管中心计划购买A,B两种花卉用于美化环境.已知购买2株A种花卉和3株B种花卉共需要21元;购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元.
(1)求A,B两种花卉的单价.
(2)该物管中心计划购买A,B两种花卉共计10 000株,其中购买A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍,当A,B两种花卉分别购买多少株时,总费用最少？求出最少总费用.
(1)求A,B两种花卉的单价.
(2)该物管中心计划购买A,B两种花卉共计10 000株,其中购买A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍,当A,B两种花卉分别购买多少株时,总费用最少？求出最少总费用.
答案
（1）设A种花卉的单价为x元,B种花卉的单价为y元.根据题意,得{2x+3y=21,4x+5y=37.解得{x=3,y=5.
∴ A种花卉的单价为3元,B种花卉的单价为5元 （2）设购买A种花卉m株,则购买B种花卉(10000-m)株,总费用为W元.根据题意,得W=3m+5(10000-m)=-2m+50000.
∵ -2＜0,
∴ W随m的增大而减小.
∵ A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍,
∴ m≤4(10000-m),解得m≤8000.
∴ 当m=8000时,W取得最小值,此时10000-m=2000,W=-2×8000+50000=34000.
∴ 当购买A种花卉8000株,B种花卉2000株时,总费用最少,最少总费用为34000元
∴ A种花卉的单价为3元,B种花卉的单价为5元 （2）设购买A种花卉m株,则购买B种花卉(10000-m)株,总费用为W元.根据题意,得W=3m+5(10000-m)=-2m+50000.
∵ -2＜0,
∴ W随m的增大而减小.
∵ A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍,
∴ m≤4(10000-m),解得m≤8000.
∴ 当m=8000时,W取得最小值,此时10000-m=2000,W=-2×8000+50000=34000.
∴ 当购买A种花卉8000株,B种花卉2000株时,总费用最少,最少总费用为34000元
5. (2024·东营)在弹性限度内,弹簧的长度$ y(cm) 是所挂物体质量 x(kg) $的一次函数.一根弹簧不挂物体时长12.5 cm,当所挂物体的质量为2 kg时,弹簧长13.5 cm,当所挂物体的质量为5 kg时,弹簧的长度为( )
A.10 cm
B.13 cm
C.15 cm
D.18 cm
A.10 cm
B.13 cm
C.15 cm
D.18 cm
答案
C
解析
设弹簧长度$y$与所挂物体质量$x$的函数关系式为$y=kx+b$。
由题意得：当$x=0$时，$y=12.5$，代入得$12.5=k×0+b$，解得$b=12.5$。
当$x=2$时，$y=13.5$，代入$y=kx+12.5$得$13.5=2k+12.5$，解得$k=0.5$。
所以函数关系式为$y=0.5x+12.5$。
当$x=5$时，$y=0.5×5 + 12.5=2.5+12.5=15$。
C
由题意得：当$x=0$时，$y=12.5$，代入得$12.5=k×0+b$，解得$b=12.5$。
当$x=2$时，$y=13.5$，代入$y=kx+12.5$得$13.5=2k+12.5$，解得$k=0.5$。
所以函数关系式为$y=0.5x+12.5$。
当$x=5$时，$y=0.5×5 + 12.5=2.5+12.5=15$。
C
6. (2024·绥化改编)为适应共享电动车出行市场需求,某公司计划购买A,B两种电动车共200辆,其中A种电动车的数量不多于B种电动车数量的一半.若A,B两种电动车的单价分别为1 000元、3 500元,则当购买A种电动车______辆时,所需的总费用最少.
答案
66
解析
设购买A种电动车$x$辆，则购买B种电动车$(200 - x)$辆。
由题意得：$x \leq \frac{1}{2}(200 - x)$，
解得$x \leq \frac{200}{3} \approx 66.67$。
总费用$y = 1000x + 3500(200 - x) = -2500x + 700000$，
$\because -2500 ＜ 0$，$y$随$x$的增大而减小，
$\therefore x$取最大整数66时，$y$最小。
66
由题意得：$x \leq \frac{1}{2}(200 - x)$，
解得$x \leq \frac{200}{3} \approx 66.67$。
总费用$y = 1000x + 3500(200 - x) = -2500x + 700000$，
$\because -2500 ＜ 0$，$y$随$x$的增大而减小，
$\therefore x$取最大整数66时，$y$最小。
66
