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11. 用因式分解法解下列方程：
(1) $(x+3)^2 = x+3$；
(2) $2(y-2)^2 = 2 - y$；
(3) $2(x-1)^2 = x^2 -1$；
(4) $(x+2)^2 -8(x+2)+16=0$；
(5) $3(x+3)^2 -2x -6=0$；
(6) $9(x+3)^2 -4(x-2)^2=0$。
(1) $(x+3)^2 = x+3$；
(2) $2(y-2)^2 = 2 - y$；
(3) $2(x-1)^2 = x^2 -1$；
(4) $(x+2)^2 -8(x+2)+16=0$；
(5) $3(x+3)^2 -2x -6=0$；
(6) $9(x+3)^2 -4(x-2)^2=0$。
答案
11.(1)$x_1=-3,x_2=-2$
(2)$y_1=2,y_2=\frac{3}{2}$
(3)$x_1=3,x_2=1$
(4)$x_1=x_2=2$
(5)$x_1=-3,x_2=-\frac{7}{3}$
(6)$x_1=-1,x_2=-13$
(2)$y_1=2,y_2=\frac{3}{2}$
(3)$x_1=3,x_2=1$
(4)$x_1=x_2=2$
(5)$x_1=-3,x_2=-\frac{7}{3}$
(6)$x_1=-1,x_2=-13$
解析
【分析】
用因式分解法解一元二次方程的核心思路是：先将方程变形为“左边是两个一次因式的乘积、右边为0”的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。解题时注意不要直接在方程两边同时除以含有未知数的公因式，否则会丢失根。具体操作时先移项使方程右边为0，再观察左边式子的特点，选择提公因式法或公式法（完全平方、平方差）对左边因式分解即可。
【解析】
(1) 移项，得$(x+3)^2 - (x+3) = 0$
提取公因式$(x+3)$，得$(x+3)(x+3 - 1) = 0$，即$(x+3)(x+2) = 0$
$\therefore x+3=0$或$x+2=0$
解得$x_1=-3, x_2=-2$
(2) 移项，得$2(y-2)^2 + (y - 2) = 0$
提取公因式$(y-2)$，得$(y-2)[2(y-2)+1] = 0$，即$(y-2)(2y - 3) = 0$
$\therefore y-2=0$或$2y-3=0$
解得$y_1=2, y_2=\frac{3}{2}$
(3) 原方程变形为$2(x-1)^2 - (x+1)(x-1) = 0$
提取公因式$(x-1)$，得$(x-1)[2(x-1)-(x+1)] = 0$，即$(x-1)(x - 3) = 0$
$\therefore x-1=0$或$x-3=0$
解得$x_1=1, x_2=3$
(4) 将$(x+2)$看作整体，左边用完全平方公式因式分解，得$[(x+2)-4]^2 = 0$，即$(x-2)^2 = 0$
解得$x_1=x_2=2$
(5) 原方程变形为$3(x+3)^2 - 2(x+3) = 0$
提取公因式$(x+3)$，得$(x+3)[3(x+3)-2] = 0$，即$(x+3)(3x + 7) = 0$
$\therefore x+3=0$或$3x+7=0$
解得$x_1=-3, x_2=-\frac{7}{3}$
(6) 左边用平方差公式因式分解，得$[3(x+3)+2(x-2)][3(x+3)-2(x-2)] = 0$
化简得$(5x+5)(x+13) = 0$
$\therefore 5x+5=0$或$x+13=0$
解得$x_1=-1, x_2=-13$
【答案】
11.(1)$x_1=-3,x_2=-2$
(2)$y_1=2,y_2=\frac{3}{2}$
(3)$x_1=3,x_2=1$
(4)$x_1=x_2=2$
(5)$x_1=-3,x_2=-\frac{7}{3}$
(6)$x_1=-1,x_2=-13$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解、公式法因式分解
【点评】
本题考查一元二次方程的因式分解解法，解题时需先将方程整理为右边为0的形式，再根据式子结构灵活选择提公因式或公式法分解因式，注意不要随意约去含未知数的公因式，避免漏解。
【难度系数】
0.7
用因式分解法解一元二次方程的核心思路是：先将方程变形为“左边是两个一次因式的乘积、右边为0”的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。解题时注意不要直接在方程两边同时除以含有未知数的公因式，否则会丢失根。具体操作时先移项使方程右边为0，再观察左边式子的特点，选择提公因式法或公式法（完全平方、平方差）对左边因式分解即可。
【解析】
(1) 移项，得$(x+3)^2 - (x+3) = 0$
提取公因式$(x+3)$，得$(x+3)(x+3 - 1) = 0$，即$(x+3)(x+2) = 0$
$\therefore x+3=0$或$x+2=0$
解得$x_1=-3, x_2=-2$
(2) 移项，得$2(y-2)^2 + (y - 2) = 0$
提取公因式$(y-2)$，得$(y-2)[2(y-2)+1] = 0$，即$(y-2)(2y - 3) = 0$
$\therefore y-2=0$或$2y-3=0$
解得$y_1=2, y_2=\frac{3}{2}$
(3) 原方程变形为$2(x-1)^2 - (x+1)(x-1) = 0$
提取公因式$(x-1)$，得$(x-1)[2(x-1)-(x+1)] = 0$，即$(x-1)(x - 3) = 0$
$\therefore x-1=0$或$x-3=0$
解得$x_1=1, x_2=3$
(4) 将$(x+2)$看作整体，左边用完全平方公式因式分解，得$[(x+2)-4]^2 = 0$，即$(x-2)^2 = 0$
解得$x_1=x_2=2$
(5) 原方程变形为$3(x+3)^2 - 2(x+3) = 0$
提取公因式$(x+3)$，得$(x+3)[3(x+3)-2] = 0$，即$(x+3)(3x + 7) = 0$
$\therefore x+3=0$或$3x+7=0$
解得$x_1=-3, x_2=-\frac{7}{3}$
(6) 左边用平方差公式因式分解，得$[3(x+3)+2(x-2)][3(x+3)-2(x-2)] = 0$
化简得$(5x+5)(x+13) = 0$
$\therefore 5x+5=0$或$x+13=0$
解得$x_1=-1, x_2=-13$
【答案】
11.(1)$x_1=-3,x_2=-2$
(2)$y_1=2,y_2=\frac{3}{2}$
(3)$x_1=3,x_2=1$
(4)$x_1=x_2=2$
(5)$x_1=-3,x_2=-\frac{7}{3}$
(6)$x_1=-1,x_2=-13$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解、公式法因式分解
【点评】
本题考查一元二次方程的因式分解解法，解题时需先将方程整理为右边为0的形式，再根据式子结构灵活选择提公因式或公式法分解因式，注意不要随意约去含未知数的公因式，避免漏解。
【难度系数】
0.7
12. 在实数范围内定义新运算“△”，其规则为 $a△b = a^2 - ab$。根据这个规则，解决下列问题：
(1) 求 $(x+2)△5 = 0$ 中 $x$ 的值；
(2) 求证：$(x+m)△5 = 0$ 中，无论 $m$ 为何值，$x$ 总有两个不同的值。
(1) 求 $(x+2)△5 = 0$ 中 $x$ 的值；
(2) 求证：$(x+m)△5 = 0$ 中，无论 $m$ 为何值，$x$ 总有两个不同的值。
答案
12.(1)解:由题意,得$(x+2)△5=(x+2)^2-5(x+2)=0$,
整理,得$(x+2)(x+2-5)=0$,
解得$x_1=-2,x_2=3$,故$x$的值为$-2$或$3$.
(2)证明:由题意,得
$(x+m)△5=(x+m)^2-5(x+m)=0$,
整理,得$(x+m)(x+m-5)=0$,
解得$x_1=-m,x_2=-m+5$,
$\therefore (x+m)△5=0$中,无论$m$为何值,$x$总有两个不同的值.
整理,得$(x+2)(x+2-5)=0$,
解得$x_1=-2,x_2=3$,故$x$的值为$-2$或$3$.
(2)证明:由题意,得
$(x+m)△5=(x+m)^2-5(x+m)=0$,
整理,得$(x+m)(x+m-5)=0$,
解得$x_1=-m,x_2=-m+5$,
$\therefore (x+m)△5=0$中,无论$m$为何值,$x$总有两个不同的值.
解析
【分析】
（1）解题时首先要明确新运算“△”的规则：$a△b = a^2 - ab$，求解第一问时，将$a=x+2$、$b=5$代入规则，即可得到关于$x$的一元二次方程，再用因式分解法解方程就能得到$x$的取值。
（2）第二问同样先按照新运算规则，将$a=x+m$、$b=5$代入得到关于$x$的方程，通过因式分解求出两个根，判断两个根恒不相等，或者通过计算方程判别式恒大于0，即可完成证明。
【解析】
(1) 解：根据新运算规则可得：
$\begin{aligned}(x+2)△5&=(x+2)^2 - 5(x+2)=0\\(x+2)(x+2 - 5)&=0\\(x+2)(x-3)&=0\end{aligned}$
解得$x+2=0$或$x-3=0$，即$x_1=-2$，$x_2=3$。
(2) 证明：根据新运算规则可得：
$\begin{aligned}(x+m)△5&=(x+m)^2 - 5(x+m)=0\\(x+m)(x+m - 5)&=0\end{aligned}$
解得$x+m=0$或$x+m-5=0$，即$x_1=-m$，$x_2=5-m$。
因为$x_1-x_2=-m-(5-m)=-5≠0$，所以$x_1$和$x_2$恒不相等，即无论$m$为何值，$x$总有两个不同的值。
【答案】
(1) $x$的值为$\boldsymbol{-2}$或$\boldsymbol{3}$；
(2) 证明成立，无论$m$取何值，方程总有两个不同的实根。
【知识点】
新定义运算、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程根的判定
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程的相关知识，解题关键是准确将新定义运算转化为常规代数式运算，再结合一元二次方程的解法和根的性质求解，侧重考查学生的知识迁移能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
（1）解题时首先要明确新运算“△”的规则：$a△b = a^2 - ab$，求解第一问时，将$a=x+2$、$b=5$代入规则，即可得到关于$x$的一元二次方程，再用因式分解法解方程就能得到$x$的取值。
（2）第二问同样先按照新运算规则，将$a=x+m$、$b=5$代入得到关于$x$的方程，通过因式分解求出两个根，判断两个根恒不相等，或者通过计算方程判别式恒大于0，即可完成证明。
【解析】
(1) 解：根据新运算规则可得：
$\begin{aligned}(x+2)△5&=(x+2)^2 - 5(x+2)=0\\(x+2)(x+2 - 5)&=0\\(x+2)(x-3)&=0\end{aligned}$
解得$x+2=0$或$x-3=0$，即$x_1=-2$，$x_2=3$。
(2) 证明：根据新运算规则可得：
$\begin{aligned}(x+m)△5&=(x+m)^2 - 5(x+m)=0\\(x+m)(x+m - 5)&=0\end{aligned}$
解得$x+m=0$或$x+m-5=0$，即$x_1=-m$，$x_2=5-m$。
因为$x_1-x_2=-m-(5-m)=-5≠0$，所以$x_1$和$x_2$恒不相等，即无论$m$为何值，$x$总有两个不同的值。
【答案】
(1) $x$的值为$\boldsymbol{-2}$或$\boldsymbol{3}$；
(2) 证明成立，无论$m$取何值，方程总有两个不同的实根。
【知识点】
新定义运算、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程根的判定
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程的相关知识，解题关键是准确将新定义运算转化为常规代数式运算，再结合一元二次方程的解法和根的性质求解，侧重考查学生的知识迁移能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
13.(2025·宿迁泗洪县期中)方程是刻画现实世界数量关系的有效模型,一元一次方程是各类方程的重要基础.解二元一次方程组时,通过“消元”转化为一元一次方程;解一元二次方程时,通过“降次”转化为一元一次方程;解分式方程时,通过“去分母”转化为整式方程.各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想——转化,把未知转化为已知.用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程,如方程 $2x-\sqrt{2x+3}-3=0$ 的解法如下:
原方程可化为 $2x+3-\sqrt{2x+3}-6=0$,设 $\sqrt{2x+3}=k$,得方程 $k^2 -k -6=0$,解得 $k=3$ 或 $-2$.当 $k=3$ 时,$\sqrt{2x+3}=3$,解得 $x=3$;当 $k=-2$ 时,$\sqrt{2x+3}=-2$ 无实数解.经检验 $x=3$ 是原方程的解.
仔细阅读该方程的解答过程,尝试解下列新方程:
(1) $(\dfrac{x}{x+1})^2 - \dfrac{x}{x+1} -6=0$;
(2) $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=15$.
原方程可化为 $2x+3-\sqrt{2x+3}-6=0$,设 $\sqrt{2x+3}=k$,得方程 $k^2 -k -6=0$,解得 $k=3$ 或 $-2$.当 $k=3$ 时,$\sqrt{2x+3}=3$,解得 $x=3$;当 $k=-2$ 时,$\sqrt{2x+3}=-2$ 无实数解.经检验 $x=3$ 是原方程的解.
仔细阅读该方程的解答过程,尝试解下列新方程:
(1) $(\dfrac{x}{x+1})^2 - \dfrac{x}{x+1} -6=0$;
(2) $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=15$.
答案
13.解:(1)设$\frac{x}{x+1}=y$,则原方程可化为$y^2-y-6=0$,解得$y=3$或$y=-2$.
当$y=3$时,$\frac{x}{x+1}=3$,解得$x=-\frac{3}{2}$;
当$y=-2$时,$\frac{x}{x+1}=-2$,解得$x=-\frac{2}{3}$.
经检验,$x=-\frac{3}{2}$和$x=-\frac{2}{3}$都是原方程的解,
$\therefore$原方程的解为$x_1=-\frac{3}{2},x_2=-\frac{2}{3}$.
(2)原方程可化为$[(x-1)(x-4)][(x-2)(x-3)]=15$,即$(x^2-5x+4)(x^2-5x+6)=15$,
设$y=x^2-5x$,则原方程可化为$(y+4)(y+6)=15$,
整理,得$y^2+10y+9=0$,
解得$y=-1$或$y=-9$.
当$y=-1$时,$x^2-5x=-1$,
解得$x=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}$;
当$y=-9$时,$x^2-5x=-9$,
即$x^2-5x+9=0$,此方程无实根.
综上,原方程的解为$x_1=\frac{5+\sqrt{21}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$.
当$y=3$时,$\frac{x}{x+1}=3$,解得$x=-\frac{3}{2}$;
当$y=-2$时,$\frac{x}{x+1}=-2$,解得$x=-\frac{2}{3}$.
经检验,$x=-\frac{3}{2}$和$x=-\frac{2}{3}$都是原方程的解,
$\therefore$原方程的解为$x_1=-\frac{3}{2},x_2=-\frac{2}{3}$.
(2)原方程可化为$[(x-1)(x-4)][(x-2)(x-3)]=15$,即$(x^2-5x+4)(x^2-5x+6)=15$,
设$y=x^2-5x$,则原方程可化为$(y+4)(y+6)=15$,
整理,得$y^2+10y+9=0$,
解得$y=-1$或$y=-9$.
当$y=-1$时,$x^2-5x=-1$,
解得$x=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}$;
当$y=-9$时,$x^2-5x=-9$,
即$x^2-5x+9=0$,此方程无实根.
综上,原方程的解为$x_1=\frac{5+\sqrt{21}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$.
解析
【分析】
这两道题都可以利用转化的数学思想，通过换元法将复杂方程转化为熟悉的一元二次方程求解：
(1) 观察方程结构，$(\frac{x}{x+1})^2$和$\frac{x}{x+1}$是平方关系，直接设$\frac{x}{x+1}=y$，即可将原方程转化为关于$y$的一元二次方程，解出$y$后代回分式方程求$x$，最后检验分式方程的根是否为增根即可。
(2) 先将四个一次因式合理分组，把乘积后二次项、一次项相同的组合配对：$(x-1)$和$(x-4)$相乘，$(x-2)$和$(x-3)$相乘，展开后都含有$x^2-5x$，设$y=x^2-5x$，即可将原方程转化为关于$y$的一元二次方程，解出$y$后代回关于$x$的一元二次方程，通过判别式判断方程是否有实根，最终得到原方程的解。
【解析】
(1) 设$\frac{x}{x+1}=y$，则原方程可化为$y^2 - y - 6 = 0$，
因式分解得$(y-3)(y+2)=0$，解得$y=3$或$y=-2$。
当$y=3$时，$\frac{x}{x+1}=3$，去分母得$x=3(x+1)$，解得$x=-\frac{3}{2}$；
当$y=-2$时，$\frac{x}{x+1}=-2$，去分母得$x=-2(x+1)$，解得$x=-\frac{2}{3}$。
经检验，$x=-\frac{3}{2}$和$x=-\frac{2}{3}$代入原方程分母不为0，都是原方程的解。
(2) 原方程可化为$[(x-1)(x-4)][(x-2)(x-3)]=15$，
分别计算乘积得$(x^2-5x+4)(x^2-5x+6)=15$，
设$y=x^2-5x$，则原方程可化为$(y+4)(y+6)=15$，
展开整理得$y^2 + 10y + 9 = 0$，
因式分解得$(y+1)(y+9)=0$，解得$y=-1$或$y=-9$。
当$y=-1$时，$x^2 - 5x = -1$，即$x^2 -5x +1=0$，
由求根公式得$x=\frac{5\pm\sqrt{25-4}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}$；
当$y=-9$时，$x^2 - 5x = -9$，即$x^2 -5x +9=0$，
判别式$\Delta=25-36=-11＜0$，此方程无实根。
【答案】
(1) $x_1=-\frac{3}{2},x_2=-\frac{2}{3}$；
(2) $x_1=\frac{5+\sqrt{21}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$
【知识点】
换元法解方程；一元二次方程的解法；转化思想
【点评】
本题重点考查运用换元法将陌生的复杂方程转化为已学方程求解的能力，解题核心是观察方程结构找到合适的换元对象，求解后要注意检验根的有效性：分式方程需验根，一元二次方程要通过判别式判断是否存在实根。
【难度系数】
0.6
这两道题都可以利用转化的数学思想，通过换元法将复杂方程转化为熟悉的一元二次方程求解：
(1) 观察方程结构，$(\frac{x}{x+1})^2$和$\frac{x}{x+1}$是平方关系，直接设$\frac{x}{x+1}=y$，即可将原方程转化为关于$y$的一元二次方程，解出$y$后代回分式方程求$x$，最后检验分式方程的根是否为增根即可。
(2) 先将四个一次因式合理分组，把乘积后二次项、一次项相同的组合配对：$(x-1)$和$(x-4)$相乘，$(x-2)$和$(x-3)$相乘，展开后都含有$x^2-5x$，设$y=x^2-5x$，即可将原方程转化为关于$y$的一元二次方程，解出$y$后代回关于$x$的一元二次方程，通过判别式判断方程是否有实根，最终得到原方程的解。
【解析】
(1) 设$\frac{x}{x+1}=y$，则原方程可化为$y^2 - y - 6 = 0$，
因式分解得$(y-3)(y+2)=0$，解得$y=3$或$y=-2$。
当$y=3$时，$\frac{x}{x+1}=3$，去分母得$x=3(x+1)$，解得$x=-\frac{3}{2}$；
当$y=-2$时，$\frac{x}{x+1}=-2$，去分母得$x=-2(x+1)$，解得$x=-\frac{2}{3}$。
经检验，$x=-\frac{3}{2}$和$x=-\frac{2}{3}$代入原方程分母不为0，都是原方程的解。
(2) 原方程可化为$[(x-1)(x-4)][(x-2)(x-3)]=15$，
分别计算乘积得$(x^2-5x+4)(x^2-5x+6)=15$，
设$y=x^2-5x$，则原方程可化为$(y+4)(y+6)=15$，
展开整理得$y^2 + 10y + 9 = 0$，
因式分解得$(y+1)(y+9)=0$，解得$y=-1$或$y=-9$。
当$y=-1$时，$x^2 - 5x = -1$，即$x^2 -5x +1=0$，
由求根公式得$x=\frac{5\pm\sqrt{25-4}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}$；
当$y=-9$时，$x^2 - 5x = -9$，即$x^2 -5x +9=0$，
判别式$\Delta=25-36=-11＜0$，此方程无实根。
【答案】
(1) $x_1=-\frac{3}{2},x_2=-\frac{2}{3}$；
(2) $x_1=\frac{5+\sqrt{21}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$
【知识点】
换元法解方程；一元二次方程的解法；转化思想
【点评】
本题重点考查运用换元法将陌生的复杂方程转化为已学方程求解的能力，解题核心是观察方程结构找到合适的换元对象，求解后要注意检验根的有效性：分式方程需验根，一元二次方程要通过判别式判断是否存在实根。
【难度系数】
0.6
