1. (2024 连云港市赣榆区期中)如图，$∠ MON=90°$，以点$O$为圆心，任意长为半径画弧，分别交$OM,ON$于点$A,D$，再以点$A$为圆心，$AO$长为半径画弧，与弧$AD$交于点$B$，连接$OB,AB,AB$的延长线交$ON$于点$C$。若$OD=4$，则$CB$的长为 （）

A.3
B.4
C.5
D.6

1. B 提示:由作图可知,OA=OB=OD=4,OA=
AB,所以△ABO 为等边三角形,所以∠OAC=
∠ABO=∠AOB=60°. 又因为∠MON=90°,所以
∠BCO=∠BOC=30°,所以 CB=OB=4.

2. 如图,在边长为2的等边三角形ABC中,点D在边BC上运动(不与点B,C重合),点E在边AB的延长线上,点F在边AC的延长线上,$AD = DE = DF$.点D在边BC上从点B至点C的运动过程中,$△ BED$周长的变化规律为 （）

A.不变
B.一直变小
C.先变大后变小
D.先变小后变大

2. D 提示:因为 AD=DE=DF,所以∠DAB=
∠DEB,∠DAC=∠DFC. 因为∠DAB+∠DAC=
∠BAC=60°,所以∠DEB+∠DFC=60°. 因为
∠ABC=∠DEB+∠EDB=60°,所以∠EDB=
∠DFC. 因为∠ACB=∠DFC+∠FDC=60°,所以
∠FDC=∠DEB. 又因为 DE=DF,所以△BDE≌
△CFD(ASA),所以 BD=CF,BE=CD,所以
△BED 的周长为 BD+BE+DE=BD+CD+
AD=BC+AD. 因为点 D 在边 BC 上从点 B 至点 C
的运动过程中,AD 的长先变小后变大,所以
△BED 的周长先变小后变大.

3. 如图，$∠ AOB = 120°$，$OP$ 平分 $∠ AOB$，且$OP = 1$. 若点 $M,N$ 分别在 $OA,OB$ 上，且$△ PMN$ 为等边三角形，则满足上述条件的$△ PMN$ 有（）


A.1个
B.2个
C.3个
D.无数个

3. D 提示:如图,过点 P 作PM⊥OA 于点M,PN⊥
OB 于点 N. 因为 OP 平分∠AOB,所以 PM=PN,
∠PMO=90°,∠PNO=90°. 所以∠MPN=360°-
∠AOB-∠PMO-∠PNO=60°. 所以此时
△PMN 是等边三角形. 当点 M 向 MO 方向移动
时,使点 N 向 NB 方向移动,且∠MPM₁=
∠NPN₁,则∠M₁PN₁=∠M₁PN+∠NPN₁=
∠M₁PN+∠MPM₁=∠MPN = 60°. 易证
△PMM₁≌△PNN₁(ASA). 所以 PM₁=PN₁. 所
以△PM₁N₁是等边三角形. 所以当点 M 向 MO 方
向移动,点 N 向 NB 方向移动,且∠MPM₁=
∠NPN₁时,△M₁PN₁是等边三角形. 同理可得,
当点 M 向 MA 方向移动,点 N 向 NO 方向移动,且
∠MPM₂=∠NPN₂时,△M₂PN₂是等边三角形.
故满足条件的△PMN 有无数个.

4. 如图是两块完全一样的含 $30°$ 角的直角三角板,将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点 $M$ 转动,使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点 $C$.
已知 $AC=5$,则这两块直角三角板顶点 $A$,$A'$ 之间的距离为.

4. 2.5 提示:连接 AA'. 因为 M 是线段 AC,A'C' 的
中点,AC=5,所以 AM=MC=A'M=MC'=2.5.
因为∠MA'C=30°,所以∠MCA'=∠MA'C=30°,
所以∠AMA'=∠MCA'+∠MA'C=60°,所以
△AA'M 是等边三角形,所以 AA'=AM=2.5.

5. (2025 苏州市工业园区期中)如图,等边三角形
$ABC$ 的边长为 3,$CD⊥ AB$ 于点 $D$,$E$ 为射线
$CD$ 上一点,以 $BE$ 为边在 $BE$ 左侧作等边三
角形 $BEF$,则 $DF$ 长的最小值为.

5. $\dfrac{3}{4}$ 提示:如图,连接 AF. 因为△ABC 和△BEF
都是等边三角形,所以∠ACB=∠ABC=∠EBF=
60°,AB=CB,EB=FB. 所以∠ABC+∠ABE=
∠EBF+∠ABE,即∠CBE=∠ABF. 在△ABF 和
△CBE 中,$\begin{cases} AB=CB,\\ ∠ABF=∠CBE,\\ FB=EB,\\ \end{cases}$所以 △ABF ≌
△CBE(SAS). 所以∠BAF=∠BCE. 因为 CD⊥
AB,所以 AD=$\dfrac{1}{2}$AB=$\dfrac{3}{2}$,∠BCE=$\dfrac{1}{2}$∠ACB=
30°. 所以∠BAF=30°,则点 F 在过点 A 且与 AB
夹角为 30°的射线上. 过点 D 作射线 AF 的垂线,垂
足为 M,则 DM=$\dfrac{1}{2}$AD=$\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}$=$\dfrac{3}{4}$,即 DF 长的
最小值为$\dfrac{3}{4}$.

6. (2025 盐城市响水县期中) 如图 1，$△ ACB$和$△ DCE$ 均为等边三角形，点 $A,D,E$ 在同一直线上，连接 $BE$.
(1) ①求证：$AD=BE$；
②求$∠ CEB$ 的度数.
(2) 拓展探究：
如图 2，$△ ACB$ 和$△ DCE$ 均为等腰直角三角形，$∠ ACB=∠ DCE=90°$，点$A,D,E$ 在同一直线上，$CM$ 为$△ DCE$中 $DE$ 边上的高，连接 $BE$.
①$∠ AEB$ 的度数为 $°$；
②判断线段 $CM,AE,BE$ 之间的数量关系，并说明理由.

6. (1) ①证明:因为△ACB 和△DCE 均为等
边三角形,所以 CA = CB, CD = CE,
∠ACB = ∠DCE = 60°. 所以 ∠ACB -
∠DCB = ∠DCE - ∠DCB,即∠ACD =
∠BCE. 在 △ACD 和 △BCE 中,
$\begin{cases} AC=BC,\\ ∠ACD=∠BCE,\\ CD=CE,\\ \end{cases}$所以△ACD≌△BCE
(SAS),所以 AD=BE.
② 解: 因为 △ACD ≌ △BCE, 所以
∠ADC=∠CEB. 因为△DCE 是等边三
角形,所以∠CDE=∠CED=60°. 因为点 A,
D,E 在同一直线上,所以∠ADC=120°.
所以∠CEB=120°.
(2) ①90
②解:AE=BE+2CM.
理由:因为∠DCE=90°,CD=CE,CM⊥
DE,所以 DM=EM,∠CDE=∠CED=
45°,∠DCM=∠ECM=45°. 所以 CM=
DM=EM. 所以 DE=DM+EM=2CM.
同(1)①可证△ACD≌△BCE(SAS). 所以
AD=BE. 所以 AE=AD+DE=BE+2CM.