8. 如图,在 $\mathrm{Rt } △ ABC$ 中, $∠ CAB = 90°$,$∠ ACB=30°$,$D$ 是边 $AB$ 上一点(不与点$A$,$B$ 重合),$DE ⊥ BC$ 于点 $E$. 若 $P$ 是 $CD$的中点, 请判断 $△ PAE$ 的形状, 并说明理由.

8. 解:$△ PAE$ 为等边三角形. 理由如下:
因为在 $\mathrm{Rt}△ CAD$ 中,$∠ CAD=90°$,$P$ 是斜边 $CD$ 的中点,所以 $PA=PC=\frac{1}{2}CD$,所以 $∠ ACD=∠ PAC$, 所以 $∠ APD=∠ ACD+∠ PAC=2∠ ACD$. 同理可得,在 $\mathrm{Rt}△ CED$ 中,$PE=PC=\frac{1}{2}CD$,$∠ DPE=2∠ DCB$, 所以 $PA = PE$, $∠ APE = ∠ APD+∠ DPE=2∠ ACD+2∠ DCB=2∠ ACB=60°$,所以 $△ PAE$ 是等边三角形.

1. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$E$是边$AC$上的动点(不与点$A$,$C$重合).设$M$为线段$BE$的中点,过点$E$作$EF⊥ AB$,垂足为$F$,连接$MC$,$MF$.若$∠ CBA=50°$,则在点$E$的运动过程中,$∠ CMF$的度数（）

A.等于$80°$
B.等于$100°$
C.等于$130°$
D.无法确定

1. B 提示:根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得 $MC=MB=ME$,$MF=MB=ME$,所以 $∠ CME = ∠ CBM + ∠ BCM = 2∠ CBM$,$∠ FME=2∠ FBM$,所以 $∠ CMF=2∠ CBA=100°$.

2. 如图，$∠ ABC=60°, AB=6$，动点$P$从点$B$出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线$BC$运动. 设点$P$的运动时间为$t\ \mathrm{s}$，当$△ ABP$为锐角三角形时，$t$的取值范围是.

2. $3＜t＜12$ 提示:当 $∠ APB=90°$ 时,$∠ BAP=30°$,所以 $BP=\frac{1}{2}AB=3$;当 $∠ BAP=90°$ 时,$∠ APB=30°$,所以 $BP=2AB=12$. 所以当 $3＜BP＜12$,即 $3＜t＜12$ 时,$△ ABP$ 为锐角三角形.

3. 如图, 在以 AB 为斜边的 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 和$\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ ACB=∠ ADB=90°$. 连接$CD$, 若 $CD=m$, $AB=2m$, 则 $∠ AEB=$
.

3. $120°$ 提示:如图,取 $AB$ 的中点 $F$,连接 $CF$,$DF$. 因为 $∠ ACB=∠ ADB=90°$,所以 $CF=\frac{1}{2}AB=DF$. 又因为 $CD=m$,$AB=2m$,所以 $CD=\frac{1}{2}AB$,所以 $CF=DF=CD$,所以 $△ CDF$ 是等边三角形,所以 $∠ CFD=60°$,所以 $∠ AFC+∠ BFD=120°$. 因为 $CF=BF$,$AF=DF$,所以 $∠ AFC=2∠ ABE$,$∠ BFD = 2∠ BAE$, 即 $∠ ABE = \frac{1}{2} ∠ AFC$,$∠ BAE = \frac{1}{2} ∠ BFD$. 所以 $∠ ABE + ∠ BAE =\frac{1}{2}(∠ AFC+∠ BFD)=\frac{1}{2} × 120°=60°$, 所以 $∠ AEB=180°-60°=120°$.

4. 如图,在等腰直角三角形$ABC$中,$∠ BAC=$$90^{ \circ }$,$AD ⊥ BC$于点$D$,$∠ ABC$的平分线分别交$AC$,$AD$于点$E$,$F$,$M$为$EF$的中点,$AM$的延长线交$BC$于点$N$,连接$DM$.现有下列结论:①$DF=DN$;②$△ DMN$为等腰三角形;③$MD$平分$∠ BMN$;④$AE=NC$.其中正确的结论是(填序号).

4. ①②③④ 提示:由条件,得 $∠ C=∠ ABC=45°$,$∠ CBE=∠ ABE=22.5°$,所以 $∠ AEF=∠ C+∠ CBE=67.5°$,$∠ AFE=∠ DFB=90°-∠ CBE=67.5°$,所以 $△ AFE$ 是等腰三角形. 又因为 $M$ 为 $EF$ 的中点,所以 $AM ⊥ EF$,所以 $∠ BAN=∠ BNA=67.5°$,所以 $△ ABN$ 是等腰三角形. 又因为 $BE$ 平分 $∠ ABC$,所以 $M$ 为 $AN$ 的中点. 因为 $AD ⊥ BC$,所以 $DM=MN$,所以 $△ DMN$ 为等腰三角形,故②正确. 因为 $BM ⊥ AN$,所以 $∠ DAN+∠ AFM=90°$. 又因为 $∠ FBD+∠ BFD=90°$,$∠ BFD=∠ AFM$,所以 $∠ FBD=∠ DAN$,易证 $△ BFD ≌ △ AND$,所以 $DF=DN$,故①正确. 因为 $△ DMN$ 为等腰三角形,$∠ BNA=67.5°$,所以 $∠ MDN=∠ MND=67.5°$,所以 $∠ DMN=180°-67.5° × 2=45°$,所以 $MD$ 平分 $∠ BMN$,故③正确. 由题条件可知 $AD=DC$,又因为 $DF=DN$,所以 $AF=CN$. 又因为 $AF=AE$,所以 $AE=CN$,故④正确.

5. 如图 1,在锐角三角形 ABC 中,CD,BE 分别是边 AB,AC 上的高,M,N 分别是线段BC,DE 的中点.
(1) 求证:$MN⊥ DE$.
(2) 连接 DM,ME,试猜想$∠ A$与$∠ DME$之间的关系,并证明你的猜想.
(3) 如图 2,当$∠ BAC$变为钝角时,(1)(2)中的结论是否都成立? 若结论成立,请直接回答,不需证明;若结论不成立,请说明理由.

5.(1) 证明:连接 $DM$,$ME$. 因为 $CD$,$BE$ 分别是边 $AB$,$AC$ 上的高,$M$ 是 $BC$ 的中点,所以 $DM=\frac{1}{2}BC$,$ME=\frac{1}{2}BC$,所以 $DM=ME$. 又因为 $N$ 是 $DE$ 的中点,所以 $MN ⊥ DE$.
(2) 解:$∠ DME=180°-2∠ A$. 证明如下:
在 $△ ABC$ 中,$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$. 因为 $DM=ME=BM=MC$,所以 $∠ BMD+∠ CME=(180°-2∠ ABC)+(180°-2∠ ACB)=360°-2(∠ ABC+∠ ACB)=360°-2(180°-∠ A)=2∠ A$,所以 $∠ DME=180°-2∠ A$.
(3) 解:结论(1)成立,结论(2)不成立. 理由如下:
连接 $DM$,$ME$. 同(1),易证 $MN ⊥ DE$,故(1)中结论成立. 在 $△ ABC$ 中,$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ BAC$. 因为 $DM=ME=BM=MC$,所以 $∠ BME+∠ CMD=2∠ ACB+2∠ ABC=2(180°-∠ BAC)=360°-2∠ BAC$,所以 $∠ DME=180°-(360°-2∠ BAC)=2∠ BAC-180°$. 故(2)中结论不成立.