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8.$∠α,∠β$都是钝角，甲、乙、丙、丁计算$\frac{1}{6}(∠α + ∠β)$的结果依次为$50°,26°,72°,90°$.若其中有正确的结果，那么正确的结果可能是
50°
.答案
8.50°
解析
【分析】
解题的关键是先明确钝角的取值范围，再通过不等式的运算求出$\frac{1}{6}(∠α + ∠β)$的取值范围，最后对比四个结果找出符合范围的正确答案。首先回忆钝角的定义：大于90°且小于180°的角是钝角，先分别写出∠α、∠β的取值范围，再求和得到∠α+∠β的范围，最后两边同时乘$\frac{1}{6}$得到目标式子的范围，筛选符合的结果即可。
【解析】
解：
∵ ∠α、∠β都是钝角
∴ $90° ＜ ∠α ＜ 180°$，$90° ＜ ∠β ＜ 180°$
将两个不等式相加，可得：
$90° + 90° ＜ ∠α + ∠β ＜ 180° + 180°$
即 $180° ＜ ∠α + ∠β ＜ 360°$
不等式两边同时乘$\frac{1}{6}$，不等号方向不变：
$180° × \frac{1}{6} ＜ \frac{1}{6}(∠α + ∠β) ＜ 360° × \frac{1}{6}$
计算得：$30° ＜ \frac{1}{6}(∠α + ∠β) ＜ 60°$
对比四个结果：$50°$、$26°$、$72°$、$90°$，只有$50°$在$30°$到$60°$的范围内，因此正确结果是$50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
钝角的定义；不等式的性质；角的运算
【点评】
本题属于基础题，解题核心是准确掌握钝角的取值范围，通过不等式运算锁定目标式子的取值区间，即可快速筛选出正确结果，注意不等式两边同时乘正数时不等号方向不变。
【难度系数】
0.7
解题的关键是先明确钝角的取值范围，再通过不等式的运算求出$\frac{1}{6}(∠α + ∠β)$的取值范围，最后对比四个结果找出符合范围的正确答案。首先回忆钝角的定义：大于90°且小于180°的角是钝角，先分别写出∠α、∠β的取值范围，再求和得到∠α+∠β的范围，最后两边同时乘$\frac{1}{6}$得到目标式子的范围，筛选符合的结果即可。
【解析】
解：
∵ ∠α、∠β都是钝角
∴ $90° ＜ ∠α ＜ 180°$，$90° ＜ ∠β ＜ 180°$
将两个不等式相加，可得：
$90° + 90° ＜ ∠α + ∠β ＜ 180° + 180°$
即 $180° ＜ ∠α + ∠β ＜ 360°$
不等式两边同时乘$\frac{1}{6}$，不等号方向不变：
$180° × \frac{1}{6} ＜ \frac{1}{6}(∠α + ∠β) ＜ 360° × \frac{1}{6}$
计算得：$30° ＜ \frac{1}{6}(∠α + ∠β) ＜ 60°$
对比四个结果：$50°$、$26°$、$72°$、$90°$，只有$50°$在$30°$到$60°$的范围内，因此正确结果是$50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
钝角的定义；不等式的性质；角的运算
【点评】
本题属于基础题，解题核心是准确掌握钝角的取值范围，通过不等式运算锁定目标式子的取值区间，即可快速筛选出正确结果，注意不等式两边同时乘正数时不等号方向不变。
【难度系数】
0.7
9.魏老师到菜市场去买菜，发现若把10 kg的菜放到秤上，指针盘上的指针转了$50°$(如图).第二天，魏老师就给同学们提了两个问题.
(1)如果把2 kg的菜放在秤上，指针会转多少度？
(2)如果指针转了$60°$，这些菜有多少千克？
(1)如果把2 kg的菜放在秤上，指针会转多少度？
(2)如果指针转了$60°$，这些菜有多少千克？
答案
9.(1)10° (2)12 kg
解析
【分析】
本题中秤上放置的菜的质量与指针转过的角度成正比例关系，质量越大，指针转过的角度越大，且二者的比值固定。解题时首先计算出每千克菜放在秤上对应的指针转动角度，再根据已知条件分别求解两个问题：第一问已知菜的质量，用质量乘单位质量对应的指针转角即可得到总转角；第二问已知指针总转角，用总转角除以单位质量对应的指针转角即可得到菜的质量。
【解析】
首先计算1千克菜放在秤上时指针转过的角度：
$50° ÷ 10 = 5°$，即每放1kg菜，指针转$5°$。
(1) 2kg的菜放在秤上时，指针转过的角度为：
$2 × 5° = 10°$
(2) 若指针转了$60°$，对应的菜的质量为：
$60° ÷ 5° = 12\ \mathrm{kg}$
【答案】
(1)$10°$；(2)$12\ \mathrm{kg}$
【知识点】
正比例关系应用，角度计算，比例运算
【点评】
本题结合生活中常见的秤的场景出题，将数学知识与实际生活结合，解题核心是找到菜的质量和指针转角的对应比例关系，属于基础应用题，理清数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题中秤上放置的菜的质量与指针转过的角度成正比例关系，质量越大，指针转过的角度越大，且二者的比值固定。解题时首先计算出每千克菜放在秤上对应的指针转动角度，再根据已知条件分别求解两个问题：第一问已知菜的质量，用质量乘单位质量对应的指针转角即可得到总转角；第二问已知指针总转角，用总转角除以单位质量对应的指针转角即可得到菜的质量。
【解析】
首先计算1千克菜放在秤上时指针转过的角度：
$50° ÷ 10 = 5°$，即每放1kg菜，指针转$5°$。
(1) 2kg的菜放在秤上时，指针转过的角度为：
$2 × 5° = 10°$
(2) 若指针转了$60°$，对应的菜的质量为：
$60° ÷ 5° = 12\ \mathrm{kg}$
【答案】
(1)$10°$；(2)$12\ \mathrm{kg}$
【知识点】
正比例关系应用，角度计算，比例运算
【点评】
本题结合生活中常见的秤的场景出题，将数学知识与实际生活结合，解题核心是找到菜的质量和指针转角的对应比例关系，属于基础应用题，理清数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
10.根据下列要求画图.
(1)画$∠ AOB=90°$.
(2)在(1)题图中,在$∠ AOB$的内部画射线$OC$,使$OC$平分$∠ AOB$.
(3)在(2)题图中,在$∠ AOB$的外部画射线$OD$,使$∠ DOB=30°$.
(4)在(3)题图中,$∠ COD$的度数是________.
(1)画$∠ AOB=90°$.
(2)在(1)题图中,在$∠ AOB$的内部画射线$OC$,使$OC$平分$∠ AOB$.
(3)在(2)题图中,在$∠ AOB$的外部画射线$OD$,使$∠ DOB=30°$.
(4)在(3)题图中,$∠ COD$的度数是________.
答案
10.(1)~(3)略 (4)75°
解析
【分析】
解题时先按题目要求逐步完成画图操作：①先用量角器或直角三角板画出90°的∠AOB；②根据角平分线的定义，在∠AOB内部画射线OC，使得OC将∠AOB分成两个相等的角；③明确∠AOB的外部区域，画射线OD使∠DOB=30°；计算∠COD时，先根据角平分线性质求出∠BOC的度数，再结合OD的位置，利用角度的和差关系计算即可。
【解析】
(1)~(3)画图操作：
①画射线OA，将量角器中心与点O重合，0刻度线与OA对齐，在90°刻度位置标记点B，连接OB即可得到∠AOB=90°；
②在∠AOB内部，对准量角器45°刻度位置标记点C，连接OC，OC即为∠AOB的角平分线，此时$∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB=45°$；
③在∠AOB外部（即OA、OB所夹90°角之外的区域），以OB为0刻度线，往远离OA的一侧量取30°标记点D，连接OD即可得到$∠ DOB=30°$。
(4)角度计算：
已知$∠ AOB=90°$，OC平分$∠ AOB$，根据角平分线的定义可得：
$∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×90°=45°$
又因为OD在$∠ AOB$外部，$∠ DOB=30°$，所以：
$∠ COD=∠ BOC+∠ DOB=45°+30°=75°$
【答案】
(1)~(3)略 (4)$75°$
【知识点】
角的画法；角平分线的定义；角度和差计算
【点评】
本题属于基础操作与计算结合的题型，重点考查对射线位置的判断和角度基本运算的掌握，画图时需注意区分角的内部和外部，避免因射线位置画错导致计算失误。
【难度系数】
0.8
解题时先按题目要求逐步完成画图操作：①先用量角器或直角三角板画出90°的∠AOB；②根据角平分线的定义，在∠AOB内部画射线OC，使得OC将∠AOB分成两个相等的角；③明确∠AOB的外部区域，画射线OD使∠DOB=30°；计算∠COD时，先根据角平分线性质求出∠BOC的度数，再结合OD的位置，利用角度的和差关系计算即可。
【解析】
(1)~(3)画图操作：
①画射线OA，将量角器中心与点O重合，0刻度线与OA对齐，在90°刻度位置标记点B，连接OB即可得到∠AOB=90°；
②在∠AOB内部，对准量角器45°刻度位置标记点C，连接OC，OC即为∠AOB的角平分线，此时$∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB=45°$；
③在∠AOB外部（即OA、OB所夹90°角之外的区域），以OB为0刻度线，往远离OA的一侧量取30°标记点D，连接OD即可得到$∠ DOB=30°$。
(4)角度计算：
已知$∠ AOB=90°$，OC平分$∠ AOB$，根据角平分线的定义可得：
$∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×90°=45°$
又因为OD在$∠ AOB$外部，$∠ DOB=30°$，所以：
$∠ COD=∠ BOC+∠ DOB=45°+30°=75°$
【答案】
(1)~(3)略 (4)$75°$
【知识点】
角的画法；角平分线的定义；角度和差计算
【点评】
本题属于基础操作与计算结合的题型，重点考查对射线位置的判断和角度基本运算的掌握，画图时需注意区分角的内部和外部，避免因射线位置画错导致计算失误。
【难度系数】
0.8
11.计数角的个数和计数线段的条数的方法极其类似,可先以某一射线为始边,按一定的顺序(顺时针或者逆时针方向)数出角的个数,然后依次以后面的射线为始边数出角的个数.(注意:方向要确定,做到不重不漏.)
(1)在图①中,从点O引出3条射线OA,OB,OC,则共有
(2)在图②中,从点O引出4条射线OA,OB,OC,OD,则共有
(3)在图③中,从点O引出n条射线$OA_1$,$OA_2$,$OA_3$,…,$OA_n$,则共有多少个角？
(1)在图①中,从点O引出3条射线OA,OB,OC,则共有
3
个角.(2)在图②中,从点O引出4条射线OA,OB,OC,OD,则共有
6
个角.(3)在图③中,从点O引出n条射线$OA_1$,$OA_2$,$OA_3$,…,$OA_n$,则共有多少个角？
答案
11.(1)3
(2)6
(3)在图③中,n条射线引出的角共有$1+2+3+\dots+n-1=\frac{n(n-1)}{2}$个.
(2)6
(3)在图③中,n条射线引出的角共有$1+2+3+\dots+n-1=\frac{n(n-1)}{2}$个.
解析
【分析】
计数角的个数可类比线段计数方法，按固定顺序以每条射线为始边依次计数，避免重复或遗漏。(1)3条射线时，先以最下方射线为始边数出对应角的数量，再依次以相邻上一条射线为始边计数，最后求和；(2)4条射线同理按顺序计数求和；(3)从n条射线的特殊计数情况归纳一般规律，累加得到总个数后化简求和公式即可。
【解析】
(1) 图①中从O引出3条射线：
以OA为始边的角有∠AOB、∠AOC，共2个；
以OB为始边的角有∠BOC，共1个；
总角数：$2+1=3$个。
(2) 图②中从O引出4条射线：
以OA为始边的角有∠AOB、∠AOC、∠AOD，共3个；
以OB为始边的角有∠BOC、∠BOD，共2个；
以OC为始边的角有∠COD，共1个；
总角数：$3+2+1=6$个。
(3) 图③中从O引出n条射线：
以$OA_1$为始边的角有$(n-1)$个，以$OA_2$为始边的角有$(n-2)$个，……，以$OA_{n-1}$为始边的角有1个；
总角数为：$1+2+3+\dots+(n-1)=\frac{(1+n-1)×(n-1)}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$个。
【答案】
(1)3；(2)6；(3)$\frac{n(n-1)}{2}$个
【知识点】
角的计数；规律探究
【点评】
本题考查图形的规律计数，解题核心是按固定顺序计数做到不重不漏，通过特殊到一般的归纳方法推导通用公式，是几何计数类问题的典型题型。
【难度系数】
0.7
计数角的个数可类比线段计数方法，按固定顺序以每条射线为始边依次计数，避免重复或遗漏。(1)3条射线时，先以最下方射线为始边数出对应角的数量，再依次以相邻上一条射线为始边计数，最后求和；(2)4条射线同理按顺序计数求和；(3)从n条射线的特殊计数情况归纳一般规律，累加得到总个数后化简求和公式即可。
【解析】
(1) 图①中从O引出3条射线：
以OA为始边的角有∠AOB、∠AOC，共2个；
以OB为始边的角有∠BOC，共1个；
总角数：$2+1=3$个。
(2) 图②中从O引出4条射线：
以OA为始边的角有∠AOB、∠AOC、∠AOD，共3个；
以OB为始边的角有∠BOC、∠BOD，共2个；
以OC为始边的角有∠COD，共1个；
总角数：$3+2+1=6$个。
(3) 图③中从O引出n条射线：
以$OA_1$为始边的角有$(n-1)$个，以$OA_2$为始边的角有$(n-2)$个，……，以$OA_{n-1}$为始边的角有1个；
总角数为：$1+2+3+\dots+(n-1)=\frac{(1+n-1)×(n-1)}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$个。
【答案】
(1)3；(2)6；(3)$\frac{n(n-1)}{2}$个
【知识点】
角的计数；规律探究
【点评】
本题考查图形的规律计数，解题核心是按固定顺序计数做到不重不漏，通过特殊到一般的归纳方法推导通用公式，是几何计数类问题的典型题型。
【难度系数】
0.7
