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1.若一元二次方程$x^2 - 2x -4=0$的两个实数根为$x_1,x_2$,则下列结论正确的是（）
A.$x_1+x_2=2$
B.$x_1+x_2=-4$
C.$x_1x_2=-2$
D.$x_1x_2=4$
A.$x_1+x_2=2$
B.$x_1+x_2=-4$
C.$x_1x_2=-2$
D.$x_1x_2=4$
答案
A
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用。解题时首先回忆韦达定理的内容：对于一般形式的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两个实数根为$x_1,x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。接下来先确定题干中方程对应的$a、b、c$的取值，再分别计算两根和、两根积，最后和选项比对即可得到正确答案，不需要解方程求根，能简化计算。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，由根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
题干中方程为$x^2-2x-4=0$，对应可得$a=1$，$b=-2$，$c=-4$。
代入公式计算：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-2)}{1}=2$
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-4}{1}=-4$
对比各选项：A选项结论正确，B、C、D选项均错误。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的直接应用，解题的易错点是代入系数时忽略符号，因此计算前要先准确识别二次项系数、一次项系数和常数项的正负，再代入公式计算即可。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用。解题时首先回忆韦达定理的内容：对于一般形式的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两个实数根为$x_1,x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。接下来先确定题干中方程对应的$a、b、c$的取值，再分别计算两根和、两根积，最后和选项比对即可得到正确答案，不需要解方程求根，能简化计算。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，由根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
题干中方程为$x^2-2x-4=0$，对应可得$a=1$，$b=-2$，$c=-4$。
代入公式计算：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-2)}{1}=2$
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-4}{1}=-4$
对比各选项：A选项结论正确，B、C、D选项均错误。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的直接应用，解题的易错点是代入系数时忽略符号，因此计算前要先准确识别二次项系数、一次项系数和常数项的正负，再代入公式计算即可。
【难度系数】
0.8
2.若$x=-1$是一元二次方程$x^2 -5x + c=0$的一个根，则这个方程的另一个根是()
A.$-4$
B.$2$
C.$3$
D.$6$
A.$-4$
B.$2$
C.$3$
D.$6$
答案
D
解析
【分析】
解题有两种常用思路：思路一：先根据方程根的定义，将已知根x=-1代入原方程求出常数c的值，再解得到的完整一元二次方程，即可求出另一个根；思路二：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接设另一个根为x₂，根据两根之和的公式列等式计算，该方法更简便。
【解析】
解法1（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_2$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
本题中方程为$x^2 -5x + c=0$，则$a=1$，$b=-5$，已知一个根$x_1=-1$，代入得：
$-1 + x_2 = -\frac{-5}{1}=5$
解得$x_2=5+1=6$。
解法2（代入求参法）：
将$x=-1$代入原方程$x^2 -5x + c=0$得：
$(-1)^2 -5×(-1)+c=0$
计算得$1+5+c=0$，解得$c=-6$。
则原方程为$x^2 -5x -6=0$，因式分解得$(x-6)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=6$。
综上，方程的另一个根为6。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程根的应用基础题，两种解题方法都属于该部分核心内容，熟练掌握根与系数的关系可简化计算步骤，提高解题速度。
【难度系数】
0.8
解题有两种常用思路：思路一：先根据方程根的定义，将已知根x=-1代入原方程求出常数c的值，再解得到的完整一元二次方程，即可求出另一个根；思路二：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接设另一个根为x₂，根据两根之和的公式列等式计算，该方法更简便。
【解析】
解法1（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_2$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
本题中方程为$x^2 -5x + c=0$，则$a=1$，$b=-5$，已知一个根$x_1=-1$，代入得：
$-1 + x_2 = -\frac{-5}{1}=5$
解得$x_2=5+1=6$。
解法2（代入求参法）：
将$x=-1$代入原方程$x^2 -5x + c=0$得：
$(-1)^2 -5×(-1)+c=0$
计算得$1+5+c=0$，解得$c=-6$。
则原方程为$x^2 -5x -6=0$，因式分解得$(x-6)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=6$。
综上，方程的另一个根为6。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程根的应用基础题，两种解题方法都属于该部分核心内容，熟练掌握根与系数的关系可简化计算步骤，提高解题速度。
【难度系数】
0.8
3.若关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + p = 0$的两个根为$x_1, x_2$，且$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 3$，则$p$的值为()
A.$-\frac{2}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$-6$
D.$6$
A.$-\frac{2}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$-6$
D.$6$
答案
A
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：首先，遇到与一元二次方程两根相关的代数式求值问题，优先考虑韦达定理；其次，将待求式$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分，转化为用两根之和、两根之积表示的形式；再根据韦达定理写出方程两根之和、两根之积关于参数$p$的表达式，代入已知等式即可求出$p$的取值；最后验证所求$p$是否满足方程有两个实数根、分母不为0的限制条件，排除增根。
【解析】
对于一元二次方程$x^2+2x+p=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=p$。
1. 根据韦达定理可得：
两根之和 $x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = -2$，
两根之积 $x_1x_2 = \frac{c}{a} = p$。
2. 化简待求式：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1x_2}$，
已知$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=3$，代入两根和与积的表达式得：
$\frac{-2}{p}=3$，
解得$p=-\frac{2}{3}$。
3. 验证合理性：
当$p=-\frac{2}{3}$时，$x_1x_2=-\frac{2}{3}≠0$，满足分母不为0的要求；
同时判别式$\Delta=b^2-4ac=2^2 - 4×1×(-\frac{2}{3})=4+\frac{8}{3}=\frac{20}{3}＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
韦达定理，分式化简，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的常规应用题，解题核心是将所求分式转化为两根和、两根积的形式，求出参数后要注意验证参数的取值是否符合隐含的限制条件，避免因忽略限制出现错误。
【难度系数】
0.7
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：首先，遇到与一元二次方程两根相关的代数式求值问题，优先考虑韦达定理；其次，将待求式$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分，转化为用两根之和、两根之积表示的形式；再根据韦达定理写出方程两根之和、两根之积关于参数$p$的表达式，代入已知等式即可求出$p$的取值；最后验证所求$p$是否满足方程有两个实数根、分母不为0的限制条件，排除增根。
【解析】
对于一元二次方程$x^2+2x+p=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=p$。
1. 根据韦达定理可得：
两根之和 $x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = -2$，
两根之积 $x_1x_2 = \frac{c}{a} = p$。
2. 化简待求式：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1x_2}$，
已知$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=3$，代入两根和与积的表达式得：
$\frac{-2}{p}=3$，
解得$p=-\frac{2}{3}$。
3. 验证合理性：
当$p=-\frac{2}{3}$时，$x_1x_2=-\frac{2}{3}≠0$，满足分母不为0的要求；
同时判别式$\Delta=b^2-4ac=2^2 - 4×1×(-\frac{2}{3})=4+\frac{8}{3}=\frac{20}{3}＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
韦达定理，分式化简，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的常规应用题，解题核心是将所求分式转化为两根和、两根积的形式，求出参数后要注意验证参数的取值是否符合隐含的限制条件，避免因忽略限制出现错误。
【难度系数】
0.7
4.若一元二次方程$x^2 -4x -3=0$的两个实数根分别是$a,b$,则一次函数$y=abx+a+b$的图象一定不经过第象限。
答案
三
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），计算出方程两根之和$a+b$与两根之积$ab$的值；第二步，将$a+b$和$ab$的值代入一次函数解析式，根据一次函数的斜率$k$和截距的正负，判断函数图象经过的象限，即可得出不经过的象限。
【解析】
已知一元二次方程$x^2 -4x -3=0$的两个实数根为$a,b$，根据根与系数的关系：
对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），两根之和$x_1+x_2=-\frac{B}{A}$，两根之积$x_1x_2=\frac{C}{A}$。
代入本题方程的系数$A=1,B=-4,C=-3$，可得：
$a+b=-\frac{-4}{1}=4$，$ab=\frac{-3}{1}=-3$。
将上述结果代入一次函数$y=abx+a+b$，得：
$y=-3x+4$。
对于一次函数$y=kx+b$：
斜率$k=-3＜0$，说明函数图象从左到右呈下降趋势，必然经过第二、四象限；
截距$b=4＞0$，说明函数图象与y轴交于正半轴，因此还会经过第一象限。
综上，该一次函数图象经过第一、二、四象限，一定不经过第三象限。
【答案】
三
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一次函数的图象与性质
【点评】
本题是基础综合题，将一元二次方程和一次函数的基础知识点结合考查，解题核心是正确运用韦达定理求出两根和与两根积，再结合一次函数$k$、$b$的符号判断图象位置，熟练掌握基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为两步：第一步，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），计算出方程两根之和$a+b$与两根之积$ab$的值；第二步，将$a+b$和$ab$的值代入一次函数解析式，根据一次函数的斜率$k$和截距的正负，判断函数图象经过的象限，即可得出不经过的象限。
【解析】
已知一元二次方程$x^2 -4x -3=0$的两个实数根为$a,b$，根据根与系数的关系：
对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），两根之和$x_1+x_2=-\frac{B}{A}$，两根之积$x_1x_2=\frac{C}{A}$。
代入本题方程的系数$A=1,B=-4,C=-3$，可得：
$a+b=-\frac{-4}{1}=4$，$ab=\frac{-3}{1}=-3$。
将上述结果代入一次函数$y=abx+a+b$，得：
$y=-3x+4$。
对于一次函数$y=kx+b$：
斜率$k=-3＜0$，说明函数图象从左到右呈下降趋势，必然经过第二、四象限；
截距$b=4＞0$，说明函数图象与y轴交于正半轴，因此还会经过第一象限。
综上，该一次函数图象经过第一、二、四象限，一定不经过第三象限。
【答案】
三
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一次函数的图象与性质
【点评】
本题是基础综合题，将一元二次方程和一次函数的基础知识点结合考查，解题核心是正确运用韦达定理求出两根和与两根积，再结合一次函数$k$、$b$的符号判断图象位置，熟练掌握基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5.若$α,β$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - x - 2026 = 0$的两个实数根，则$α^2 - 3α - 2β + 2$的值是。
答案
$\boldsymbol{2026}$
解析
【分析】
要计算该代数式的值，首先利用一元二次方程根的定义，将含$α^2$的项降次，把$α^2$用含$α$的一次式表示，再结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和$α+β$，最后将变形后的代数式整体代入求值即可，无需单独计算$α$、$β$的具体值。
【解析】
$\becauseα$是一元二次方程$x^2 - x - 2026 = 0$的实数根
$\therefore$将$α$代入方程得：$α^2 - α - 2026 = 0$，即$α^2 = α + 2026$
将$α^2 = α + 2026$代入待求式：
$\begin{aligned}α^2 - 3α - 2β + 2&=(α + 2026) - 3α - 2β + 2\\&=-2α - 2β + 2028\\&=-2(α + β) + 2028\end{aligned}$
又$\becauseα$、$β$是方程$x^2 - x - 2026 = 0$的两个实数根，根据根与系数的关系：
$α + β = -\frac{b}{a} = 1$（其中$a=1$，$b=-1$）
将$α + β = 1$代入上式得：
$-2×1 + 2028 = 2026$
【答案】
$\boldsymbol{2026}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系
3. 整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程相关的典型计算题，核心考查降次思想和整体代入思想，避免直接求解根的繁琐运算，熟练掌握根的定义和韦达定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要计算该代数式的值，首先利用一元二次方程根的定义，将含$α^2$的项降次，把$α^2$用含$α$的一次式表示，再结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和$α+β$，最后将变形后的代数式整体代入求值即可，无需单独计算$α$、$β$的具体值。
【解析】
$\becauseα$是一元二次方程$x^2 - x - 2026 = 0$的实数根
$\therefore$将$α$代入方程得：$α^2 - α - 2026 = 0$，即$α^2 = α + 2026$
将$α^2 = α + 2026$代入待求式：
$\begin{aligned}α^2 - 3α - 2β + 2&=(α + 2026) - 3α - 2β + 2\\&=-2α - 2β + 2028\\&=-2(α + β) + 2028\end{aligned}$
又$\becauseα$、$β$是方程$x^2 - x - 2026 = 0$的两个实数根，根据根与系数的关系：
$α + β = -\frac{b}{a} = 1$（其中$a=1$，$b=-1$）
将$α + β = 1$代入上式得：
$-2×1 + 2028 = 2026$
【答案】
$\boldsymbol{2026}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系
3. 整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程相关的典型计算题，核心考查降次思想和整体代入思想，避免直接求解根的繁琐运算，熟练掌握根的定义和韦达定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
6.若直角三角形的两条直角边的长恰好是方程$x^2 -5x +6=0$的两个根，则该直角三角形的面积为。
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
要解这道题，首先明确直角三角形的面积公式为两条直角边乘积的一半，题目已知两条直角边是给定一元二次方程的两个根，有两种解题思路：一是先解一元二次方程得到两个根的具体值，再代入面积公式计算；二是利用一元二次方程根与系数的关系，直接求出两根的乘积再代入面积公式，第二种方法更简便，无需计算每个根的具体数值。
【解析】
方法一：解方程求根计算
对一元二次方程$x^2 -5x +6=0$因式分解，可得：
$(x-2)(x-3)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=3$，即直角三角形的两条直角边长分别为2和3。
根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$（$a、b$为直角边），代入得：
$S=\frac{1}{2}×2×3=3$
方法二：利用根与系数的关系计算
设方程$x^2 -5x +6=0$的两个根为$x_1、x_2$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入参数得：
$x_1x_2=\frac{6}{1}=6$
因为$x_1、x_2$是直角三角形的两条直角边，所以面积为：
$S=\frac{1}{2}x_1x_2=\frac{1}{2}×6=3$
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
一元二次方程求解，直角三角形面积计算，根与系数的关系
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程相关知识和直角三角形面积计算结合，解题时可灵活选择方法，无需额外计算斜边长度，避免做无用运算。
【难度系数】
0.9
要解这道题，首先明确直角三角形的面积公式为两条直角边乘积的一半，题目已知两条直角边是给定一元二次方程的两个根，有两种解题思路：一是先解一元二次方程得到两个根的具体值，再代入面积公式计算；二是利用一元二次方程根与系数的关系，直接求出两根的乘积再代入面积公式，第二种方法更简便，无需计算每个根的具体数值。
【解析】
方法一：解方程求根计算
对一元二次方程$x^2 -5x +6=0$因式分解，可得：
$(x-2)(x-3)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=3$，即直角三角形的两条直角边长分别为2和3。
根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$（$a、b$为直角边），代入得：
$S=\frac{1}{2}×2×3=3$
方法二：利用根与系数的关系计算
设方程$x^2 -5x +6=0$的两个根为$x_1、x_2$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入参数得：
$x_1x_2=\frac{6}{1}=6$
因为$x_1、x_2$是直角三角形的两条直角边，所以面积为：
$S=\frac{1}{2}x_1x_2=\frac{1}{2}×6=3$
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
一元二次方程求解，直角三角形面积计算，根与系数的关系
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程相关知识和直角三角形面积计算结合，解题时可灵活选择方法，无需额外计算斜边长度，避免做无用运算。
【难度系数】
0.9
7.甲、乙两人同时解一个一元二次方程。甲在化简时写错了常数项，解得方程的两个根是6和1；乙在化简时写错了一次项系数，解得方程的两个根是－2和－5，则原方程二次项系数化为1后是。
答案
解：设原方程二次项系数化为1后为 $x^2 + px + q = 0$。
∵ 甲仅写错常数项，一次项系数正确，甲解得两根为6和1，
由一元二次方程根与系数的关系，得 $6+1 = -p$，
解得 $p = -7$。
∵ 乙仅写错一次项系数，常数项正确，乙解得两根为-2和-5，
由一元二次方程根与系数的关系，得 $(-2)×(-5) = q$，
解得 $q = 10$。
∴ 原方程二次项系数化为1后是 $x^2 -7x +10 = 0$。
∵ 甲仅写错常数项，一次项系数正确，甲解得两根为6和1，
由一元二次方程根与系数的关系，得 $6+1 = -p$，
解得 $p = -7$。
∵ 乙仅写错一次项系数，常数项正确，乙解得两根为-2和-5，
由一元二次方程根与系数的关系，得 $(-2)×(-5) = q$，
解得 $q = 10$。
∴ 原方程二次项系数化为1后是 $x^2 -7x +10 = 0$。
解析
【分析】
首先设二次项系数化为1后的一元二次方程为$x^2+px+q=0$，其中$p$为一次项系数，$q$为常数项。甲仅写错常数项，说明他计算时所用的一次项系数$p$是正确的，因此甲解得的两根之和符合韦达定理的和的规则，可用来求$p$；乙仅写错一次项系数，说明他计算时所用的常数项$q$是正确的，因此乙解得的两根之积符合韦达定理的积的规则，可用来求$q$，最后将$p$、$q$代入所设方程即可得到结果。
【解析】
设原方程二次项系数化为1后为 $x^2 + px + q = 0$。
∵ 甲仅写错常数项，一次项系数正确，甲解得两根为6和1，
由一元二次方程根与系数的关系，得 $6+1 = -p$，
解得 $p = -7$。
∵ 乙仅写错一次项系数，常数项正确，乙解得两根为-2和-5，
由一元二次方程根与系数的关系，得 $(-2)×(-5) = q$，
解得 $q = 10$。
∴ 原方程二次项系数化为1后是 $x^2 -7x +10 = 0$。
【答案】
$x^2 -7x +10 = 0$
【知识点】
韦达定理，一元二次方程的结构
【点评】
本题考查韦达定理的灵活运用，解题核心是准确判断甲乙两人计算时对应的正确系数，再结合韦达定理的公式求解，需注意两根和与一次项系数的符号关系，避免符号失误。
【难度系数】
0.7
首先设二次项系数化为1后的一元二次方程为$x^2+px+q=0$，其中$p$为一次项系数，$q$为常数项。甲仅写错常数项，说明他计算时所用的一次项系数$p$是正确的，因此甲解得的两根之和符合韦达定理的和的规则，可用来求$p$；乙仅写错一次项系数，说明他计算时所用的常数项$q$是正确的，因此乙解得的两根之积符合韦达定理的积的规则，可用来求$q$，最后将$p$、$q$代入所设方程即可得到结果。
【解析】
设原方程二次项系数化为1后为 $x^2 + px + q = 0$。
∵ 甲仅写错常数项，一次项系数正确，甲解得两根为6和1，
由一元二次方程根与系数的关系，得 $6+1 = -p$，
解得 $p = -7$。
∵ 乙仅写错一次项系数，常数项正确，乙解得两根为-2和-5，
由一元二次方程根与系数的关系，得 $(-2)×(-5) = q$，
解得 $q = 10$。
∴ 原方程二次项系数化为1后是 $x^2 -7x +10 = 0$。
【答案】
$x^2 -7x +10 = 0$
【知识点】
韦达定理，一元二次方程的结构
【点评】
本题考查韦达定理的灵活运用，解题核心是准确判断甲乙两人计算时对应的正确系数，再结合韦达定理的公式求解，需注意两根和与一次项系数的符号关系，避免符号失误。
【难度系数】
0.7
8.若$a^2=3a+5$，$b^2=3b+5$，则$a^2+b^2$的值为。
答案
解：
由已知条件可得：
$a^2 - 3a - 5 = 0$，$b^2 - 3b - 5 = 0$。
两式作差得：$a^2 - b^2 = 3a - 3b$，
因式分解得：$(a - b)(a + b - 3) = 0$，
分两种情况讨论：
1. 当$a ≠ b$时，$a,b$是一元二次方程$x^2 - 3x - 5 = 0$的两个不等实根，
由韦达定理得：$a + b = 3$，$ab = -5$，
因此$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 3^2 - 2×(-5) = 19$。
2. 当$a = b$时，$a$是方程$x^2 - 3x - 5 = 0$的根，
解方程$x^2 - 3x - 5 = 0$，得$x = \frac{3\pm\sqrt{29}}{2}$，
代入$a^2 + b^2 = 2a^2 = 2(3a + 5) = 6a + 10$：
将$a = \frac{3+\sqrt{29}}{2}$代入，得$a^2 + b^2 = 19 + 3\sqrt{29}$；
将$a = \frac{3-\sqrt{29}}{2}$代入，得$a^2 + b^2 = 19 - 3\sqrt{29}$。
综上，$a^2 + b^2$的值为$\boldsymbol{19}$或$\boldsymbol{19+3\sqrt{29}}$或$\boldsymbol{19-3\sqrt{29}}$。
由已知条件可得：
$a^2 - 3a - 5 = 0$，$b^2 - 3b - 5 = 0$。
两式作差得：$a^2 - b^2 = 3a - 3b$，
因式分解得：$(a - b)(a + b - 3) = 0$，
分两种情况讨论：
1. 当$a ≠ b$时，$a,b$是一元二次方程$x^2 - 3x - 5 = 0$的两个不等实根，
由韦达定理得：$a + b = 3$，$ab = -5$，
因此$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 3^2 - 2×(-5) = 19$。
2. 当$a = b$时，$a$是方程$x^2 - 3x - 5 = 0$的根，
解方程$x^2 - 3x - 5 = 0$，得$x = \frac{3\pm\sqrt{29}}{2}$，
代入$a^2 + b^2 = 2a^2 = 2(3a + 5) = 6a + 10$：
将$a = \frac{3+\sqrt{29}}{2}$代入，得$a^2 + b^2 = 19 + 3\sqrt{29}$；
将$a = \frac{3-\sqrt{29}}{2}$代入，得$a^2 + b^2 = 19 - 3\sqrt{29}$。
综上，$a^2 + b^2$的值为$\boldsymbol{19}$或$\boldsymbol{19+3\sqrt{29}}$或$\boldsymbol{19-3\sqrt{29}}$。
解析
【分析】
首先观察已知条件，a、b满足的等式结构完全一致，可先将等式变形为$x^2-3x-5=0$的形式，此时需分两种情况思考：①若$a≠b$，则a、b是该一元二次方程的两个不相等实数根，可借助韦达定理求出$a+b$与$ab$的值，再利用完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$计算结果；②若$a=b$，则a、b是该方程的同一个根，需先求出方程的根，再代入计算$a^2+b^2$的值，避免漏解。
【解析】
由已知条件移项可得：$a^2 - 3a - 5 = 0$，$b^2 - 3b - 5 = 0$。
将两式作差得：$a^2 - b^2 = 3a - 3b$，
因式分解得：$(a - b)(a + b - 3) = 0$，分两种情况讨论：
1. 当$a ≠ b$时，$a、b$是一元二次方程$x^2 - 3x - 5 = 0$的两个不等实根，
由韦达定理可得：$a + b = 3$，$ab = -5$，
因此$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 3^2 - 2×(-5) = 19$。
2. 当$a = b$时，$a$是方程$x^2 - 3x - 5 = 0$的根，
用求根公式解方程$x^2 - 3x - 5 = 0$，得$x = \frac{3\pm\sqrt{29}}{2}$，
代入$a^2 + b^2 = 2a^2 = 2(3a + 5) = 6a + 10$：
将$a = \frac{3+\sqrt{29}}{2}$代入，得$a^2 + b^2 = 6×\frac{3+\sqrt{29}}{2} +10 = 19 + 3\sqrt{29}$；
将$a = \frac{3-\sqrt{29}}{2}$代入，得$a^2 + b^2 = 6×\frac{3-\sqrt{29}}{2} +10 = 19 - 3\sqrt{29}$。
【答案】
$\boldsymbol{19}$或$\boldsymbol{19+3\sqrt{29}}$或$\boldsymbol{19-3\sqrt{29}}$
【知识点】
韦达定理，完全平方公式，一元二次方程求根
【点评】
本题易错点是忽略$a=b$的情况，仅默认a、b为方程的两个不等根求解，解题时要注意应用分类讨论思想，保证考虑情况的全面性，同时也考察了对一元二次方程相关性质的灵活运用。
【难度系数】
0.4
首先观察已知条件，a、b满足的等式结构完全一致，可先将等式变形为$x^2-3x-5=0$的形式，此时需分两种情况思考：①若$a≠b$，则a、b是该一元二次方程的两个不相等实数根，可借助韦达定理求出$a+b$与$ab$的值，再利用完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$计算结果；②若$a=b$，则a、b是该方程的同一个根，需先求出方程的根，再代入计算$a^2+b^2$的值，避免漏解。
【解析】
由已知条件移项可得：$a^2 - 3a - 5 = 0$，$b^2 - 3b - 5 = 0$。
将两式作差得：$a^2 - b^2 = 3a - 3b$，
因式分解得：$(a - b)(a + b - 3) = 0$，分两种情况讨论：
1. 当$a ≠ b$时，$a、b$是一元二次方程$x^2 - 3x - 5 = 0$的两个不等实根，
由韦达定理可得：$a + b = 3$，$ab = -5$，
因此$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 3^2 - 2×(-5) = 19$。
2. 当$a = b$时，$a$是方程$x^2 - 3x - 5 = 0$的根，
用求根公式解方程$x^2 - 3x - 5 = 0$，得$x = \frac{3\pm\sqrt{29}}{2}$，
代入$a^2 + b^2 = 2a^2 = 2(3a + 5) = 6a + 10$：
将$a = \frac{3+\sqrt{29}}{2}$代入，得$a^2 + b^2 = 6×\frac{3+\sqrt{29}}{2} +10 = 19 + 3\sqrt{29}$；
将$a = \frac{3-\sqrt{29}}{2}$代入，得$a^2 + b^2 = 6×\frac{3-\sqrt{29}}{2} +10 = 19 - 3\sqrt{29}$。
【答案】
$\boldsymbol{19}$或$\boldsymbol{19+3\sqrt{29}}$或$\boldsymbol{19-3\sqrt{29}}$
【知识点】
韦达定理，完全平方公式，一元二次方程求根
【点评】
本题易错点是忽略$a=b$的情况，仅默认a、b为方程的两个不等根求解，解题时要注意应用分类讨论思想，保证考虑情况的全面性，同时也考察了对一元二次方程相关性质的灵活运用。
【难度系数】
0.4
9. 提升题 若一元二次方程$2x^2 - 4x - 1 = 0$的两个根为$m,n$，则$3m^2 - 4m + n^2$的值为。
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
【分析】
本题是一元二次方程根相关的代数式求值问题，解题思路如下：1. 先利用一元二次方程根的定义，将根m代入原方程，得到$2m^2-4m=1$，可对所求代数式中含m的高次项降次；2. 降次后剩余$m^2+n^2$，可利用完全平方公式变形为$(m+n)^2-2mn$，转化为用两根之和、两根之积表示的形式；3. 利用一元二次方程根与系数的关系求出两根和与两根积，整体代入计算即可得到结果，无需直接求解方程的根，能简化计算。
【解析】
解：
∵ m、n是一元二次方程$2x^2 - 4x - 1 = 0$的两个根
∴ 把x=m代入方程得：$2m^2 - 4m -1 = 0$，即$2m^2 - 4m = 1$ ①
根据根与系数的关系可得：
$m+n = -\frac{b}{a} = \frac{4}{2} = 2$，$mn = \frac{c}{a} = -\frac{1}{2}$
对所求代数式变形：
$3m^2 -4m +n^2 = (2m^2 -4m) + m^2 +n^2$
将①代入上式得：
原式$= 1 + m^2 +n^2$
再利用完全平方公式变形：$m^2 +n^2 = (m+n)^2 - 2mn$
代入$m+n=2$，$mn=-\frac{1}{2}$得：
$m^2 +n^2 = 2^2 - 2×(-\frac{1}{2}) = 4 + 1 = 5$
∴ 原式$=1 + 5 = 6$
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，完全平方公式变形
【点评】
本题属于一元二次方程的综合提升题，解题核心是灵活运用根的定义降次，结合韦达定理整体代入计算，避免了直接求根的繁琐运算，要熟练掌握代数式变形的常用技巧，能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.6
本题是一元二次方程根相关的代数式求值问题，解题思路如下：1. 先利用一元二次方程根的定义，将根m代入原方程，得到$2m^2-4m=1$，可对所求代数式中含m的高次项降次；2. 降次后剩余$m^2+n^2$，可利用完全平方公式变形为$(m+n)^2-2mn$，转化为用两根之和、两根之积表示的形式；3. 利用一元二次方程根与系数的关系求出两根和与两根积，整体代入计算即可得到结果，无需直接求解方程的根，能简化计算。
【解析】
解：
∵ m、n是一元二次方程$2x^2 - 4x - 1 = 0$的两个根
∴ 把x=m代入方程得：$2m^2 - 4m -1 = 0$，即$2m^2 - 4m = 1$ ①
根据根与系数的关系可得：
$m+n = -\frac{b}{a} = \frac{4}{2} = 2$，$mn = \frac{c}{a} = -\frac{1}{2}$
对所求代数式变形：
$3m^2 -4m +n^2 = (2m^2 -4m) + m^2 +n^2$
将①代入上式得：
原式$= 1 + m^2 +n^2$
再利用完全平方公式变形：$m^2 +n^2 = (m+n)^2 - 2mn$
代入$m+n=2$，$mn=-\frac{1}{2}$得：
$m^2 +n^2 = 2^2 - 2×(-\frac{1}{2}) = 4 + 1 = 5$
∴ 原式$=1 + 5 = 6$
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，完全平方公式变形
【点评】
本题属于一元二次方程的综合提升题，解题核心是灵活运用根的定义降次，结合韦达定理整体代入计算，避免了直接求根的繁琐运算，要熟练掌握代数式变形的常用技巧，能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.6
10.已知$α,β$是方程$x^2 - 3x -5=0$的两个根，不解方程，求下列代数式的值。
(1)$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}$；(2)$α^2+β^2$；(3)$α-β$。
(1)$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}$；(2)$α^2+β^2$；(3)$α-β$。
答案
解：
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$α + β = 3$，$αβ = -5$。
(1) $\frac{1}{α}+\frac{1}{β}=\frac{α+β}{αβ}$
将$α+β=3$，$αβ=-5$代入，得：
原式$=\frac{3}{-5}=-\frac{3}{5}$
(2) $α^2+β^2=(α+β)^2 - 2αβ$
将$α+β=3$，$αβ=-5$代入，得：
原式$=3^2 - 2×(-5)=9+10=19$
(3) 先计算$(α-β)^2$：
$(α-β)^2=(α+β)^2 -4αβ$
将$α+β=3$，$αβ=-5$代入，得：
$(α-β)^2=3^2 -4×(-5)=9+20=29$
因此$α-β=\pm\sqrt{29}$
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$α + β = 3$，$αβ = -5$。
(1) $\frac{1}{α}+\frac{1}{β}=\frac{α+β}{αβ}$
将$α+β=3$，$αβ=-5$代入，得：
原式$=\frac{3}{-5}=-\frac{3}{5}$
(2) $α^2+β^2=(α+β)^2 - 2αβ$
将$α+β=3$，$αβ=-5$代入，得：
原式$=3^2 - 2×(-5)=9+10=19$
(3) 先计算$(α-β)^2$：
$(α-β)^2=(α+β)^2 -4αβ$
将$α+β=3$，$αβ=-5$代入，得：
$(α-β)^2=3^2 -4×(-5)=9+20=29$
因此$α-β=\pm\sqrt{29}$
解析
【分析】
本题要求不解方程求关于方程两根的代数式的值，解题核心是利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和$α+β$与两根之积$αβ$，再将每个待求代数式通过恒等变形，转化为仅用$α+β$和$αβ$表示的形式，最后代入数值计算即可。其中第三问计算$α-β$时，要注意先求其平方，开方后需考虑正负两种情况。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 3x -5=0$，根据根与系数的关系，可得：
$α + β = 3$，$αβ = -5$。
(1) 先对代数式通分变形：
$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}=\frac{α+β}{αβ}$
将$α+β=3$，$αβ=-5$代入得：
原式$=\frac{3}{-5}=-\frac{3}{5}$
(2) 利用完全平方公式变形：
$α^2+β^2=(α+β)^2 - 2αβ$
代入数值计算：
原式$=3^2 - 2×(-5)=9+10=19$
(3) 先求$(α-β)^2$，再开方：
由完全平方公式得$(α-β)^2=(α+β)^2 -4αβ$
代入数值计算：
$(α-β)^2=3^2 -4×(-5)=9+20=29$
因此$α-β=\pm\sqrt{29}$
【答案】
(1)$-\frac{3}{5}$；(2)$19$；(3)$\pm\sqrt{29}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 完全平方公式
3. 代数式恒等变形
【点评】
本题是根与系数关系的常规应用题型，解题关键是掌握代数式变形技巧，将待求式转化为含两根和、两根积的形式，避免直接解方程的复杂运算，求解$α-β$时需注意开平方后有正负两个结果，不要漏解。
【难度系数】
0.7
本题要求不解方程求关于方程两根的代数式的值，解题核心是利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和$α+β$与两根之积$αβ$，再将每个待求代数式通过恒等变形，转化为仅用$α+β$和$αβ$表示的形式，最后代入数值计算即可。其中第三问计算$α-β$时，要注意先求其平方，开方后需考虑正负两种情况。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 3x -5=0$，根据根与系数的关系，可得：
$α + β = 3$，$αβ = -5$。
(1) 先对代数式通分变形：
$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}=\frac{α+β}{αβ}$
将$α+β=3$，$αβ=-5$代入得：
原式$=\frac{3}{-5}=-\frac{3}{5}$
(2) 利用完全平方公式变形：
$α^2+β^2=(α+β)^2 - 2αβ$
代入数值计算：
原式$=3^2 - 2×(-5)=9+10=19$
(3) 先求$(α-β)^2$，再开方：
由完全平方公式得$(α-β)^2=(α+β)^2 -4αβ$
代入数值计算：
$(α-β)^2=3^2 -4×(-5)=9+20=29$
因此$α-β=\pm\sqrt{29}$
【答案】
(1)$-\frac{3}{5}$；(2)$19$；(3)$\pm\sqrt{29}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 完全平方公式
3. 代数式恒等变形
【点评】
本题是根与系数关系的常规应用题型，解题关键是掌握代数式变形技巧，将待求式转化为含两根和、两根积的形式，避免直接解方程的复杂运算，求解$α-β$时需注意开平方后有正负两个结果，不要漏解。
【难度系数】
0.7
11.已知关于x的一元二次方程$x^2 -4x -2k +8=0$有两个实数根$x_1,x_2$。
(1)求k的取值范围。
(2)若$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = -24$，求k的值。
(1)求k的取值范围。
(2)若$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = -24$，求k的值。
答案
解：
(1) ∵方程$x^2 -4x -2k +8=0$有两个实数根，
∴判别式$\Delta = (-4)^2 - 4×1×(-2k+8) ≥ 0$，
即$16 +8k -32 ≥ 0$，
化简得$8k -16 ≥ 0$，
解得$k ≥ 2$。
(2) 由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = 4$，$x_1x_2 = -2k +8$，
∵$x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1+x_2) = -24$，
代入得：$(-2k +8)×4 = -24$，
整理得：$-8k +32 = -24$，
解得$k=7$，
又∵$7≥2$，符合(1)中k的取值范围，
∴k的值为7。
(1) ∵方程$x^2 -4x -2k +8=0$有两个实数根，
∴判别式$\Delta = (-4)^2 - 4×1×(-2k+8) ≥ 0$，
即$16 +8k -32 ≥ 0$，
化简得$8k -16 ≥ 0$，
解得$k ≥ 2$。
(2) 由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = 4$，$x_1x_2 = -2k +8$，
∵$x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1+x_2) = -24$，
代入得：$(-2k +8)×4 = -24$，
整理得：$-8k +32 = -24$，
解得$k=7$，
又∵$7≥2$，符合(1)中k的取值范围，
∴k的值为7。
解析
【分析】
(1) 已知一元二次方程有两个实数根，根据根的判别式的性质，当Δ≥0时方程有两个实数根，因此先写出该方程对应的判别式，列出关于k的不等式，求解即可得到k的取值范围。
(2) 先对给出的两根代数式因式分解，将其变形为用两根和、两根积表示的形式，再利用根与系数的关系求出x₁+x₂和x₁x₂的表达式，代入已知等式求解k，最后验证所得k是否符合第一问的取值范围，舍去不符合的解即可。
【解析】
(1)
∵方程$x^2 -4x -2k +8=0$有两个实数根，
∴判别式$\Delta = (-4)^2 - 4×1×(-2k+8) ≥ 0$，
即$16 +8k -32 ≥ 0$，
化简得$8k -16 ≥ 0$，
解得$k ≥ 2$。
(2) 由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = 4$，$x_1x_2 = -2k +8$，
∵$x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1+x_2) = -24$，
代入得：$(-2k +8)×4 = -24$，
整理得：$-8k +32 = -24$，
解得$k=7$，
又
∵$7≥2$，符合(1)中k的取值范围，
∴k的值为7。
【答案】
(1)$k≥2$；(2)$k=7$
【知识点】
根的判别式；根与系数的关系；因式分解
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，解题时需注意两点：一是方程有两个实数根时判别式要取大于等于0，不要漏掉等号；二是第二问求出k的结果后，要结合第一问的取值范围验证，避免出现不符合题意的增根。
【难度系数】
0.7
(1) 已知一元二次方程有两个实数根，根据根的判别式的性质，当Δ≥0时方程有两个实数根，因此先写出该方程对应的判别式，列出关于k的不等式，求解即可得到k的取值范围。
(2) 先对给出的两根代数式因式分解，将其变形为用两根和、两根积表示的形式，再利用根与系数的关系求出x₁+x₂和x₁x₂的表达式，代入已知等式求解k，最后验证所得k是否符合第一问的取值范围，舍去不符合的解即可。
【解析】
(1)
∵方程$x^2 -4x -2k +8=0$有两个实数根，
∴判别式$\Delta = (-4)^2 - 4×1×(-2k+8) ≥ 0$，
即$16 +8k -32 ≥ 0$，
化简得$8k -16 ≥ 0$，
解得$k ≥ 2$。
(2) 由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = 4$，$x_1x_2 = -2k +8$，
∵$x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1+x_2) = -24$，
代入得：$(-2k +8)×4 = -24$，
整理得：$-8k +32 = -24$，
解得$k=7$，
又
∵$7≥2$，符合(1)中k的取值范围，
∴k的值为7。
【答案】
(1)$k≥2$；(2)$k=7$
【知识点】
根的判别式；根与系数的关系；因式分解
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，解题时需注意两点：一是方程有两个实数根时判别式要取大于等于0，不要漏掉等号；二是第二问求出k的结果后，要结合第一问的取值范围验证，避免出现不符合题意的增根。
【难度系数】
0.7
