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1.若反比例函数$y=(2m+1)x^{|m|-2}$的图象位于第二、四象限，则$m=$。
答案
$\boldsymbol{-1}$
解析
【分析】
要解决这道题，需结合反比例函数的定义和图象性质两步分析：第一步，先根据反比例函数的形式特征，确定x的指数取值和系数的非零要求，求出m的初步可能值；第二步，再根据图象位于第二、四象限的性质，得到系数的符号要求，筛选出符合条件的m值即可。
【解析】
首先，根据反比例函数的定义，反比例函数的一般形式为$y=kx^{-1}$（$k≠0$），因此本题需满足两个基础条件：
1. x的指数为-1，即$|m|-2=-1$，
解方程得：$|m|=1$，因此$m=1$或$m=-1$；
2. 系数不为0，即$2m+1≠0$，代入$m=1$和$m=-1$验证，两个取值均满足该条件。
接下来，根据反比例函数图象位于第二、四象限的性质，可知系数$k=2m+1＜0$，
解不等式$2m+1＜0$得：$m＜-\frac{1}{2}$。
结合之前得到的m的可能值，只有$m=-1$满足$m＜-\frac{1}{2}$的要求。
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数参数求解的基础题型，解题时需注意不要遗漏反比例函数的两个限制条件：指数为-1、系数不为0，再结合图象所在象限对应的系数符号筛选结果即可。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需结合反比例函数的定义和图象性质两步分析：第一步，先根据反比例函数的形式特征，确定x的指数取值和系数的非零要求，求出m的初步可能值；第二步，再根据图象位于第二、四象限的性质，得到系数的符号要求，筛选出符合条件的m值即可。
【解析】
首先，根据反比例函数的定义，反比例函数的一般形式为$y=kx^{-1}$（$k≠0$），因此本题需满足两个基础条件：
1. x的指数为-1，即$|m|-2=-1$，
解方程得：$|m|=1$，因此$m=1$或$m=-1$；
2. 系数不为0，即$2m+1≠0$，代入$m=1$和$m=-1$验证，两个取值均满足该条件。
接下来，根据反比例函数图象位于第二、四象限的性质，可知系数$k=2m+1＜0$，
解不等式$2m+1＜0$得：$m＜-\frac{1}{2}$。
结合之前得到的m的可能值，只有$m=-1$满足$m＜-\frac{1}{2}$的要求。
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数参数求解的基础题型，解题时需注意不要遗漏反比例函数的两个限制条件：指数为-1、系数不为0，再结合图象所在象限对应的系数符号筛选结果即可。
【难度系数】
0.7
2.若关于x的一元二次方程$2x^2 -4x + m=0$没有实数根，则反比例函数$y=\frac{m-2}{x}$的图象位于第象限。
答案
一、三
解析
【分析】
解题需分两步思考：第一步，先利用一元二次方程无实数根的条件，结合根的判别式求出参数m的取值范围；第二步，根据m的取值范围判断反比例函数的比例系数的正负，再结合反比例函数的图象性质，即可确定图象所在的象限。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 -4x + m=0$，其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=m$。
因为方程没有实数根，所以根的判别式$\Delta = b^2-4ac ＜ 0$，代入系数得：
$\Delta = (-4)^2 - 4×2× m = 16 - 8m ＜ 0$
解不等式：
$16 ＜ 8m$，两边同时除以8得$m＞2$，因此$m-2＞0$。
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，当$k＞0$时，图象位于第一、三象限，本题中$k=m-2＞0$，所以该反比例函数的图象位于第一、三象限。
【答案】
一、三
【知识点】
一元二次方程根的判别式；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础综合题，结合了一元二次方程根的判定和反比例函数性质两个考点，解题核心是先通过判别式求出参数范围，再判断反比例函数比例系数的符号，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
解题需分两步思考：第一步，先利用一元二次方程无实数根的条件，结合根的判别式求出参数m的取值范围；第二步，根据m的取值范围判断反比例函数的比例系数的正负，再结合反比例函数的图象性质，即可确定图象所在的象限。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 -4x + m=0$，其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=m$。
因为方程没有实数根，所以根的判别式$\Delta = b^2-4ac ＜ 0$，代入系数得：
$\Delta = (-4)^2 - 4×2× m = 16 - 8m ＜ 0$
解不等式：
$16 ＜ 8m$，两边同时除以8得$m＞2$，因此$m-2＞0$。
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，当$k＞0$时，图象位于第一、三象限，本题中$k=m-2＞0$，所以该反比例函数的图象位于第一、三象限。
【答案】
一、三
【知识点】
一元二次方程根的判别式；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础综合题，结合了一元二次方程根的判定和反比例函数性质两个考点，解题核心是先通过判别式求出参数范围，再判断反比例函数比例系数的符号，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
3.从$-1,2,-3,4$这四个数中任取两个不同的数分别作为$a,b$的值，得到反比例函数$y=\frac{ab}{x}$，则这些反比例函数中，图象位于第二、四象限的概率是。
答案
$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$
解析
【分析】
解题首先要明确两个核心要点：①反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第二、四象限的条件是$k＜0$，本题中$k=ab$，即需要$ab＜0$（也就是$a$、$b$异号）；②概率计算需要先求出所有等可能的总结果数，再求出符合$ab＜0$的结果数，最后用“符合条件的结果数÷总结果数”计算概率。思考步骤为：先统计四个数中的正负数量，再分别计算总取法数、$a$和$b$异号的取法数，最后代入概率公式求解。
【解析】
步骤1：计算总等可能结果数
从4个数中任取2个不同的数分别作为$a$、$b$，$a$有4种选择，选完$a$后$b$有3种选择，总共有$4×3=12$种等可能的取法。
步骤2：判断符合条件的结果数
已知四个数中负数有$-1、-3$共2个，正数有$2、4$共2个，要满足$ab＜0$，需$a$、$b$异号：
$a$为正、$b$为负的情况：$2×2=4$种
$a$为负、$b$为正的情况：$2×2=4$种
符合条件的总结果数为$4+4=8$种。
步骤3：计算概率
$P(\mathrm{图象位于第二、四象限})=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；列举法求概率
【点评】
本题是反比例函数性质与概率计算的基础综合题，解题关键是先根据反比例函数图象位置确定$ab$的符号要求，再准确计数总情况和符合条件的情况，计数时注意不要漏算或重复。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确两个核心要点：①反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第二、四象限的条件是$k＜0$，本题中$k=ab$，即需要$ab＜0$（也就是$a$、$b$异号）；②概率计算需要先求出所有等可能的总结果数，再求出符合$ab＜0$的结果数，最后用“符合条件的结果数÷总结果数”计算概率。思考步骤为：先统计四个数中的正负数量，再分别计算总取法数、$a$和$b$异号的取法数，最后代入概率公式求解。
【解析】
步骤1：计算总等可能结果数
从4个数中任取2个不同的数分别作为$a$、$b$，$a$有4种选择，选完$a$后$b$有3种选择，总共有$4×3=12$种等可能的取法。
步骤2：判断符合条件的结果数
已知四个数中负数有$-1、-3$共2个，正数有$2、4$共2个，要满足$ab＜0$，需$a$、$b$异号：
$a$为正、$b$为负的情况：$2×2=4$种
$a$为负、$b$为正的情况：$2×2=4$种
符合条件的总结果数为$4+4=8$种。
步骤3：计算概率
$P(\mathrm{图象位于第二、四象限})=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；列举法求概率
【点评】
本题是反比例函数性质与概率计算的基础综合题，解题关键是先根据反比例函数图象位置确定$ab$的符号要求，再准确计数总情况和符合条件的情况，计数时注意不要漏算或重复。
【难度系数】
0.7
4.已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$(x_1,y_1)$和$(3,y_2)$。若$y_1+y_2=0$，则$x_1$的值是。
答案
解：
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$(x_1,y_1)$和$(3,y_2)$，
∴ $y_1=\frac{k}{x_1}$，$y_2=\frac{k}{3}$。
∵ $y_1+y_2=0$，
∴ $\frac{k}{x_1} + \frac{k}{3} = 0$。
又∵ $k≠0$，等式两边同时除以$k$，得：
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{3} = 0$，
解得$x_1=-3$。
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$(x_1,y_1)$和$(3,y_2)$，
∴ $y_1=\frac{k}{x_1}$，$y_2=\frac{k}{3}$。
∵ $y_1+y_2=0$，
∴ $\frac{k}{x_1} + \frac{k}{3} = 0$。
又∵ $k≠0$，等式两边同时除以$k$，得：
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{3} = 0$，
解得$x_1=-3$。
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数的基本性质：反比例函数图象上的任意一点的坐标都满足函数解析式。第一步先将已知的两个点代入反比例函数解析式，分别表示出$y_1$和$y_2$；第二步结合题目给出的$y_1+y_2=0$的条件，代入$y_1$、$y_2$的表达式得到关于$x_1$和$k$的方程；第三步由于已知$k≠0$，可将方程两边同时除以$k$消去参数$k$，得到只含$x_1$的分式方程，求解即可得到$x_1$的值，最后要验证解是否使分母不为0。
【解析】
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$(x_1,y_1)$和$(3,y_2)$，
∴ $y_1=\frac{k}{x_1}$，$y_2=\frac{k}{3}$。
∵ $y_1+y_2=0$，
∴ $\frac{k}{x_1} + \frac{k}{3} = 0$。
又
∵ $k≠0$，等式两边同时除以$k$，得：
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{3} = 0$，
移项得$\frac{1}{x_1}=-\frac{1}{3}$，
解得$x_1=-3$，经检验$x_1=-3$是原方程的解。
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 解分式方程
【点评】
本题属于基础题，核心是利用函数图象上的点满足函数解析式建立等量关系，通过消去参数k求解未知量，解题过程中要注意$k≠0$这个隐含条件的运用，避免漏用条件导致无法求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆反比例函数的基本性质：反比例函数图象上的任意一点的坐标都满足函数解析式。第一步先将已知的两个点代入反比例函数解析式，分别表示出$y_1$和$y_2$；第二步结合题目给出的$y_1+y_2=0$的条件，代入$y_1$、$y_2$的表达式得到关于$x_1$和$k$的方程；第三步由于已知$k≠0$，可将方程两边同时除以$k$消去参数$k$，得到只含$x_1$的分式方程，求解即可得到$x_1$的值，最后要验证解是否使分母不为0。
【解析】
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$(x_1,y_1)$和$(3,y_2)$，
∴ $y_1=\frac{k}{x_1}$，$y_2=\frac{k}{3}$。
∵ $y_1+y_2=0$，
∴ $\frac{k}{x_1} + \frac{k}{3} = 0$。
又
∵ $k≠0$，等式两边同时除以$k$，得：
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{3} = 0$，
移项得$\frac{1}{x_1}=-\frac{1}{3}$，
解得$x_1=-3$，经检验$x_1=-3$是原方程的解。
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 解分式方程
【点评】
本题属于基础题，核心是利用函数图象上的点满足函数解析式建立等量关系，通过消去参数k求解未知量，解题过程中要注意$k≠0$这个隐含条件的运用，避免漏用条件导致无法求解。
【难度系数】
0.8
5.反比例函数 $y_1=\frac{k_1}{x}, y_2=\frac{k_2}{x}, y_3=\frac{k_3}{x}$ 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则 $k_1,k_2,k_3$ 的大小关系为 （用“＜”连接）。
答案
$\boldsymbol{k_1 ＜ k_2 ＜ k_3}$
解析
【分析】
要比较三个反比例函数的系数k的大小，可分两步思考：第一步先根据反比例函数图像所在象限判断k的符号：反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，$k＞0$时图像在第一、三象限，$k＜0$时图像在第二、四象限，据此可先区分出正、负的k，确定最大的k；第二步比较同号的k的大小：对于同在第四象限的两个反比例函数，可取同一个正的x值，根据图像上对应y值的大小，结合$k=xy$的关系即可判断两个负k的大小，最终得到三者的大小关系。
【解析】
1. 判断k的符号：根据反比例函数的性质，当$k＞0$时，函数图像位于第一、三象限；当$k＜0$时，函数图像位于第二、四象限。
观察图像可得：$y_1$、$y_2$的图像在第四象限，因此$k_1＜0$，$k_2＜0$；$y_3$的图像在第三象限，因此$k_3＞0$，故$k_3$是三者中最大的。
2. 比较$k_1$和$k_2$的大小：在$x＞0$的范围内任取一值$x=a$（$a＞0$），分别代入两个函数得：$k_1=a· y_1$，$k_2=a· y_2$。
由图像可知，当$x=a$时，$y_2＞y_1$（$y_2$的图像在$y_1$上方，对应y值更大），且$a＞0$，因此$a· y_2＞a· y_1$，即$k_2＞k_1$。
3. 综上可得三者的大小关系为$k_1＜k_2＜k_3$。
【答案】
$k_1 ＜ k_2 ＜ k_3$
【知识点】
反比例函数的图象与性质，反比例函数系数k的意义
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，解题关键是熟练掌握反比例函数的图像位置与系数k的对应关系，比较同号k的大小时也可直接用“同一象限内，对于x＞0的区域，图像越靠近x轴，k值越大”的规律快速判断。
【难度系数】
0.8
要比较三个反比例函数的系数k的大小，可分两步思考：第一步先根据反比例函数图像所在象限判断k的符号：反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，$k＞0$时图像在第一、三象限，$k＜0$时图像在第二、四象限，据此可先区分出正、负的k，确定最大的k；第二步比较同号的k的大小：对于同在第四象限的两个反比例函数，可取同一个正的x值，根据图像上对应y值的大小，结合$k=xy$的关系即可判断两个负k的大小，最终得到三者的大小关系。
【解析】
1. 判断k的符号：根据反比例函数的性质，当$k＞0$时，函数图像位于第一、三象限；当$k＜0$时，函数图像位于第二、四象限。
观察图像可得：$y_1$、$y_2$的图像在第四象限，因此$k_1＜0$，$k_2＜0$；$y_3$的图像在第三象限，因此$k_3＞0$，故$k_3$是三者中最大的。
2. 比较$k_1$和$k_2$的大小：在$x＞0$的范围内任取一值$x=a$（$a＞0$），分别代入两个函数得：$k_1=a· y_1$，$k_2=a· y_2$。
由图像可知，当$x=a$时，$y_2＞y_1$（$y_2$的图像在$y_1$上方，对应y值更大），且$a＞0$，因此$a· y_2＞a· y_1$，即$k_2＞k_1$。
3. 综上可得三者的大小关系为$k_1＜k_2＜k_3$。
【答案】
$k_1 ＜ k_2 ＜ k_3$
【知识点】
反比例函数的图象与性质，反比例函数系数k的意义
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，解题关键是熟练掌握反比例函数的图像位置与系数k的对应关系，比较同号k的大小时也可直接用“同一象限内，对于x＞0的区域，图像越靠近x轴，k值越大”的规律快速判断。
【难度系数】
0.8
6.如图，已知正比例函数 $y=kx(k≠0)$ 与反比例函数 $y=-\frac{2}{x}$ 的图象相交于点 $A(-1,m)$ 和点 $B$，求点 $B$ 的坐标。
答案
解：
将点$A(-1,m)$代入反比例函数$y=-\frac{2}{x}$，
得$m=-\frac{2}{-1}=2$，
∴ 点A的坐标为$(-1,2)$。
将$A(-1,2)$代入正比例函数$y=kx$，
得$2 = -k$，解得$k=-2$，
∴ 正比例函数的解析式为$y=-2x$。
联立两个函数的解析式：
$\begin{cases}y=-2x\\y=-\frac{2}{x}\end{cases}$
消去y，得$-2x=-\frac{2}{x}$，
整理得$x^2=1$，
解得$x_1=-1$，$x_2=1$。
当$x=1$时，$y=-2×1=-2$，
∴ 点B的坐标为$(1,-2)$。
将点$A(-1,m)$代入反比例函数$y=-\frac{2}{x}$，
得$m=-\frac{2}{-1}=2$，
∴ 点A的坐标为$(-1,2)$。
将$A(-1,2)$代入正比例函数$y=kx$，
得$2 = -k$，解得$k=-2$，
∴ 正比例函数的解析式为$y=-2x$。
联立两个函数的解析式：
$\begin{cases}y=-2x\\y=-\frac{2}{x}\end{cases}$
消去y，得$-2x=-\frac{2}{x}$，
整理得$x^2=1$，
解得$x_1=-1$，$x_2=1$。
当$x=1$时，$y=-2×1=-2$，
∴ 点B的坐标为$(1,-2)$。
解析
【分析】
要求点B的坐标，可按以下思路逐步求解：首先，点A在反比例函数图象上，将点A的横坐标代入反比例函数解析式，可求出点A的纵坐标m，得到完整的点A坐标；其次，点A也在正比例函数图象上，将点A坐标代入正比例函数解析式，可求出系数k，得到正比例函数的完整解析式；最后联立两个函数的解析式解方程组，排除对应点A的解，剩下的解就是点B的坐标。也可利用正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的性质，直接由点A坐标推导点B坐标。
【解析】
将点$A(-1,m)$代入反比例函数$y=-\frac{2}{x}$，
得$m=-\frac{2}{-1}=2$，
∴ 点A的坐标为$(-1,2)$。
将$A(-1,2)$代入正比例函数$y=kx$，
得$2 = -k$，解得$k=-2$，
∴ 正比例函数的解析式为$y=-2x$。
联立两个函数的解析式：
$\begin{cases}y=-2x\\y=-\frac{2}{x}\end{cases}$
消去y，得$-2x=-\frac{2}{x}$，
整理得$x^2=1$，
解得$x_1=-1$，$x_2=1$。
当$x=1$时，$y=-2×1=-2$，
∴ 点B的坐标为$(1,-2)$。
【答案】
$(1,-2)$
【知识点】
1. 反比例函数的坐标特征
2. 正比例函数解析式确定
3. 函数交点求解
【点评】
本题是正比例函数与反比例函数结合的基础题型，核心考查函数图象上的点与函数解析式的对应关系，联立方程求交点是通用解法，也可利用两类函数交点关于原点对称的性质快速解题，属于常考的基础考点。
【难度系数】
0.8
要求点B的坐标，可按以下思路逐步求解：首先，点A在反比例函数图象上，将点A的横坐标代入反比例函数解析式，可求出点A的纵坐标m，得到完整的点A坐标；其次，点A也在正比例函数图象上，将点A坐标代入正比例函数解析式，可求出系数k，得到正比例函数的完整解析式；最后联立两个函数的解析式解方程组，排除对应点A的解，剩下的解就是点B的坐标。也可利用正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的性质，直接由点A坐标推导点B坐标。
【解析】
将点$A(-1,m)$代入反比例函数$y=-\frac{2}{x}$，
得$m=-\frac{2}{-1}=2$，
∴ 点A的坐标为$(-1,2)$。
将$A(-1,2)$代入正比例函数$y=kx$，
得$2 = -k$，解得$k=-2$，
∴ 正比例函数的解析式为$y=-2x$。
联立两个函数的解析式：
$\begin{cases}y=-2x\\y=-\frac{2}{x}\end{cases}$
消去y，得$-2x=-\frac{2}{x}$，
整理得$x^2=1$，
解得$x_1=-1$，$x_2=1$。
当$x=1$时，$y=-2×1=-2$，
∴ 点B的坐标为$(1,-2)$。
【答案】
$(1,-2)$
【知识点】
1. 反比例函数的坐标特征
2. 正比例函数解析式确定
3. 函数交点求解
【点评】
本题是正比例函数与反比例函数结合的基础题型，核心考查函数图象上的点与函数解析式的对应关系，联立方程求交点是通用解法，也可利用两类函数交点关于原点对称的性质快速解题，属于常考的基础考点。
【难度系数】
0.8
7.(1)在所给平面直角坐标系中,画出反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象。
(2)该函数的图象是轴对称图形吗？有几条对称轴？
(3)该函数的图象是中心对称图形吗？若是,请指出它的对称中心,并写出两对对称点的坐标。
(2)该函数的图象是轴对称图形吗？有几条对称轴？
(3)该函数的图象是中心对称图形吗？若是,请指出它的对称中心,并写出两对对称点的坐标。
答案
解：
(1) ① 列表：
| $x$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $4$ |
|-----|------|------|------|-----|-----|-----|
| $y$ | $-1$ | $-2$ | $-4$ | $4$ | $2$ | $1$ |
② 描点：在所给坐标系中描出上述坐标对应的点；
③ 连线：分别在第一象限、第三象限内用平滑曲线顺次连接对应点，得到两支双曲线，即为反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象。
(2) 该函数的图象是轴对称图形，有2条对称轴。
(3) 该函数的图象是中心对称图形，它的对称中心是坐标原点$(0,0)$，两对对称点可写为$(1,4)$与$(-1,-4)$、$(2,2)$与$(-2,-2)$（答案不唯一，合理即可）。
(1) ① 列表：
| $x$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $4$ |
|-----|------|------|------|-----|-----|-----|
| $y$ | $-1$ | $-2$ | $-4$ | $4$ | $2$ | $1$ |
② 描点：在所给坐标系中描出上述坐标对应的点；
③ 连线：分别在第一象限、第三象限内用平滑曲线顺次连接对应点，得到两支双曲线，即为反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象。
(2) 该函数的图象是轴对称图形，有2条对称轴。
(3) 该函数的图象是中心对称图形，它的对称中心是坐标原点$(0,0)$，两对对称点可写为$(1,4)$与$(-1,-4)$、$(2,2)$与$(-2,-2)$（答案不唯一，合理即可）。
解析
【分析】
解决本题需结合反比例函数的相关性质逐步分析：① 画反比例函数图象遵循“列表、描点、连线”三步，注意反比例函数自变量x≠0，因此取x的正负非零值计算对应y值，分别在第一、第三象限描点连线，不可跨象限连接；② 判断轴对称图形需寻找能使图象沿直线对折后完全重合的直线，结合反比例函数图象特征可知对称轴为直线y=x和y=-x，共2条；③ 判断中心对称图形需寻找能使图象绕点旋转180°后与原图形重合的点，反比例函数图象绕原点旋转180°后与原图重合，因此对称中心是原点，关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，据此写出对称点即可。
【解析】
(1) 画$y=\frac{4}{x}$的图象步骤如下：
① 列表：选取x的非零正负值，计算对应y值如下：
| $x$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $4$ |
|-----|------|------|------|-----|-----|-----|
| $y$ | $-1$ | $-2$ | $-4$ | $4$ | $2$ | $1$ |
② 描点：在所给平面直角坐标系中，对应上述坐标描出各个点；
③ 连线：分别在第一象限、第三象限内，用平滑曲线顺次连接各点，得到两支双曲线，即为$y=\frac{4}{x}$的图象。
(2) 该函数图象沿直线$y=x$或$y=-x$对折后，直线两侧的部分能完全重合，因此它是轴对称图形，共有2条对称轴。
(3) 将该函数图象绕坐标原点$(0,0)$旋转$180°$后，能与原图象完全重合，因此它是中心对称图形，对称中心为坐标原点$(0,0)$；关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，例如两对对称点可以是$(1,4)$与$(-1,-4)$、$(2,2)$与$(-2,-2)$（答案不唯一，合理即可）。
【答案】
(1) 按列表、描点、连线步骤绘制$y=\frac{4}{x}$的图象，见解析；
(2) 是轴对称图形，有2条对称轴；
(3) 是中心对称图形，对称中心是坐标原点$(0,0)$，对称点示例：$(1,4)$与$(-1,-4)$、$(2,2)$与$(-2,-2)$（合理即可）。
【知识点】
反比例函数图象的画法；反比例函数的对称性
【点评】
本题属于反比例函数章节的基础常规题型，重点考查反比例函数的作图方法和对称性质，熟练掌握反比例函数的图象特征是解决此类题的核心。
【难度系数】
0.85
解决本题需结合反比例函数的相关性质逐步分析：① 画反比例函数图象遵循“列表、描点、连线”三步，注意反比例函数自变量x≠0，因此取x的正负非零值计算对应y值，分别在第一、第三象限描点连线，不可跨象限连接；② 判断轴对称图形需寻找能使图象沿直线对折后完全重合的直线，结合反比例函数图象特征可知对称轴为直线y=x和y=-x，共2条；③ 判断中心对称图形需寻找能使图象绕点旋转180°后与原图形重合的点，反比例函数图象绕原点旋转180°后与原图重合，因此对称中心是原点，关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，据此写出对称点即可。
【解析】
(1) 画$y=\frac{4}{x}$的图象步骤如下：
① 列表：选取x的非零正负值，计算对应y值如下：
| $x$ | $-4$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $4$ |
|-----|------|------|------|-----|-----|-----|
| $y$ | $-1$ | $-2$ | $-4$ | $4$ | $2$ | $1$ |
② 描点：在所给平面直角坐标系中，对应上述坐标描出各个点；
③ 连线：分别在第一象限、第三象限内，用平滑曲线顺次连接各点，得到两支双曲线，即为$y=\frac{4}{x}$的图象。
(2) 该函数图象沿直线$y=x$或$y=-x$对折后，直线两侧的部分能完全重合，因此它是轴对称图形，共有2条对称轴。
(3) 将该函数图象绕坐标原点$(0,0)$旋转$180°$后，能与原图象完全重合，因此它是中心对称图形，对称中心为坐标原点$(0,0)$；关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，例如两对对称点可以是$(1,4)$与$(-1,-4)$、$(2,2)$与$(-2,-2)$（答案不唯一，合理即可）。
【答案】
(1) 按列表、描点、连线步骤绘制$y=\frac{4}{x}$的图象，见解析；
(2) 是轴对称图形，有2条对称轴；
(3) 是中心对称图形，对称中心是坐标原点$(0,0)$，对称点示例：$(1,4)$与$(-1,-4)$、$(2,2)$与$(-2,-2)$（合理即可）。
【知识点】
反比例函数图象的画法；反比例函数的对称性
【点评】
本题属于反比例函数章节的基础常规题型，重点考查反比例函数的作图方法和对称性质，熟练掌握反比例函数的图象特征是解决此类题的核心。
【难度系数】
0.85
