11. 用因式分解法解下列方程：
(1) $(x+3)^2 = x+3$；
(2) $2(y-2)^2 = 2 - y$；
(3) $2(x-1)^2 = x^2 -1$；
(4) $(x+2)^2 -8(x+2)+16=0$；
(5) $3(x+3)^2 -2x -6=0$；
(6) $9(x+3)^2 -4(x-2)^2=0$。

11.(1)$x_1=-3,x_2=-2$
(2)$y_1=2,y_2=\frac{3}{2}$
(3)$x_1=3,x_2=1$
(4)$x_1=x_2=2$
(5)$x_1=-3,x_2=-\frac{7}{3}$
(6)$x_1=-1,x_2=-13$

12. 在实数范围内定义新运算“△”，其规则为 $a△b = a^2 - ab$。根据这个规则，解决下列问题：
(1) 求 $(x+2)△5 = 0$ 中 $x$ 的值；
(2) 求证：$(x+m)△5 = 0$ 中，无论 $m$ 为何值，$x$ 总有两个不同的值。

12.(1)解:由题意,得$(x+2)△5=(x+2)^2-5(x+2)=0$,
整理,得$(x+2)(x+2-5)=0$,
解得$x_1=-2,x_2=3$,故$x$的值为$-2$或$3$.
(2)证明:由题意,得
$(x+m)△5=(x+m)^2-5(x+m)=0$,
整理,得$(x+m)(x+m-5)=0$,
解得$x_1=-m,x_2=-m+5$,
$\therefore (x+m)△5=0$中,无论$m$为何值,$x$总有两个不同的值.

13.(2025·宿迁泗洪县期中)方程是刻画现实世界数量关系的有效模型,一元一次方程是各类方程的重要基础.解二元一次方程组时,通过“消元”转化为一元一次方程;解一元二次方程时,通过“降次”转化为一元一次方程;解分式方程时,通过“去分母”转化为整式方程.各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想——转化,把未知转化为已知.用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程,如方程 $2x-\sqrt{2x+3}-3=0$ 的解法如下:
原方程可化为 $2x+3-\sqrt{2x+3}-6=0$,设 $\sqrt{2x+3}=k$,得方程 $k^2 -k -6=0$,解得 $k=3$ 或 $-2$.当 $k=3$ 时,$\sqrt{2x+3}=3$,解得 $x=3$;当 $k=-2$ 时,$\sqrt{2x+3}=-2$ 无实数解.经检验 $x=3$ 是原方程的解.
仔细阅读该方程的解答过程,尝试解下列新方程:
(1) $(\dfrac{x}{x+1})^2 - \dfrac{x}{x+1} -6=0$;
(2) $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=15$.

13.解:(1)设$\frac{x}{x+1}=y$,则原方程可化为$y^2-y-6=0$,解得$y=3$或$y=-2$.
当$y=3$时,$\frac{x}{x+1}=3$,解得$x=-\frac{3}{2}$;
当$y=-2$时,$\frac{x}{x+1}=-2$,解得$x=-\frac{2}{3}$.
经检验,$x=-\frac{3}{2}$和$x=-\frac{2}{3}$都是原方程的解,
$\therefore$原方程的解为$x_1=-\frac{3}{2},x_2=-\frac{2}{3}$.
(2)原方程可化为$[(x-1)(x-4)][(x-2)(x-3)]=15$,即$(x^2-5x+4)(x^2-5x+6)=15$,
设$y=x^2-5x$,则原方程可化为$(y+4)(y+6)=15$,
整理,得$y^2+10y+9=0$,
解得$y=-1$或$y=-9$.
当$y=-1$时,$x^2-5x=-1$,
解得$x=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}$;
当$y=-9$时,$x^2-5x=-9$,
即$x^2-5x+9=0$,此方程无实根.
综上,原方程的解为$x_1=\frac{5+\sqrt{21}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$.