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1.有下列函数：①$y=3x-1$；②$y=2x^{-1}$；③$y=-\dfrac{8}{x^2}$；④$y=\dfrac{1}{2x}$；⑤$y=x^2-1$；⑥$xy=-1$；⑦$y=2x$。其中$y$是$x$的反比例函数的有（填序号）。
答案
解：根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数，其也可等价变形为$y=kx^{-1}$或$xy=k$的形式，逐一判断：
①$y=3x-1$是一次函数，不是反比例函数；
②$y=2x^{-1}=\frac{2}{x}$，符合反比例函数形式，是反比例函数；
③$y=-\frac{8}{x^2}$中自变量$x$的次数为$-2$，不符合反比例函数定义，不是反比例函数；
④$y=\frac{1}{2x}=\frac{\frac{1}{2}}{x}$，符合反比例函数形式，是反比例函数；
⑤$y=x^2-1$是二次函数，不是反比例函数；
⑥$xy=-1$可变形为$y=-\frac{1}{x}$，符合反比例函数形式，是反比例函数；
⑦$y=2x$是正比例函数，不是反比例函数。
其中$y$是$x$的反比例函数的有$\boldsymbol{②④⑥}$。
①$y=3x-1$是一次函数，不是反比例函数；
②$y=2x^{-1}=\frac{2}{x}$，符合反比例函数形式，是反比例函数；
③$y=-\frac{8}{x^2}$中自变量$x$的次数为$-2$，不符合反比例函数定义，不是反比例函数；
④$y=\frac{1}{2x}=\frac{\frac{1}{2}}{x}$，符合反比例函数形式，是反比例函数；
⑤$y=x^2-1$是二次函数，不是反比例函数；
⑥$xy=-1$可变形为$y=-\frac{1}{x}$，符合反比例函数形式，是反比例函数；
⑦$y=2x$是正比例函数，不是反比例函数。
其中$y$是$x$的反比例函数的有$\boldsymbol{②④⑥}$。
解析
【分析】
解决本题需先明确反比例函数的定义及三种等价表达形式：①$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）；②$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）；③$xy=k$（$k$为常数，$k≠0$）。解题时逐个将所给函数与上述三种形式对比判断，同时注意区分反比例函数与一次函数、二次函数的差异，关注自变量$x$的次数是否为$-1$即可得出结果。
【解析】
根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数，其也可等价变形为$y=kx^{-1}$或$xy=k$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，逐一判断：
①$y=3x-1$是一次函数，不符合反比例函数形式，不是反比例函数；
②$y=2x^{-1}=\frac{2}{x}$，符合$y=kx^{-1}$（$k=2≠0$）的形式，是反比例函数；
③$y=-\frac{8}{x^2}$中自变量$x$的次数为$-2$，不符合反比例函数自变量次数为$-1$的要求，不是反比例函数；
④$y=\frac{1}{2x}=\frac{\frac{1}{2}}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$（$k=\frac{1}{2}≠0$）的形式，是反比例函数；
⑤$y=x^2-1$是二次函数，不符合反比例函数形式，不是反比例函数；
⑥$xy=-1$可变形为$y=-\frac{1}{x}$，符合$xy=k$（$k=-1≠0$）的形式，是反比例函数；
⑦$y=2x$是正比例函数，属于特殊的一次函数，不是反比例函数。
【答案】
②④⑥
【知识点】
反比例函数的定义、反比例函数的形式变形
【点评】
本题是基础概念类考题，重点考查对反比例函数定义的理解与运用，解题时不仅要能识别反比例函数的标准形式，还要熟练掌握其等价变形，同时注意区分反比例函数和一次函数、二次函数的特征，避免因概念混淆出现误判。
【难度系数】
0.8
解决本题需先明确反比例函数的定义及三种等价表达形式：①$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）；②$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）；③$xy=k$（$k$为常数，$k≠0$）。解题时逐个将所给函数与上述三种形式对比判断，同时注意区分反比例函数与一次函数、二次函数的差异，关注自变量$x$的次数是否为$-1$即可得出结果。
【解析】
根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数，其也可等价变形为$y=kx^{-1}$或$xy=k$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，逐一判断：
①$y=3x-1$是一次函数，不符合反比例函数形式，不是反比例函数；
②$y=2x^{-1}=\frac{2}{x}$，符合$y=kx^{-1}$（$k=2≠0$）的形式，是反比例函数；
③$y=-\frac{8}{x^2}$中自变量$x$的次数为$-2$，不符合反比例函数自变量次数为$-1$的要求，不是反比例函数；
④$y=\frac{1}{2x}=\frac{\frac{1}{2}}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$（$k=\frac{1}{2}≠0$）的形式，是反比例函数；
⑤$y=x^2-1$是二次函数，不符合反比例函数形式，不是反比例函数；
⑥$xy=-1$可变形为$y=-\frac{1}{x}$，符合$xy=k$（$k=-1≠0$）的形式，是反比例函数；
⑦$y=2x$是正比例函数，属于特殊的一次函数，不是反比例函数。
【答案】
②④⑥
【知识点】
反比例函数的定义、反比例函数的形式变形
【点评】
本题是基础概念类考题，重点考查对反比例函数定义的理解与运用，解题时不仅要能识别反比例函数的标准形式，还要熟练掌握其等价变形，同时注意区分反比例函数和一次函数、二次函数的特征，避免因概念混淆出现误判。
【难度系数】
0.8
2.在反比例函数$y=-\frac{2}{5x}$中，常数$k=$，自变量$x$的取值范围是。
答案
常数$k=\boldsymbol{-\frac{2}{5}}$，自变量$x$的取值范围是$\boldsymbol{x≠0}$。
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数的标准形式，先将给定的函数解析式转化为反比例函数的标准形式$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），对比即可得到常数$k$的值；再根据分式有意义的条件（分母不为0），求出自变量$x$的取值范围。
【解析】
1. 求常数$k$的值：
反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），将题中函数$y=-\frac{2}{5x}$变形为$y=\frac{-\frac{2}{5}}{x}$，和标准形式对比可得$k=-\frac{2}{5}$。
2. 求自变量$x$的取值范围：
函数表达式为分式，要使分式有意义，分母不能为0，即$5x≠0$，解得$x≠0$。
【答案】
$-\frac{2}{5}$；$x≠0$
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对反比例函数标准形式的识别和自变量取值范围的求解，熟练掌握基础概念即可快速解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆反比例函数的标准形式，先将给定的函数解析式转化为反比例函数的标准形式$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），对比即可得到常数$k$的值；再根据分式有意义的条件（分母不为0），求出自变量$x$的取值范围。
【解析】
1. 求常数$k$的值：
反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），将题中函数$y=-\frac{2}{5x}$变形为$y=\frac{-\frac{2}{5}}{x}$，和标准形式对比可得$k=-\frac{2}{5}$。
2. 求自变量$x$的取值范围：
函数表达式为分式，要使分式有意义，分母不能为0，即$5x≠0$，解得$x≠0$。
【答案】
$-\frac{2}{5}$；$x≠0$
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对反比例函数标准形式的识别和自变量取值范围的求解，熟练掌握基础概念即可快速解答。
【难度系数】
0.9
3.若函数$y=(k-3)x^{k^2 -10}$是反比例函数，则k的值为。
答案
$\boldsymbol{-3}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确反比例函数的定义要求：反比例函数的一般形式为$y=\frac{a}{x}=ax^{-1}$（$a≠0$），因此需要同时满足两个条件：一是x的指数为-1，二是x的系数不等于0。解题时先根据指数要求列方程求出k的可能取值，再根据系数不为0的限制排除不符合要求的解，即可得到最终的k值。
【解析】
根据反比例函数的定义，需满足以下两个条件：
1. 自变量的指数为-1：
$k^2 - 10 = -1$
移项得$k^2 = 9$，解得$k=3$或$k=-3$。
2. 自变量的系数不为0：
$k - 3 ≠ 0$，即$k≠3$。
综上，排除$k=3$，可得$k=-3$。
【答案】
$\boldsymbol{-3}$
【知识点】
反比例函数的定义、一元二次方程的求解
【点评】
本题是反比例函数定义的基础应用题型，易错点是容易忽略系数不为0的限制条件，误将k=3作为答案，解题时需牢记反比例函数的两个成立条件，逐一验证避免错解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要明确反比例函数的定义要求：反比例函数的一般形式为$y=\frac{a}{x}=ax^{-1}$（$a≠0$），因此需要同时满足两个条件：一是x的指数为-1，二是x的系数不等于0。解题时先根据指数要求列方程求出k的可能取值，再根据系数不为0的限制排除不符合要求的解，即可得到最终的k值。
【解析】
根据反比例函数的定义，需满足以下两个条件：
1. 自变量的指数为-1：
$k^2 - 10 = -1$
移项得$k^2 = 9$，解得$k=3$或$k=-3$。
2. 自变量的系数不为0：
$k - 3 ≠ 0$，即$k≠3$。
综上，排除$k=3$，可得$k=-3$。
【答案】
$\boldsymbol{-3}$
【知识点】
反比例函数的定义、一元二次方程的求解
【点评】
本题是反比例函数定义的基础应用题型，易错点是容易忽略系数不为0的限制条件，误将k=3作为答案，解题时需牢记反比例函数的两个成立条件，逐一验证避免错解。
【难度系数】
0.7
4.如图，一面墙可利用的最大长度为100 m。现打算沿墙围一个面积为120 m²的矩形花圃。设花圃的长AB为x m，宽为y m，则y关于x的函数表达式是，自变量x的取值范围是。
答案
$ y=\frac{120}{x} $；$ 0 ＜ x ≤ 100 $
解析
【分析】
解题时先利用矩形面积公式建立x和y的等量关系，变形即可得到y关于x的函数表达式；再结合实际意义分析自变量x的限制：一是线段长度为正数，二是沿墙的边AB长度不能超过墙的最大可用长度100m，综合两个限制就能得到x的取值范围。
【解析】
1. 求y关于x的函数表达式：
已知矩形花圃面积为$120\ \mathrm{m}^2$，长AB为$x\ \mathrm{m}$，宽为$y\ \mathrm{m}$，根据矩形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可得：
$x· y=120$
将式子变形后得到$y=\frac{120}{x}$。
2. 求自变量x的取值范围：
首先x是线段长度，因此$x＞0$；
其次AB边沿墙修建，墙的最大可利用长度为100m，因此AB的长度不能超过100m，即$x≤100$。
综上，自变量x的取值范围为$0＜x≤100$。
【答案】
$ y=\frac{120}{x} $；$ 0 ＜ x ≤ 100 $
【知识点】
矩形面积计算；反比例函数解析式；自变量取值范围
【点评】
本题是结合实际场景的基础函数应用题，重点考查反比例函数解析式的求解和实际问题中自变量范围的确定，解题时要注意结合实际限制条件分析自变量取值，不要仅考虑代数式有意义而忽略实际约束。
【难度系数】
0.85
解题时先利用矩形面积公式建立x和y的等量关系，变形即可得到y关于x的函数表达式；再结合实际意义分析自变量x的限制：一是线段长度为正数，二是沿墙的边AB长度不能超过墙的最大可用长度100m，综合两个限制就能得到x的取值范围。
【解析】
1. 求y关于x的函数表达式：
已知矩形花圃面积为$120\ \mathrm{m}^2$，长AB为$x\ \mathrm{m}$，宽为$y\ \mathrm{m}$，根据矩形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可得：
$x· y=120$
将式子变形后得到$y=\frac{120}{x}$。
2. 求自变量x的取值范围：
首先x是线段长度，因此$x＞0$；
其次AB边沿墙修建，墙的最大可利用长度为100m，因此AB的长度不能超过100m，即$x≤100$。
综上，自变量x的取值范围为$0＜x≤100$。
【答案】
$ y=\frac{120}{x} $；$ 0 ＜ x ≤ 100 $
【知识点】
矩形面积计算；反比例函数解析式；自变量取值范围
【点评】
本题是结合实际场景的基础函数应用题，重点考查反比例函数解析式的求解和实际问题中自变量范围的确定，解题时要注意结合实际限制条件分析自变量取值，不要仅考虑代数式有意义而忽略实际约束。
【难度系数】
0.85
5.已知矩形的两条邻边的长分别为x，y，且面积保持不变。下表给出了x与y的一些值。请解答下列问题。
(1)请你根据表格信息，写出y与x之间的函数关系式(不要求写出x的取值范围)。
(2)根据函数关系式完成上表。
(1)请你根据表格信息，写出y与x之间的函数关系式(不要求写出x的取值范围)。
(2)根据函数关系式完成上表。
答案
解：
(1) 设矩形面积为定值$S$，由矩形面积公式得$xy=S$。
将$x=1$，$y=4$代入，得$S=1×4=4$，
因此$y$与$x$之间的函数关系式为$\boldsymbol{y=\frac{4}{x}}$。
(2) 代入函数关系式逐一计算空白值：
当$x=\frac{2}{3}$时，$y=\frac{4}{\frac{2}{3}}=6$；
当$x=\sqrt{2}$时，$y=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$；
当$y=2$时，代入$y=\frac{4}{x}$得$2=\frac{4}{x}$，解得$x=2$；
当$x=8$时，$y=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$。
表格空白处从左到右依次为：$6$，$2\sqrt{2}$，$2$，$\frac{1}{2}$。
(1) 设矩形面积为定值$S$，由矩形面积公式得$xy=S$。
将$x=1$，$y=4$代入，得$S=1×4=4$，
因此$y$与$x$之间的函数关系式为$\boldsymbol{y=\frac{4}{x}}$。
(2) 代入函数关系式逐一计算空白值：
当$x=\frac{2}{3}$时，$y=\frac{4}{\frac{2}{3}}=6$；
当$x=\sqrt{2}$时，$y=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$；
当$y=2$时，代入$y=\frac{4}{x}$得$2=\frac{4}{x}$，解得$x=2$；
当$x=8$时，$y=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$。
表格空白处从左到右依次为：$6$，$2\sqrt{2}$，$2$，$\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
本题结合矩形面积不变的背景考查反比例函数相关知识。解题思路：①矩形面积等于两条邻边的乘积，面积固定说明x与y的乘积为定值，因此y是x的反比例函数，可设关系式为$xy=k$（k为非零常数）；②利用表格中已知的$x=1、y=4$代入求出k的值，即可得到完整的函数关系式；③填写表格时，将已知的x值代入解析式可求出对应y值，将已知的y值代入解析式可求出对应x值，计算时注意遵循根式、分数的运算规则。
【解析】
(1) 设矩形面积为定值$k$，根据矩形面积公式可得$xy=k$。
将表格中$x=1$，$y=4$代入上式，得$k=1×4=4$，
因此y与x之间的函数关系式为$\boldsymbol{y=\frac{4}{x}}$。
(2) 分别代入函数关系式计算各个空白值：
①当$x=\frac{2}{3}$时，$y=\frac{4}{\frac{2}{3}}=4×\frac{3}{2}=6$；
②当$x=\sqrt{2}$时，$y=\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2}=2\sqrt{2}$；
③当$y=2$时，代入$y=\frac{4}{x}$得$2=\frac{4}{x}$，解得$x=\frac{4}{2}=2$；
④当$x=8$时，$y=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=\frac{4}{x}}$
(2) 表格空白处从左到右依次为$\boldsymbol{6}$、$\boldsymbol{2\sqrt{2}}$、$\boldsymbol{2}$、$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
反比例函数、待定系数法求解析式、函数值计算
【点评】
本题结合矩形面积的实际场景考查反比例函数的基础应用，解题核心是理解面积固定时邻边长的反比例关系，计算过程中注意根式化简、分数运算的准确性，是反比例函数的基础典型题。
【难度系数】
0.8
本题结合矩形面积不变的背景考查反比例函数相关知识。解题思路：①矩形面积等于两条邻边的乘积，面积固定说明x与y的乘积为定值，因此y是x的反比例函数，可设关系式为$xy=k$（k为非零常数）；②利用表格中已知的$x=1、y=4$代入求出k的值，即可得到完整的函数关系式；③填写表格时，将已知的x值代入解析式可求出对应y值，将已知的y值代入解析式可求出对应x值，计算时注意遵循根式、分数的运算规则。
【解析】
(1) 设矩形面积为定值$k$，根据矩形面积公式可得$xy=k$。
将表格中$x=1$，$y=4$代入上式，得$k=1×4=4$，
因此y与x之间的函数关系式为$\boldsymbol{y=\frac{4}{x}}$。
(2) 分别代入函数关系式计算各个空白值：
①当$x=\frac{2}{3}$时，$y=\frac{4}{\frac{2}{3}}=4×\frac{3}{2}=6$；
②当$x=\sqrt{2}$时，$y=\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2}=2\sqrt{2}$；
③当$y=2$时，代入$y=\frac{4}{x}$得$2=\frac{4}{x}$，解得$x=\frac{4}{2}=2$；
④当$x=8$时，$y=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=\frac{4}{x}}$
(2) 表格空白处从左到右依次为$\boldsymbol{6}$、$\boldsymbol{2\sqrt{2}}$、$\boldsymbol{2}$、$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
反比例函数、待定系数法求解析式、函数值计算
【点评】
本题结合矩形面积的实际场景考查反比例函数的基础应用，解题核心是理解面积固定时邻边长的反比例关系，计算过程中注意根式化简、分数运算的准确性，是反比例函数的基础典型题。
【难度系数】
0.8
6. 提升题▶已知$y=(m-2)x^{m^2 -5}$。
(1)当$m$为何值时，$y$是$x$的正比例函数？
(2)当$m$为何值时，$y$是$x$的反比例函数？当$y=8$时，求$x$的值。
(1)当$m$为何值时，$y$是$x$的正比例函数？
(2)当$m$为何值时，$y$是$x$的反比例函数？当$y=8$时，求$x$的值。
答案
解：
(1) 若y是x的正比例函数，需满足：
$\begin{cases}m^2 - 5 = 1 \\m - 2 ≠ 0\end{cases}$
由$m^2 -5 =1$得$m^2=6$，解得$m=\pm\sqrt{6}$，
$m=\pm\sqrt{6}$均满足$m-2≠0$，
因此当$m=\sqrt{6}$或$m=-\sqrt{6}$时，y是x的正比例函数。
(2) 若y是x的反比例函数，需满足：
$\begin{cases}m^2 -5 = -1 \\m - 2 ≠ 0\end{cases}$
由$m^2 -5 = -1$得$m^2=4$，解得$m=\pm2$，
结合$m-2≠0$即$m≠2$，可得$m=-2$。
此时函数解析式为$y=(-2-2)x^{-1}=-\frac{4}{x}$，
将$y=8$代入解析式得：$8=-\frac{4}{x}$，
解得$x=-\frac{1}{2}$。
答：(1) 当$m=\pm\sqrt{6}$时，y是x的正比例函数；(2) 当$m=-2$时，y是x的反比例函数，当$y=8$时，$x$的值为$-\frac{1}{2}$。
(1) 若y是x的正比例函数，需满足：
$\begin{cases}m^2 - 5 = 1 \\m - 2 ≠ 0\end{cases}$
由$m^2 -5 =1$得$m^2=6$，解得$m=\pm\sqrt{6}$，
$m=\pm\sqrt{6}$均满足$m-2≠0$，
因此当$m=\sqrt{6}$或$m=-\sqrt{6}$时，y是x的正比例函数。
(2) 若y是x的反比例函数，需满足：
$\begin{cases}m^2 -5 = -1 \\m - 2 ≠ 0\end{cases}$
由$m^2 -5 = -1$得$m^2=4$，解得$m=\pm2$，
结合$m-2≠0$即$m≠2$，可得$m=-2$。
此时函数解析式为$y=(-2-2)x^{-1}=-\frac{4}{x}$，
将$y=8$代入解析式得：$8=-\frac{4}{x}$，
解得$x=-\frac{1}{2}$。
答：(1) 当$m=\pm\sqrt{6}$时，y是x的正比例函数；(2) 当$m=-2$时，y是x的反比例函数，当$y=8$时，$x$的值为$-\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
要解决这道题，需结合正比例函数、反比例函数的定义分步分析：
(1) 正比例函数的形式为$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$），要求自变量$x$的次数为1，且$x$的系数不为0，据此列方程组求解$m$即可；
(2) 反比例函数的形式为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$，$x≠0$），要求自变量$x$的次数为-1，且$x$的系数不为0，先据此列方程组求出$m$的值得到函数解析式，再将$y=8$代入解析式即可求出对应的$x$值。
【解析】
(1) 若$y$是$x$的正比例函数，需同时满足：
$\begin{cases}m^2 - 5 = 1 \\m - 2 ≠ 0\end{cases}$
解$m^2 -5 =1$，得$m^2=6$，即$m=\pm\sqrt{6}$，
经检验，$m=\sqrt{6}$和$m=-\sqrt{6}$均满足$m-2≠0$，符合要求。
(2) 若$y$是$x$的反比例函数，需同时满足：
$\begin{cases}m^2 -5 = -1 \\m - 2 ≠ 0\end{cases}$
解$m^2 -5 = -1$，得$m^2=4$，即$m=\pm2$，
结合$m-2≠0$即$m≠2$，得$m=-2$。
将$m=-2$代入原函数，得解析式为$y=(-2-2)x^{-1}=-\frac{4}{x}$，
把$y=8$代入解析式，得$8=-\frac{4}{x}$，
解得$x=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) 当$m=\sqrt{6}$或$m=-\sqrt{6}$时，$y$是$x$的正比例函数；
(2) 当$m=-2$时，$y$是$x$的反比例函数，当$y=8$时，$x$的值为$-\frac{1}{2}$。
【知识点】
正比例函数的定义，反比例函数的定义，函数值的计算
【点评】
本题核心考查正比例、反比例函数的定义，解题的关键是明确两类函数对自变量的次数和系数的限制要求，尤其要注意系数不为0的隐含条件，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需结合正比例函数、反比例函数的定义分步分析：
(1) 正比例函数的形式为$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$），要求自变量$x$的次数为1，且$x$的系数不为0，据此列方程组求解$m$即可；
(2) 反比例函数的形式为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$，$x≠0$），要求自变量$x$的次数为-1，且$x$的系数不为0，先据此列方程组求出$m$的值得到函数解析式，再将$y=8$代入解析式即可求出对应的$x$值。
【解析】
(1) 若$y$是$x$的正比例函数，需同时满足：
$\begin{cases}m^2 - 5 = 1 \\m - 2 ≠ 0\end{cases}$
解$m^2 -5 =1$，得$m^2=6$，即$m=\pm\sqrt{6}$，
经检验，$m=\sqrt{6}$和$m=-\sqrt{6}$均满足$m-2≠0$，符合要求。
(2) 若$y$是$x$的反比例函数，需同时满足：
$\begin{cases}m^2 -5 = -1 \\m - 2 ≠ 0\end{cases}$
解$m^2 -5 = -1$，得$m^2=4$，即$m=\pm2$，
结合$m-2≠0$即$m≠2$，得$m=-2$。
将$m=-2$代入原函数，得解析式为$y=(-2-2)x^{-1}=-\frac{4}{x}$，
把$y=8$代入解析式，得$8=-\frac{4}{x}$，
解得$x=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) 当$m=\sqrt{6}$或$m=-\sqrt{6}$时，$y$是$x$的正比例函数；
(2) 当$m=-2$时，$y$是$x$的反比例函数，当$y=8$时，$x$的值为$-\frac{1}{2}$。
【知识点】
正比例函数的定义，反比例函数的定义，函数值的计算
【点评】
本题核心考查正比例、反比例函数的定义，解题的关键是明确两类函数对自变量的次数和系数的限制要求，尤其要注意系数不为0的隐含条件，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
7.某小型开关厂准备投入经费改造现有生产设备以提高经济效益。经测算，开关的年产量$ y $(单位:万只)与投入改造经费$ x $(单位:万元)之间满足：$ 3 - y $与$ x + 1 $成反比例，且当投入改造经费为1万元时，年产量是2万只。求年产量$ y $与投入改造经费$ x $之间的函数表达式。
答案
解：
∵ $3 - y$与$x + 1$成反比例，
∴ 设$3 - y = \frac{k}{x+1}$（$k$为常数，$k ≠ 0$）。
将$x=1$，$y=2$代入上式，得：
$3 - 2 = \frac{k}{1+1}$
解得$k=2$。
把$k=2$代入$3 - y = \frac{k}{x+1}$，得：
$3 - y = \frac{2}{x+1}$
整理得$y = 3 - \frac{2}{x+1}$。
即年产量$y$与投入改造经费$x$之间的函数表达式为$\boldsymbol{y = 3 - \frac{2}{x+1}}$（或等价形式$y=\frac{3x+1}{x+1}$，$x≥0$）。
∵ $3 - y$与$x + 1$成反比例，
∴ 设$3 - y = \frac{k}{x+1}$（$k$为常数，$k ≠ 0$）。
将$x=1$，$y=2$代入上式，得：
$3 - 2 = \frac{k}{1+1}$
解得$k=2$。
把$k=2$代入$3 - y = \frac{k}{x+1}$，得：
$3 - y = \frac{2}{x+1}$
整理得$y = 3 - \frac{2}{x+1}$。
即年产量$y$与投入改造经费$x$之间的函数表达式为$\boldsymbol{y = 3 - \frac{2}{x+1}}$（或等价形式$y=\frac{3x+1}{x+1}$，$x≥0$）。
解析
【分析】
解题时首先根据“3 - y与x + 1成反比例”的条件，结合反比例的定义设出含待定系数k的关系式；再将已知的x=1、y=2的对应值代入关系式，求出待定系数k的值；最后把k代回原式整理得到y关于x的函数表达式，同时注意x为改造经费，取值需符合实际意义。
【解析】
解：
∵ $3 - y$与$x + 1$成反比例，
∴ 设$3 - y = \frac{k}{x+1}$（$k$为常数，$k ≠ 0$）。
将$x=1$，$y=2$代入上式，得：
$3 - 2 = \frac{k}{1+1}$
解得$k=2$。
把$k=2$代入$3 - y = \frac{k}{x+1}$，得：
$3 - y = \frac{2}{x+1}$
整理得$y = 3 - \frac{2}{x+1}$，也可整理为$y=\frac{3x+1}{x+1}$。
结合实际意义，改造经费非负，故$x≥0$。
【答案】
$\boldsymbol{y = 3 - \frac{2}{x+1}}$（或等价形式$y=\frac{3x+1}{x+1}$，$x≥0$）
【知识点】
反比例的定义；待定系数法求解析式；自变量取值范围
【点评】
本题是基础函数应用题，核心考查对反比例关系的理解和待定系数法的运用，解题时需注意成反比例的是$3-y$和$x+1$两个整体，不要误设为y与x直接成反比例，同时实际问题中自变量的取值要符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.85
解题时首先根据“3 - y与x + 1成反比例”的条件，结合反比例的定义设出含待定系数k的关系式；再将已知的x=1、y=2的对应值代入关系式，求出待定系数k的值；最后把k代回原式整理得到y关于x的函数表达式，同时注意x为改造经费，取值需符合实际意义。
【解析】
解：
∵ $3 - y$与$x + 1$成反比例，
∴ 设$3 - y = \frac{k}{x+1}$（$k$为常数，$k ≠ 0$）。
将$x=1$，$y=2$代入上式，得：
$3 - 2 = \frac{k}{1+1}$
解得$k=2$。
把$k=2$代入$3 - y = \frac{k}{x+1}$，得：
$3 - y = \frac{2}{x+1}$
整理得$y = 3 - \frac{2}{x+1}$，也可整理为$y=\frac{3x+1}{x+1}$。
结合实际意义，改造经费非负，故$x≥0$。
【答案】
$\boldsymbol{y = 3 - \frac{2}{x+1}}$（或等价形式$y=\frac{3x+1}{x+1}$，$x≥0$）
【知识点】
反比例的定义；待定系数法求解析式；自变量取值范围
【点评】
本题是基础函数应用题，核心考查对反比例关系的理解和待定系数法的运用，解题时需注意成反比例的是$3-y$和$x+1$两个整体，不要误设为y与x直接成反比例，同时实际问题中自变量的取值要符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.85
