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14.(12分)某市对居民生活用水实行阶梯水价,每年收费标准如表:
已知小明家2025年共用水190立方米,处于第一阶梯,共缴水费646元;小丽家2025年共用水241立方米,处于第二阶梯,共缴水费844.4元.
(1)填空:$a=$
(2)2025年小慧家共缴水费1246元,求小慧家2025年的用水量.
已知小明家2025年共用水190立方米,处于第一阶梯,共缴水费646元;小丽家2025年共用水241立方米,处于第二阶梯,共缴水费844.4元.
(1)填空:$a=$
3.4
, $x=$216
;(2)2025年小慧家共缴水费1246元,求小慧家2025年的用水量.
答案
14.(1)3.4 216
(2)解:设小慧家2025年的用水量为$y$立方米,
因为$3.4×216+4.4×(300-216)=1104$(元),
所以用水量为300立方米时,水费为1104元.
因为2025年小慧家共缴水费1246元,$1246＞1104$,
所以小慧家2025年的用水量超过300立方米,根据题意,得$1104+7.1(y-300)=1246$,解得$y=320$.
答:小慧家2025年的用水量为320立方米.
(2)解:设小慧家2025年的用水量为$y$立方米,
因为$3.4×216+4.4×(300-216)=1104$(元),
所以用水量为300立方米时,水费为1104元.
因为2025年小慧家共缴水费1246元,$1246＞1104$,
所以小慧家2025年的用水量超过300立方米,根据题意,得$1104+7.1(y-300)=1246$,解得$y=320$.
答:小慧家2025年的用水量为320立方米.
解析
【分析】
（1）求a的值时，小明家用水量190立方米全部属于第一阶梯，总水费=用水量×第一阶梯水价a，直接列式即可求出a；求x的值时，小丽家用水量241立方米属于第二阶梯，水费分为两部分：x立方米按a元/立方米收费，超出x的(241-x)立方米按4.4元/立方米收费，根据总水费列一元一次方程即可求解x。
（2）求小慧家用水量时，首先计算用水量为300立方米（第二阶梯最高用水量）时的总水费，和小慧家缴纳的1246元对比，判断用水量所处的阶梯区间，再根据对应阶梯的收费规则列方程求解即可。
【解析】
（1）小明家用水190立方米属于第一阶梯，总水费646元，可得：
$190a=646$，解得$a=646÷190=3.4$。
小丽家用水241立方米属于第二阶梯，总水费844.4元，代入$a=3.4$得：
$3.4x + 4.4×(241-x)=844.4$
展开计算：$3.4x + 1060.4 - 4.4x = 844.4$
整理得：$-x=844.4-1060.4$，解得$x=216$。
（2）先计算用水量为300立方米时的总水费：
第一阶梯水费：$3.4×216=734.4$元
第二阶梯水费：$4.4×(300-216)=369.6$元
总水费：$734.4+369.6=1104$元
因为$1246＞1104$，所以小慧家用水量超过300立方米，属于第三阶梯。
设小慧家2025年用水量为$y$立方米，列方程得：
$1104 + 7.1×(y-300)=1246$
解得：$7.1(y-300)=142$，$y-300=20$，$y=320$
【答案】
(1) $3.4$；$216$
(2) 小慧家2025年的用水量为320立方米。
【知识点】
一元一次方程的应用；阶梯计费问题；有理数混合运算
【点评】
本题是典型的生活类阶梯收费应用题，解题核心是明确不同阶梯的收费规则，先判断待求量所属的阶梯区间，再根据总费用的等量关系列式或方程求解，考查学生将数学知识应用到实际场景的能力。
【难度系数】
0.7
（1）求a的值时，小明家用水量190立方米全部属于第一阶梯，总水费=用水量×第一阶梯水价a，直接列式即可求出a；求x的值时，小丽家用水量241立方米属于第二阶梯，水费分为两部分：x立方米按a元/立方米收费，超出x的(241-x)立方米按4.4元/立方米收费，根据总水费列一元一次方程即可求解x。
（2）求小慧家用水量时，首先计算用水量为300立方米（第二阶梯最高用水量）时的总水费，和小慧家缴纳的1246元对比，判断用水量所处的阶梯区间，再根据对应阶梯的收费规则列方程求解即可。
【解析】
（1）小明家用水190立方米属于第一阶梯，总水费646元，可得：
$190a=646$，解得$a=646÷190=3.4$。
小丽家用水241立方米属于第二阶梯，总水费844.4元，代入$a=3.4$得：
$3.4x + 4.4×(241-x)=844.4$
展开计算：$3.4x + 1060.4 - 4.4x = 844.4$
整理得：$-x=844.4-1060.4$，解得$x=216$。
（2）先计算用水量为300立方米时的总水费：
第一阶梯水费：$3.4×216=734.4$元
第二阶梯水费：$4.4×(300-216)=369.6$元
总水费：$734.4+369.6=1104$元
因为$1246＞1104$，所以小慧家用水量超过300立方米，属于第三阶梯。
设小慧家2025年用水量为$y$立方米，列方程得：
$1104 + 7.1×(y-300)=1246$
解得：$7.1(y-300)=142$，$y-300=20$，$y=320$
【答案】
(1) $3.4$；$216$
(2) 小慧家2025年的用水量为320立方米。
【知识点】
一元一次方程的应用；阶梯计费问题；有理数混合运算
【点评】
本题是典型的生活类阶梯收费应用题，解题核心是明确不同阶梯的收费规则，先判断待求量所属的阶梯区间，再根据总费用的等量关系列式或方程求解，考查学生将数学知识应用到实际场景的能力。
【难度系数】
0.7
15.(12分)如图,数轴上A,B两点对应的数分别是6,−8,M,N,P为数轴上的三个动点,点M从点A出发,速度为每秒2个单位长度;点N从点B出发,速度为点M的3倍;点P从原点出发,速度为每秒1个单位长度.
(1)若点M向右运动,同时点N向左运动,求经过多少秒,点M与点N相距54个单位长度;
(2)若点M,N,P同时都向右运动,求经过多少秒,点P到点M,N的距离相等.
(1)若点M向右运动,同时点N向左运动,求经过多少秒,点M与点N相距54个单位长度;
(2)若点M,N,P同时都向右运动,求经过多少秒,点P到点M,N的距离相等.
答案
15.解:(1)设经过$x$秒,点$M$与点$N$相距54个单位长度,
根据题意,得$2x+3×2x+[6-(-8)]=54$,解得$x=5$.
答:经过5秒,点$M$与点$N$相距54个单位长度.
(2)设经过$t$秒,点$P$到点$M$,$N$的距离相等,
根据题意,得
$(2t+6)-t=(6t-8)-t$或$(2t+6)-t=t-(6t-8)$,
解得$t=\frac{7}{2}$或$t=\frac{1}{3}$.
答:经过$\frac{7}{2}$秒或$\frac{1}{3}$秒,点$P$到点$M$,$N$的距离相等.
根据题意,得$2x+3×2x+[6-(-8)]=54$,解得$x=5$.
答:经过5秒,点$M$与点$N$相距54个单位长度.
(2)设经过$t$秒,点$P$到点$M$,$N$的距离相等,
根据题意,得
$(2t+6)-t=(6t-8)-t$或$(2t+6)-t=t-(6t-8)$,
解得$t=\frac{7}{2}$或$t=\frac{1}{3}$.
答:经过$\frac{7}{2}$秒或$\frac{1}{3}$秒,点$P$到点$M$,$N$的距离相等.
解析
【分析】
(1) 先计算A、B两点初始距离：A对应数6，B对应数-8，初始距离为$6-(-8)=14$个单位长度。点M向右运动，速度为2单位/秒，点N向左运动，速度是M的3倍即6单位/秒，两者相背运动，x秒后两者的总距离等于初始距离加上两点的路程和，据此列一元一次方程即可求解。
(2) 三个点同时向右运动，t秒后先分别表示出三个点对应的数：点M为$6+2t$，点N为$-8+6t$，点P为$t$。点P到M、N距离相等分两种情况：一是M、N在P同侧（两点重合），二是M、N在P两侧，结合两点距离公式列方程求解，注意不要漏解。
【解析】
(1) 设经过$x$秒，点M与点N相距54个单位长度。
点N的速度为$2×3=6$单位/秒，根据题意列方程：
$2x + 6x + [6-(-8)] = 54$
整理得$8x +14=54$，解得$x=5$。
(2) 设经过$t$秒，点P到点M、N的距离相等。
t秒后各点对应数：M为$6+2t$，N为$-8+6t$，P为$t$，根据距离相等列方程：
$(2t+6)-t=(6t-8)-t$ 或 $(2t+6)-t=t-(6t-8)$
解第一个方程：$t+6=5t-8$，得$t=\frac{7}{2}$；
解第二个方程：$t+6=8-5t$，得$t=\frac{1}{3}$。
两个解均符合实际运动情况。
【答案】
(1) 经过5秒，点M与点N相距54个单位长度；
(2) 经过$\frac{7}{2}$秒或$\frac{1}{3}$秒，点P到点M、N的距离相等。
【知识点】
数轴动点问题；一元一次方程应用；数轴两点距离
【点评】
本题是数轴动点的常考题型，解题核心是根据运动时间准确表示动点对应的数，结合距离关系找到等量关系列方程，第二问需注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 先计算A、B两点初始距离：A对应数6，B对应数-8，初始距离为$6-(-8)=14$个单位长度。点M向右运动，速度为2单位/秒，点N向左运动，速度是M的3倍即6单位/秒，两者相背运动，x秒后两者的总距离等于初始距离加上两点的路程和，据此列一元一次方程即可求解。
(2) 三个点同时向右运动，t秒后先分别表示出三个点对应的数：点M为$6+2t$，点N为$-8+6t$，点P为$t$。点P到M、N距离相等分两种情况：一是M、N在P同侧（两点重合），二是M、N在P两侧，结合两点距离公式列方程求解，注意不要漏解。
【解析】
(1) 设经过$x$秒，点M与点N相距54个单位长度。
点N的速度为$2×3=6$单位/秒，根据题意列方程：
$2x + 6x + [6-(-8)] = 54$
整理得$8x +14=54$，解得$x=5$。
(2) 设经过$t$秒，点P到点M、N的距离相等。
t秒后各点对应数：M为$6+2t$，N为$-8+6t$，P为$t$，根据距离相等列方程：
$(2t+6)-t=(6t-8)-t$ 或 $(2t+6)-t=t-(6t-8)$
解第一个方程：$t+6=5t-8$，得$t=\frac{7}{2}$；
解第二个方程：$t+6=8-5t$，得$t=\frac{1}{3}$。
两个解均符合实际运动情况。
【答案】
(1) 经过5秒，点M与点N相距54个单位长度；
(2) 经过$\frac{7}{2}$秒或$\frac{1}{3}$秒，点P到点M、N的距离相等。
【知识点】
数轴动点问题；一元一次方程应用；数轴两点距离
【点评】
本题是数轴动点的常考题型，解题核心是根据运动时间准确表示动点对应的数，结合距离关系找到等量关系列方程，第二问需注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
