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1.已知反比例函数 $y=\dfrac{-k^2 -1}{x}$ 的图象上的三个点$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$，其中 $x_1＜0＜x_2＜x_3$，则 $y_1,y_2,y_3$ 的大小关系是 （用“＜”连接）。
答案
$\boldsymbol{y_2 ＜ y_3 ＜ y_1}$
解析
【分析】
解题时首先需要确定反比例函数比例系数的正负，以此判断函数图象所在的象限和增减性；其次根据三个点横坐标的正负，判断各点所在的象限：第二象限的点纵坐标为正，第四象限的点纵坐标为负，先得出y₁为正数，y₂、y₃为负数；最后在第四象限内，结合函数的增减性比较y₂和y₃的大小，最终排序即可。
【解析】
第一步：判断反比例函数的比例系数符号
∵ 对任意实数k，都有$k^2≥0$，
∴ $-k^2 -1 = -(k^2+1) ＜ 0$，
∴ 反比例函数$y=\dfrac{-k^2 -1}{x}$的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大。
第二步：判断各点所在象限及对应y值的正负
∵ $x_1＜0$，
∴ 点$(x_1,y_1)$在第二象限，可得$y_1＞0$；
∵ $0＜x_2＜x_3$，
∴ 点$(x_2,y_2)$、$(x_3,y_3)$在第四象限，可得$y_2＜0$，$y_3＜0$。
第三步：比较同象限内y值的大小，最终排序
第四象限内y随x的增大而增大，且$x_2＜x_3$，
∴ $y_2 ＜ y_3 ＜ 0$，
结合$y_1＞0$，可得$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$。
【答案】
$\boldsymbol{y_2 ＜ y_3 ＜ y_1}$
【知识点】
反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数性质的应用，解题的关键是先明确函数图象所在象限，不同象限的点先通过正负判断函数值大小，同象限内再结合增减性比较，切忌不区分象限直接套用增减性比较大小。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要确定反比例函数比例系数的正负，以此判断函数图象所在的象限和增减性；其次根据三个点横坐标的正负，判断各点所在的象限：第二象限的点纵坐标为正，第四象限的点纵坐标为负，先得出y₁为正数，y₂、y₃为负数；最后在第四象限内，结合函数的增减性比较y₂和y₃的大小，最终排序即可。
【解析】
第一步：判断反比例函数的比例系数符号
∵ 对任意实数k，都有$k^2≥0$，
∴ $-k^2 -1 = -(k^2+1) ＜ 0$，
∴ 反比例函数$y=\dfrac{-k^2 -1}{x}$的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大。
第二步：判断各点所在象限及对应y值的正负
∵ $x_1＜0$，
∴ 点$(x_1,y_1)$在第二象限，可得$y_1＞0$；
∵ $0＜x_2＜x_3$，
∴ 点$(x_2,y_2)$、$(x_3,y_3)$在第四象限，可得$y_2＜0$，$y_3＜0$。
第三步：比较同象限内y值的大小，最终排序
第四象限内y随x的增大而增大，且$x_2＜x_3$，
∴ $y_2 ＜ y_3 ＜ 0$，
结合$y_1＞0$，可得$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$。
【答案】
$\boldsymbol{y_2 ＜ y_3 ＜ y_1}$
【知识点】
反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数性质的应用，解题的关键是先明确函数图象所在象限，不同象限的点先通过正负判断函数值大小，同象限内再结合增减性比较，切忌不区分象限直接套用增减性比较大小。
【难度系数】
0.7
2.已知反比例函数$y_1=\frac{3}{x}, y_2=-\frac{4}{x}$，当$1≤ x≤4$时，函数$y_1$的最大值是$a$，函数$y_2$的最大值是$b$，则$a+b$的值为。
答案
解：
对于反比例函数$y_1=\frac{3}{x}$，其中$k=3＞0$，
当$x＞0$时，$y_1$随$x$的增大而减小。
在$1≤ x≤4$范围内，当$x=1$时，$y_1$取得最大值，
即$a=\frac{3}{1}=3$。
对于反比例函数$y_2=-\frac{4}{x}$，其中$k=-4＜0$，
当$x＞0$时，$y_2$随$x$的增大而增大。
在$1≤ x≤4$范围内，当$x=4$时，$y_2$取得最大值，
即$b=-\frac{4}{4}=-1$。
因此$a+b=3+(-1)=2$。
对于反比例函数$y_1=\frac{3}{x}$，其中$k=3＞0$，
当$x＞0$时，$y_1$随$x$的增大而减小。
在$1≤ x≤4$范围内，当$x=1$时，$y_1$取得最大值，
即$a=\frac{3}{1}=3$。
对于反比例函数$y_2=-\frac{4}{x}$，其中$k=-4＜0$，
当$x＞0$时，$y_2$随$x$的增大而增大。
在$1≤ x≤4$范围内，当$x=4$时，$y_2$取得最大值，
即$b=-\frac{4}{4}=-1$。
因此$a+b=3+(-1)=2$。
解析
【分析】
解决本题的核心是利用反比例函数的增减性确定给定区间内的最大值。首先分别判断两个反比例函数中k值的正负，由此确定x＞0时函数的增减性，再结合1≤x≤4的取值范围，找到对应取最大值时的x值，分别算出a、b后相加即可得到结果。
【解析】
对于反比例函数$y_1=\frac{3}{x}$，其中$k=3＞0$，
当$x＞0$时，$y_1$随$x$的增大而减小。
在$1≤ x≤4$范围内，当$x=1$时，$y_1$取得最大值，
即$a=\frac{3}{1}=3$。
对于反比例函数$y_2=-\frac{4}{x}$，其中$k=-4＜0$，
当$x＞0$时，$y_2$随$x$的增大而增大。
在$1≤ x≤4$范围内，当$x=4$时，$y_2$取得最大值，
即$b=-\frac{4}{4}=-1$。
因此$a+b=3+(-1)=2$。
【答案】
2
【知识点】
反比例函数的性质；函数最值求解
【点评】
本题重点考查反比例函数增减性的应用，解题时需注意结合k的正负判断函数在给定区间的变化趋势，再代入端点值计算最值，解题思路清晰，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是利用反比例函数的增减性确定给定区间内的最大值。首先分别判断两个反比例函数中k值的正负，由此确定x＞0时函数的增减性，再结合1≤x≤4的取值范围，找到对应取最大值时的x值，分别算出a、b后相加即可得到结果。
【解析】
对于反比例函数$y_1=\frac{3}{x}$，其中$k=3＞0$，
当$x＞0$时，$y_1$随$x$的增大而减小。
在$1≤ x≤4$范围内，当$x=1$时，$y_1$取得最大值，
即$a=\frac{3}{1}=3$。
对于反比例函数$y_2=-\frac{4}{x}$，其中$k=-4＜0$，
当$x＞0$时，$y_2$随$x$的增大而增大。
在$1≤ x≤4$范围内，当$x=4$时，$y_2$取得最大值，
即$b=-\frac{4}{4}=-1$。
因此$a+b=3+(-1)=2$。
【答案】
2
【知识点】
反比例函数的性质；函数最值求解
【点评】
本题重点考查反比例函数增减性的应用，解题时需注意结合k的正负判断函数在给定区间的变化趋势，再代入端点值计算最值，解题思路清晰，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
3.如图，A(-1,3)是反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上一点，射线AO与另一支曲线相交于点B，AC⊥x轴，垂足为C。有以下结论：①$k=-3$；②点B的坐标为(1,-3)；③$S_{△ BOC}=\frac{3}{2}$；④y随x的增大而增大。其中正确的是（填序号）。
答案
解：
① 将$A(-1,3)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{-1}$，解得$k=-3$，故①正确；
② 反比例函数的图象关于原点中心对称，点B与点A关于原点对称，因此点B的坐标为$(1,-3)$，故②正确；
③ 由$AC⊥ x$轴，得点C坐标为$(-1,0)$，$OC=1$，点B到x轴的距离为$|-3|=3$，因此$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$，故③正确；
④ 对于反比例函数$y=-\frac{3}{x}$，$k=-3＜0$，仅在每个象限内，y随x的增大而增大，并非在全体定义域内y随x的增大而增大，故④错误。
综上，正确的是$\boldsymbol{①②③}$。
① 将$A(-1,3)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{-1}$，解得$k=-3$，故①正确；
② 反比例函数的图象关于原点中心对称，点B与点A关于原点对称，因此点B的坐标为$(1,-3)$，故②正确；
③ 由$AC⊥ x$轴，得点C坐标为$(-1,0)$，$OC=1$，点B到x轴的距离为$|-3|=3$，因此$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$，故③正确；
④ 对于反比例函数$y=-\frac{3}{x}$，$k=-3＜0$，仅在每个象限内，y随x的增大而增大，并非在全体定义域内y随x的增大而增大，故④错误。
综上，正确的是$\boldsymbol{①②③}$。
解析
【分析】
我们可按顺序逐个判断4个结论：第一步，将点A坐标代入反比例函数解析式，即可求出k值，判断结论①；第二步，根据反比例函数图象关于原点中心对称的特征，过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称，由此可推出点B的坐标，判断结论②；第三步，先确定点C的坐标，再结合点B的坐标，用三角形面积公式计算△BOC的面积，判断结论③；第四步，回忆反比例函数增减性的适用前提，即“在每个象限内”，据此判断结论④。
【解析】
① 把$A(-1,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{-1}$，解得$k=-3$，故①正确；
② 反比例函数图象关于原点中心对称，射线AO过原点，因此点B与点A关于原点对称，关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，所以点B坐标为$(1,-3)$，故②正确；
③ 由$AC⊥ x$轴，点A横坐标为-1，可得点C坐标为$(-1,0)$，即$OC=1$；点B纵坐标为-3，其到x轴的距离为$|-3|=3$，根据三角形面积公式得$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$，故③正确；
④ 该反比例函数$k=-3＜0$，增减性为：在每个象限内y随x的增大而增大，并非全体定义域内y随x增大而增大，故④错误。
综上，正确的是①②③。
【答案】
$\boldsymbol{①②③}$
【知识点】
反比例函数的性质；中心对称的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于反比例函数基础综合题，核心考查反比例函数的基础性质，易错点是判断增减性时忽略“在同一象限内”的前提，熟练掌握反比例函数的对称性、k的求解、增减性的适用范围即可快速解题。
【难度系数】
0.7
我们可按顺序逐个判断4个结论：第一步，将点A坐标代入反比例函数解析式，即可求出k值，判断结论①；第二步，根据反比例函数图象关于原点中心对称的特征，过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称，由此可推出点B的坐标，判断结论②；第三步，先确定点C的坐标，再结合点B的坐标，用三角形面积公式计算△BOC的面积，判断结论③；第四步，回忆反比例函数增减性的适用前提，即“在每个象限内”，据此判断结论④。
【解析】
① 把$A(-1,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{-1}$，解得$k=-3$，故①正确；
② 反比例函数图象关于原点中心对称，射线AO过原点，因此点B与点A关于原点对称，关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，所以点B坐标为$(1,-3)$，故②正确；
③ 由$AC⊥ x$轴，点A横坐标为-1，可得点C坐标为$(-1,0)$，即$OC=1$；点B纵坐标为-3，其到x轴的距离为$|-3|=3$，根据三角形面积公式得$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$，故③正确；
④ 该反比例函数$k=-3＜0$，增减性为：在每个象限内y随x的增大而增大，并非全体定义域内y随x增大而增大，故④错误。
综上，正确的是①②③。
【答案】
$\boldsymbol{①②③}$
【知识点】
反比例函数的性质；中心对称的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于反比例函数基础综合题，核心考查反比例函数的基础性质，易错点是判断增减性时忽略“在同一象限内”的前提，熟练掌握反比例函数的对称性、k的求解、增减性的适用范围即可快速解题。
【难度系数】
0.7
4.如图，P是反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}(k_1≠0)$的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，线段PM交反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}(k_2≠0)$的图象于点C，PC=2CM。若△COM的面积为1，则$k_1$的值为。
答案
$\boldsymbol{-6}$
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴的垂线，该点、垂足、原点构成的直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$。首先利用$△ COM$的面积求出$k_2$的绝对值，结合函数图象所在的第二象限确定$k_2$的符号；再根据$PC=2CM$得到点P和点C的纵坐标的比例关系，由于两点横坐标相同，可推出$k_1$与$k_2$的比例关系，最终计算出$k_1$的值。
【解析】
1. 求$k_2$的值：
点C在反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}$的图象上，$PM⊥ x$轴，根据反比例函数k的几何意义可得：
$S_{△ COM}=\frac{1}{2}|k_2|=1$，解得$|k_2|=2$。
由图象可知两个反比例函数都位于第二象限，$x＜0,y＞0$，因此$k_2=xy＜0$，故$k_2=-2$。
2. 推导$k_1$与$k_2$的关系：
已知$PC=2CM$，因此$PM=PC+CM=3CM$。
点P、C都在垂直于x轴的PM上，两点横坐标相同，设横坐标为$a(a＜0)$，则P点纵坐标$y_P=\frac{k_1}{a}$，C点纵坐标$y_C=\frac{k_2}{a}$。
纵坐标的长度比等于$PM:CM=3:1$，即$y_P=3y_C$，代入得：
$\frac{k_1}{a}=3×\frac{k_2}{a}$，$a≠0$，约去a后可得$k_1=3k_2$。
3. 计算$k_1$：
将$k_2=-2$代入$k_1=3k_2$，得$k_1=3×(-2)=-6$。
【答案】
$\boldsymbol{-6}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题重点考查反比例函数k的几何意义的应用，解题的关键是结合线段的比例关系得到两个反比例函数k值的比例，同时要注意根据函数图象所在的象限判断k的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴的垂线，该点、垂足、原点构成的直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$。首先利用$△ COM$的面积求出$k_2$的绝对值，结合函数图象所在的第二象限确定$k_2$的符号；再根据$PC=2CM$得到点P和点C的纵坐标的比例关系，由于两点横坐标相同，可推出$k_1$与$k_2$的比例关系，最终计算出$k_1$的值。
【解析】
1. 求$k_2$的值：
点C在反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}$的图象上，$PM⊥ x$轴，根据反比例函数k的几何意义可得：
$S_{△ COM}=\frac{1}{2}|k_2|=1$，解得$|k_2|=2$。
由图象可知两个反比例函数都位于第二象限，$x＜0,y＞0$，因此$k_2=xy＜0$，故$k_2=-2$。
2. 推导$k_1$与$k_2$的关系：
已知$PC=2CM$，因此$PM=PC+CM=3CM$。
点P、C都在垂直于x轴的PM上，两点横坐标相同，设横坐标为$a(a＜0)$，则P点纵坐标$y_P=\frac{k_1}{a}$，C点纵坐标$y_C=\frac{k_2}{a}$。
纵坐标的长度比等于$PM:CM=3:1$，即$y_P=3y_C$，代入得：
$\frac{k_1}{a}=3×\frac{k_2}{a}$，$a≠0$，约去a后可得$k_1=3k_2$。
3. 计算$k_1$：
将$k_2=-2$代入$k_1=3k_2$，得$k_1=3×(-2)=-6$。
【答案】
$\boldsymbol{-6}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题重点考查反比例函数k的几何意义的应用，解题的关键是结合线段的比例关系得到两个反比例函数k值的比例，同时要注意根据函数图象所在的象限判断k的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.6
5. 提升题 如图，A为反比例函数$y=-\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上一点，连接AO，过点O作OA的垂线，与反比例函数$y=\frac{9}{x}(x＞0)$的图象相交于点B。
(1)若$k=4$，求$\frac{OA}{OB}$的值。
(2)若$OB=2OA$，求$k$的值。
(1)若$k=4$，求$\frac{OA}{OB}$的值。
(2)若$OB=2OA$，求$k$的值。
答案
解：
(1) 过点A作$AC ⊥ x$轴于点C，过点B作$BD ⊥ x$轴于点D。
$\therefore ∠ ACO = ∠ ODB = 90°$，
$\therefore ∠ OAC + ∠ AOC = 90°$。
$\because OA ⊥ OB$，
$\therefore ∠ AOC + ∠ BOD = 90°$，
$\therefore ∠ OAC = ∠ BOD$，
$\therefore △ ACO ∽ △ ODB$。
当$k=4$时，点A在$y=-\frac{4}{x}(x＜0)$上，
$\therefore S_{△ ACO} = \frac{1}{2}|x_A y_A| = \frac{1}{2} × 4 = 2$。
点B在$y=\frac{9}{x}(x＞0)$上，
$\therefore S_{△ ODB} = \frac{1}{2}x_B y_B = \frac{1}{2} × 9 = \frac{9}{2}$。
由相似三角形面积比等于相似比的平方，得：
$\frac{S_{△ ACO}}{S_{△ ODB}} = (\frac{OA}{OB})^2$，
即$\frac{2}{\frac{9}{2}} = (\frac{OA}{OB})^2$，
$\therefore (\frac{OA}{OB})^2 = \frac{4}{9}$。
$\because OA, OB$均为正线段，
$\therefore \frac{OA}{OB} = \frac{2}{3}$。
(2) $\because OB = 2OA$，
$\therefore \frac{OA}{OB} = \frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{S_{△ ACO}}{S_{△ ODB}} = (\frac{OA}{OB})^2 = \frac{1}{4}$。
又$S_{△ ACO} = \frac{1}{2}|x_A y_A| = \frac{1}{2}k$，$S_{△ ODB} = \frac{9}{2}$，
代入得：$\frac{\frac{1}{2}k}{\frac{9}{2}} = \frac{1}{4}$，
解得$k = \frac{9}{4}$。
综上，(1) $\frac{OA}{OB}$的值为$\frac{2}{3}$；(2) $k$的值为$\frac{9}{4}$。
(1) 过点A作$AC ⊥ x$轴于点C，过点B作$BD ⊥ x$轴于点D。
$\therefore ∠ ACO = ∠ ODB = 90°$，
$\therefore ∠ OAC + ∠ AOC = 90°$。
$\because OA ⊥ OB$，
$\therefore ∠ AOC + ∠ BOD = 90°$，
$\therefore ∠ OAC = ∠ BOD$，
$\therefore △ ACO ∽ △ ODB$。
当$k=4$时，点A在$y=-\frac{4}{x}(x＜0)$上，
$\therefore S_{△ ACO} = \frac{1}{2}|x_A y_A| = \frac{1}{2} × 4 = 2$。
点B在$y=\frac{9}{x}(x＞0)$上，
$\therefore S_{△ ODB} = \frac{1}{2}x_B y_B = \frac{1}{2} × 9 = \frac{9}{2}$。
由相似三角形面积比等于相似比的平方，得：
$\frac{S_{△ ACO}}{S_{△ ODB}} = (\frac{OA}{OB})^2$，
即$\frac{2}{\frac{9}{2}} = (\frac{OA}{OB})^2$，
$\therefore (\frac{OA}{OB})^2 = \frac{4}{9}$。
$\because OA, OB$均为正线段，
$\therefore \frac{OA}{OB} = \frac{2}{3}$。
(2) $\because OB = 2OA$，
$\therefore \frac{OA}{OB} = \frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{S_{△ ACO}}{S_{△ ODB}} = (\frac{OA}{OB})^2 = \frac{1}{4}$。
又$S_{△ ACO} = \frac{1}{2}|x_A y_A| = \frac{1}{2}k$，$S_{△ ODB} = \frac{9}{2}$，
代入得：$\frac{\frac{1}{2}k}{\frac{9}{2}} = \frac{1}{4}$，
解得$k = \frac{9}{4}$。
综上，(1) $\frac{OA}{OB}$的值为$\frac{2}{3}$；(2) $k$的值为$\frac{9}{4}$。
解析
【分析】
遇到反比例函数图象上的点与原点连线垂直的问题，通常过两个点分别作x轴的垂线，构造两个直角三角形，利用同角的余角相等证明两个三角形相似；再结合反比例函数k的几何意义，得到两个直角三角形的面积，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，即可建立OA、OB的比值与反比例函数系数的关系。第一问已知k=4，代入计算两个三角形面积后即可求出$\frac{OA}{OB}$的值；第二问已知OB=2OA，即相似比为1:2，得到面积比后代入面积表达式即可求出k的值。
【解析】
(1) 过点A作$AC ⊥ x$轴于点C，过点B作$BD ⊥ x$轴于点D。
$\therefore ∠ ACO = ∠ ODB = 90°$，
$\therefore ∠ OAC + ∠ AOC = 90°$。
$\because OA ⊥ OB$，
$\therefore ∠ AOC + ∠ BOD = 90°$，
$\therefore ∠ OAC = ∠ BOD$，
$\therefore △ ACO ∽ △ ODB$。
当$k=4$时，点A在$y=-\frac{4}{x}(x＜0)$上，根据反比例函数k的几何意义，
$\therefore S_{△ ACO} = \frac{1}{2}|x_A y_A| = \frac{1}{2} × 4 = 2$。
点B在$y=\frac{9}{x}(x＞0)$上，同理可得
$\therefore S_{△ ODB} = \frac{1}{2}x_B y_B = \frac{1}{2} × 9 = \frac{9}{2}$。
由相似三角形面积比等于相似比的平方，得：
$\frac{S_{△ ACO}}{S_{△ ODB}} = (\frac{OA}{OB})^2$，
即$\frac{2}{\frac{9}{2}} = (\frac{OA}{OB})^2$，
$\therefore (\frac{OA}{OB})^2 = \frac{4}{9}$。
$\because OA, OB$均为正线段，
$\therefore \frac{OA}{OB} = \frac{2}{3}$。
(2) $\because OB = 2OA$，
$\therefore \frac{OA}{OB} = \frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{S_{△ ACO}}{S_{△ ODB}} = (\frac{OA}{OB})^2 = \frac{1}{4}$。
又$S_{△ ACO} = \frac{1}{2}|x_A y_A| = \frac{1}{2}k$，$S_{△ ODB} = \frac{9}{2}$，
代入得：$\frac{\frac{1}{2}k}{\frac{9}{2}} = \frac{1}{4}$，
解得$k = \frac{9}{4}$。
【答案】
(1) $\frac{OA}{OB}$的值为$\frac{2}{3}$；(2) $k$的值为$\frac{9}{4}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是反比例函数与相似三角形的综合题型，解题的关键是通过作坐标轴垂线构造相似三角形，结合反比例函数k的几何意义建立线段长度比与函数系数的关系，这种构造辅助线的方法是解决此类问题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
遇到反比例函数图象上的点与原点连线垂直的问题，通常过两个点分别作x轴的垂线，构造两个直角三角形，利用同角的余角相等证明两个三角形相似；再结合反比例函数k的几何意义，得到两个直角三角形的面积，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，即可建立OA、OB的比值与反比例函数系数的关系。第一问已知k=4，代入计算两个三角形面积后即可求出$\frac{OA}{OB}$的值；第二问已知OB=2OA，即相似比为1:2，得到面积比后代入面积表达式即可求出k的值。
【解析】
(1) 过点A作$AC ⊥ x$轴于点C，过点B作$BD ⊥ x$轴于点D。
$\therefore ∠ ACO = ∠ ODB = 90°$，
$\therefore ∠ OAC + ∠ AOC = 90°$。
$\because OA ⊥ OB$，
$\therefore ∠ AOC + ∠ BOD = 90°$，
$\therefore ∠ OAC = ∠ BOD$，
$\therefore △ ACO ∽ △ ODB$。
当$k=4$时，点A在$y=-\frac{4}{x}(x＜0)$上，根据反比例函数k的几何意义，
$\therefore S_{△ ACO} = \frac{1}{2}|x_A y_A| = \frac{1}{2} × 4 = 2$。
点B在$y=\frac{9}{x}(x＞0)$上，同理可得
$\therefore S_{△ ODB} = \frac{1}{2}x_B y_B = \frac{1}{2} × 9 = \frac{9}{2}$。
由相似三角形面积比等于相似比的平方，得：
$\frac{S_{△ ACO}}{S_{△ ODB}} = (\frac{OA}{OB})^2$，
即$\frac{2}{\frac{9}{2}} = (\frac{OA}{OB})^2$，
$\therefore (\frac{OA}{OB})^2 = \frac{4}{9}$。
$\because OA, OB$均为正线段，
$\therefore \frac{OA}{OB} = \frac{2}{3}$。
(2) $\because OB = 2OA$，
$\therefore \frac{OA}{OB} = \frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{S_{△ ACO}}{S_{△ ODB}} = (\frac{OA}{OB})^2 = \frac{1}{4}$。
又$S_{△ ACO} = \frac{1}{2}|x_A y_A| = \frac{1}{2}k$，$S_{△ ODB} = \frac{9}{2}$，
代入得：$\frac{\frac{1}{2}k}{\frac{9}{2}} = \frac{1}{4}$，
解得$k = \frac{9}{4}$。
【答案】
(1) $\frac{OA}{OB}$的值为$\frac{2}{3}$；(2) $k$的值为$\frac{9}{4}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是反比例函数与相似三角形的综合题型，解题的关键是通过作坐标轴垂线构造相似三角形，结合反比例函数k的几何意义建立线段长度比与函数系数的关系，这种构造辅助线的方法是解决此类问题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
