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1. 如图,一架梯子AB斜靠在竖直墙上,M为梯子AB的中点.当梯子底端向左水平滑动到CD位置时,滑动过程中,OM长的变化规律是（
A.变小
B.不变
C.变大
D.先变小再变大
B
）A.变小
B.不变
C.变大
D.先变小再变大
答案
1.B
2. (2025 南京市秦淮区期中) 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ABC=90^{ \circ }$,$D$是边$BC$上一点,$P$是$AD$的中点.若$AC$的垂直平分线经过点$D$,$DC=8\ {cm}$,则$BP$的长度为 （
A.$2\ {cm}$
B.$3\ {cm}$
C.$4\ {cm}$
D.$5\ {cm}$
C
）A.$2\ {cm}$
B.$3\ {cm}$
C.$4\ {cm}$
D.$5\ {cm}$
答案
2.C
3. 如图, 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ C = 90°, ∠ B = 30°$, 过点 $C$ 画一条直线, 将 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 分割成两个三角形,且其中至少有一个是等腰三角形,则这样的直线能画（
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
B
）A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
答案
3.B 提示:如图
,即为符合题意的等腰三角形.故这样的直线能画2条.4.（2026扬州市邗江区期末）已知一个直角三角形斜边上的高和中线的长分别为4 cm和6 cm，则此三角形的面积为
24
$\mathrm{cm^{2}}$.答案
4. 24
5.（2026南京市联合体期末）如图，以线段$AB$为斜边向同侧作$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ ABD$，$∠ ACB=∠ ADB=90°$，$AD$，$BC$交于点$O$，$P$是线段$AB$的中点，连接$PC$，$PD$。若$∠ CPD=76°$，则$∠ AOB=\_\_\_\_\_\_°$。
答案
5. 128
6. 如图,已知线段AB,用两种不同的方法作一个含$30^{\circ }$角的$\mathrm{Rt}△ ABC$,使其斜边为AB.(用直尺和圆规作图,不写作法,保留作图痕迹)
答案
6. 解:如图
,图
,$△ ABC$即为所求. 提示:如图1,先作线段$AB$的垂直平分线,交$AB$于点$D$,再分别以点$A$,$D$为圆心,$AD$长为半径画弧,两弧相交于点$C$,连接$AC$,$BC$,则$△ ABC$即为所作. 如图2,先分别以点$A$,$B$为圆心,$AB$长为半径画弧,两弧相交于点$D$,连接$AD$,$BD$,再作$∠ BAD$的平分线,交$BD$于点$C$,则$△ ABC$即为所作.7. 如图,在$△ ABC$中,$AD$是高,$CE$是中线,$G$是$CE$的中点,$DG ⊥ CE$,垂足为$G$,连接$DE$.
(1) 求证:$DC=BE$.
(2) 若$∠ AEC=63^{ \circ }$,求$∠ BCE$的度数.
(1) 求证:$DC=BE$.
(2) 若$∠ AEC=63^{ \circ }$,求$∠ BCE$的度数.
答案
7. (1) 证明:因为 AD 是高,所以 $AD ⊥ BC$,所以$∠ ADB=90°$. 因为 $CE$ 是中线,所以 $AE=BE$. 所以 $DE=BE=AE$. 因为 $DG ⊥ CE$,$G$ 是 $CE$ 的中点,所以 $DE=DC$. 所以 $DC=BE$.
(2) 解:设 $∠ BCE=x$. 因为 $BE=DE=DC$, 所以 $∠ DEC=∠ DCE=x$, 所以 $∠ EBD=∠ BDE=∠ DEC+∠ DCE=2x$. 因为 $∠ AEC=∠ EBD+∠ DCE$, 所以 $63°=3x$,解得 $x=21°$. 所以 $∠ BCE$ 的度数为 $21°$.
(2) 解:设 $∠ BCE=x$. 因为 $BE=DE=DC$, 所以 $∠ DEC=∠ DCE=x$, 所以 $∠ EBD=∠ BDE=∠ DEC+∠ DCE=2x$. 因为 $∠ AEC=∠ EBD+∠ DCE$, 所以 $63°=3x$,解得 $x=21°$. 所以 $∠ BCE$ 的度数为 $21°$.
