1. (2024·河南中考)如图,在$□ ABCD$中,对角线AC,BD相交于点O,点E为OC的中点,$EF// AB$交BC于点F.若$AB=4$,则EF的长为 ()

A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.$\frac{4}{3}$
D.2

1. B 解析:
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AB//CD. 点O是AC的中点,点E是OC的中点,
∴ $\frac{CE}{CA}=\frac{1}{4}$. 又
∵ $EF// AB$,
∴ $△ CEF∽△ CAB$,$\therefore \frac{EF}{AB}=\frac{CE}{CA}=\frac{1}{4}$.
∵ AB=4,
∴ EF=1. 故选B.

2. (2026·新疆中考)如图,等边$△ AOB$的面积为$9\sqrt{3}$,边$OA$与双曲线$y=\frac{k}{x}$相交于点$C$,且$OA:OC=3:2$,则$k=$.

2. $4\sqrt{3}$ 解析:如图,过点 A 作 $AD ⊥ x$ 轴于点 D,过点 C 作 $CE ⊥ x$ 轴于点 E,可得 $AD// CE$.设等边$△ AOB$ 的边长为 2a,$\therefore OA=OB=2a$,$OD=BD=\frac{1}{2}OB=a$,$\therefore AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{3}a$.
∵ 等边$△ AOB$ 的面积为 $9\sqrt{3}$,$\therefore \frac{1}{2}OB· AD=\frac{1}{2}×2a×\sqrt{3}a=\sqrt{3}a^2=9\sqrt{3}$,$\therefore a=3$(负值已舍去),$\therefore AD=3\sqrt{3}$,$OD=3$.
∵ $AD// CE$,$\therefore △ COE∽△ AOD$,$\therefore \frac{AD}{CE}=\frac{OD}{OE}=\frac{OA}{OC}$.
∵ $OA:OC=3:2$,$\therefore \frac{3\sqrt{3}}{CE}=\frac{3}{OE}=\frac{3}{2}$,$\therefore CE=2\sqrt{3}$,$OE=2$,$\therefore C(2,2\sqrt{3})$,$\therefore k=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$.

3.（无锡中考）如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，AF与DE相交于点G，则DG：EG=。
（第3题）

3. 2 : 3 解析:如图,延长 AF,BC 交于点 H.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,E,F 分别为 BC,CD 的中点,
∴ CB//AD,BE=CE,CF=DF,
∴ CB=AD=2CE.
∵ HC//AD,
∴ $△ HCF∽△ ADF$,$\therefore \frac{HC}{AD}=\frac{CF}{DF}=1$,$\therefore HC=AD=CB=2CE$,$\therefore HE=HC+CE=2CE+CE=3CE$.
∵ AD//HE,
∴ $△ ADG∽△ HEG$,$\therefore \frac{DG}{EG}=\frac{AD}{HE}=\frac{2CE}{3CE}=\frac{2}{3}$,$\therefore DG:EG=2:3$.

4. (2026·遂宁中考)如图,在边长为3 cm的正方形ABCD中,以点B为圆心,$\frac{2}{3}$ cm为半径作弧,交BC于点M,交AB的延长线于点N,再分别以点M,N为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧,两弧交于点K,作射线BK.点E在边AB上,且BE=2AE,连接EM并延长,交BK于点F,连接DF,交BC于点G,则DG的长为 cm.

4. $\frac{3\sqrt{5}}{2}$ 解析:根据题意可知 BK 平分$∠ CBN$,
∵ 四边形 ABCD 是正方形,$\therefore ∠ ABC=90°$,$AB=BC=CD=3$ cm,$DC ⊥ BC$.
∵ 点 N 在 AB 的延长线上,$\therefore ∠ CBN=90°$,$\therefore ∠ CBK=\frac{1}{2}∠ CBN=45°$.如图,过点 F 作 $FH ⊥ BC$ 于点 H,作 $FP ⊥ AB$ 交 AB 的延长线于点 P,则四边形 BHFP 为矩形,
∵ BK 平分$∠ CBN$,$FH ⊥ BC$,$FP ⊥ BN$,$\therefore FH=FP$,$\therefore$ 四边形 BHFP 为正方形,在$\mathrm{Rt}△ BHF$中,$∠ FBH=45°$,$\therefore BH=FH$.
∵ BE=2AE,AB=3 cm,$\therefore BE=2$ cm,设 FH=x cm,则 FP=BH=BP=FH=x cm,EP=EB+BP=(2+x) cm.
∵ $BM ⊥ AB$,$FP ⊥ AB$,$\therefore BM// FP$,$\therefore △ EBM∽△ EPF$,$\therefore \frac{BM}{FP}=\frac{EB}{EP}$.
∵ $BM=\frac{2}{3}$ cm,$\therefore \frac{\frac{2}{3}}{x}=\frac{2}{2+x}$,解得 x=1,$\therefore FH=1$ cm,BH=1 cm,$\therefore CH=BC-BH=3-1=2$ (cm).
∵ $DC ⊥ BC$,$FH ⊥ BC$,$\therefore DC// FH$,$\therefore △ DCG∽△ FHG$,$\therefore \frac{CG}{HG}=\frac{DC}{FH}=\frac{3}{1}=3$,$\therefore CG=3HG$.
∵ CG+HG=CH=2 cm,$\therefore 3HG+HG=2$ cm,$\therefore HG=\frac{1}{2}$ cm,$\therefore CG=\frac{3}{2}$ cm,在$\mathrm{Rt}△ DCG$中,$DG=\sqrt{DC^2+CG^2}=\sqrt{3^2+(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{9+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{45}{4}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$(cm).

5. (2026·南京校级月考)如图,将△ABC绕点A顺时针旋转,使点C的对应点C'落在边BC上.若B'C'⊥AB于点O, OA = 3, OB = 2, 则△ACC'的面积是.

5. 4.5 解析:如图,过点 A 作 $AE ⊥ BC$ 于点 E,
∵ OA=3,OB=2,$\therefore AB=AO+BO=5$.由旋转得,$AB'=AB=5$,$∠ B'=∠ B$,$B'C'=BC$.
∵ $B'C' ⊥ AB$,$\therefore B'O=\sqrt{B'A^2-AO^2}=4$.又
∵ $∠ B'OA=∠ BOC'$,$\therefore △ AB'O∽△ C'BO$,$\therefore \frac{AB'}{BC'}=\frac{B'O}{BO}=\frac{AO}{C'O}$,即$\frac{5}{BC'}=\frac{4}{2}=\frac{3}{C'O}$,$\therefore BC'=2.5$,$C'O=1.5$,$\therefore BC=B'C'=B'O+OC'=4+1.5=5.5$,$\therefore C'C=BC-BC'=5.5-2.5=3$.由旋转得,$△ ABC≌△ AB'C'$,又
∵ $AO ⊥ B'C'$,$AE ⊥ BC$,$\therefore AE=AO=3$,$\therefore △ ACC'$的面积是$\frac{1}{2}C'C· AE=\frac{1}{2}×3×3=4.5$.

6. (2024·资阳中考)如图,已知AB是$\odot O$的直径,AC是$\odot O$的弦,点D在$\odot O$外,延长DC,AB相交于点E,过点D作$DF ⊥ AB$于点F,交AC于点G,$DG=DC$.
(1)求证:DE是$\odot O$的切线;
(2)若$\odot O$的半径为6,点F为线段OA的中点,$CE=8$,求DF的长.

6. (1) 连接 OC.
∵ OA = OC, DG = DC,
∴ ∠OAC = ∠OCA, ∠DGC = ∠DCG.
∵ ∠AGF = ∠DGC,
∴ ∠AGF = ∠DCG. 又
∵ DF ⊥ AB,
∴ ∠AFG = 90°,
∴ ∠OAC + ∠AGF = 180° - ∠AFG = 180° - 90° = 90°,
∴ ∠OCD = ∠OCA + ∠DCG = ∠OAC+∠AGF=90°,
∴ DE 是$\odot O$的切线.
(2)
∵ ∠OCE = ∠DFE = 90°, ∠OEC = ∠DEF,
∴ $△ DFE∽△ OCE$,$\therefore \frac{OC}{DF}=\frac{CE}{FE}$.
∵ $\odot O$ 的半径为 6,CE=8,
∴ OC=OB=OA=6,$\therefore OE^2=OC^2+CE^2$,即 $OE=\sqrt{6^2+8^2}=10$. 又
∵ 点 F 为线段 OA 的中点,$\therefore OF=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}×6=3$,$\therefore EF=OF+OE=3+10=13$,$\therefore \frac{6}{DF}=\frac{8}{13}$,$\therefore DF=\frac{39}{4}$.