7. 如图，AB为$\odot O$的直径，C为$\odot O$上一点，弦AD平分$∠ BAC$，交BC于点E，若AB=6，AD=5，则AE的长为。

7. 2.8 解析:连接 BD,CD.
∵ AB 为 $\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ ADB=90°$,$\therefore BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{6^2-5^2}=\sqrt{11}$.
∵ 弦 AD 平分 $∠ BAC$,$\therefore CD=BD=\sqrt{11}$,$\therefore ∠ CBD=∠ DAB$.在 $△ ABD$ 和 $△ BED$ 中,$∠ BAD=∠ EBD$,$∠ ADB=∠ BDE$,$\therefore △ ABD∽△ BED$,$\therefore \frac{DE}{DB}=\frac{DB}{AD}$,即 $\frac{DE}{\sqrt{11}}=\frac{\sqrt{11}}{5}$,解得 $DE=\frac{11}{5}$,$\therefore AE=AD-DE=5-\frac{11}{5}=2.8$.

8. (2026·苏州期末)如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ABC=90°$, $D$ 是边 $BC$ 的中点,连接 $AD$,作 $BE ⊥ AD$,垂足为 $E$,连接 $CE$.
(1)求证: $△ DBE ∽ △ DAB$;
(2)若 $\dfrac{S_{△ DCE}}{S_{△ DAC}}=\dfrac{1}{5}$, $CE=2$,求 $AC$ 的长.

8. (1)
∵ BE ⊥ AD,
∴ ∠BED = 90°.
∵ ∠ABC = 90°,
∴ ∠BED = ∠ABD,在 $△ DBE$ 和 $△ DAB$ 中, ∠BED = ∠ABD, ∠BDE = ∠ADB,
∴ $△ DBE∽△ DAB$.
(2)
∵ D 是边 BC 的中点,
∴ DC = DB,由(1)得 $△ DBE∽△ DAB$,$\therefore \frac{DB}{DA}=\frac{DE}{DB}$,$\therefore \frac{DC}{DA}=\frac{DE}{DC}$.在 $△ DCE$ 和 $△ DAC$ 中,$\frac{DC}{DA}=\frac{DE}{DC}$, ∠CDE = ∠ADC,
∴ $△ DCE ∽ △ DAC$,
∴ $\frac{S_{△ DAC}}{S_{△ DCE}}=(\frac{AC}{CE})^2$.
∵ CE=2,$\frac{S_{△ DCE}}{S_{△ DAC}}=\frac{1}{5}$,即 $\frac{S_{△ DAC}}{S_{△ DCE}}=5$,$\therefore (\frac{AC}{2})^2=5$,解得 $AC=2\sqrt{5}$ 或 $AC=-2\sqrt{5}＜0$(不符合题意,舍去).

9. (2026·苏州中考)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,E是AB边上的动点(点E在A,B之间运动,不与A,B重合),过E作CE的垂线交AD边于点F,则AE+AF的最大值是

()

A.$\dfrac{21}{8}$
B.$3$
C.$\dfrac{25}{8}$
D.$\dfrac{27}{8}$

9. C 解析:设 AE=x,则 BE=AB-AE=3-x,
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ ∠A = ∠B = 90°.
∵ CE ⊥ EF,
∴ ∠AEF = ∠BCE = 90° - ∠BEC,
∴ $△ AEF∽△ BCE$,$\therefore \frac{AF}{BE}=\frac{AE}{BC}$,$\therefore \frac{AF}{3-x}=\frac{x}{2}$,$\therefore AF=\frac{x(3-x)}{2}$,$\therefore AE+AF=x+\frac{x(3-x)}{2}=-\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{2}x$.
∵ $-\frac{1}{2}＜0$,$0＜x＜3$,$\therefore$ 当 $x=-\frac{\frac{5}{2}}{2×(-\frac{1}{2})}=\frac{5}{2}$ 时,AE+AF 取得最大值,将 $x=\frac{5}{2}$ 代入 $AE+AF=-\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{2}x$,得 $(AE+AF)_{\mathrm{max}}=-\frac{1}{2}×\frac{25}{4}+\frac{5}{2}×\frac{5}{2}=\frac{25}{8}$.

10. (东营中考)如图,在等腰三角形ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=2,点D是边BC上的一个动点(不与点B,C重合),在AC上取一点E,使∠ADE=30°.
(1)求证:△ABD∽△DCE;
(2)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数表达式并写出自变量x的取值范围;
(3)当△ADE是等腰三角形时,求AE的长.

10. (1)
∵ $△ ABC$ 是等腰三角形,且 ∠BAC = 120°,
∴ ∠ABD = ∠ACB = 30°,
∴ ∠ABD = ∠ADE = 30°.
∵ ∠ADC = ∠ADE + ∠EDC = ∠ABD + ∠DAB,
∴ ∠EDC = ∠DAB,
∴ $△ ABD∽△ DCE$.
(2)
∵ AB=AC=2, ∠BAC=120°,过点 A 作 AF ⊥ BC 于点 F,
∴ ∠AFB = 90°.
∵ AB=2, ∠ABF=30°,
∴ AF=$\frac{1}{2}AB=1$,
∴ BF=$\sqrt{3}$,
∴ BC=2BF=2$\sqrt{3}$,则 DC=$2\sqrt{3}-x$,EC=2-y.
∵ $△ ABD∽△ DCE$,$\therefore \frac{AB}{BD}=\frac{DC}{CE}$,$\therefore \frac{2}{x}=\frac{2\sqrt{3}-x}{2-y}$,化简得 $y=\frac{1}{2}x^2-\sqrt{3}x+2(0＜x＜2\sqrt{3})$.
(3) 当 AD = DE 时,如图①,由(1)可知此时 $△ ABD≌△ DCE$,则 AB=CD,即 $2=2\sqrt{3}-x$,解得 $x=2\sqrt{3}-2$,代入 $y=\frac{1}{2}x^2-\sqrt{3}x+2$,解得 $y=4-2\sqrt{3}$,即 $AE=4-2\sqrt{3}$.
当 AE = ED 时,如图②, ∠EAD = ∠EDA = 30°, ∠AED = 120°,
∴ ∠DEC = 60°, ∠EDC = 90°,则 $ED=\frac{1}{2}EC$,即 $y=\frac{1}{2}(2-y)$,解得 $y=\frac{2}{3}$,即 $AE=\frac{2}{3}$.当 AD=AE 时, ∠AED = ∠EDA = 30°, ∠EAD = 120°,此时点 D 与点 B 重合,不符合题意,此情况不存在.
∴ 当$△ ADE$ 是等腰三角形时,AE 的长为 $4-2\sqrt{3}$ 或 $\frac{2}{3}$.