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23. 下列是学习方程应用时，老师的板书和两名同学所列的方程(组).
问题:某人工作一年的报酬是年终给他一件衣服和17枚银币，但他干满7个月就决定不再继续干了，结账时，给了他一件衣服和2枚银币.这件衣服价值多少银币？他每月所得报酬是多少？
小刚所列方程组为$\begin{cases}7y=x+2, \\12y=x+17,\end{cases}$ 小强所列方程为$\dfrac{7(x+17)}{12}=x+2$.
根据以上信息，解答下列问题.
(1)以上两个方程(组)中$x$的意义是________，小刚所列的方程组中$y$的意义是________；
(2)小红发现可将小刚所列的方程组中的某个方程变形为用含$x$的代数式表示$y$，再将其代入另一个方程，即可得到小强所列的方程，请完成这一推导过程；
(3)请从以上两个方程(组)中任选一个，并完成老师提出的问题.
问题:某人工作一年的报酬是年终给他一件衣服和17枚银币，但他干满7个月就决定不再继续干了，结账时，给了他一件衣服和2枚银币.这件衣服价值多少银币？他每月所得报酬是多少？
小刚所列方程组为$\begin{cases}7y=x+2, \\12y=x+17,\end{cases}$ 小强所列方程为$\dfrac{7(x+17)}{12}=x+2$.
根据以上信息，解答下列问题.
(1)以上两个方程(组)中$x$的意义是________，小刚所列的方程组中$y$的意义是________；
(2)小红发现可将小刚所列的方程组中的某个方程变形为用含$x$的代数式表示$y$，再将其代入另一个方程，即可得到小强所列的方程，请完成这一推导过程；
(3)请从以上两个方程(组)中任选一个，并完成老师提出的问题.
答案
解：
(1) 这件衣服的价值（单位：银币）；他每月所得的报酬（单位：银币）
(2) 从小刚所列方程组的第二个方程$12y = x + 17$，
两边同时除以12，得$y=\dfrac{x+17}{12}$，
将$y=\dfrac{x+17}{12}$代入第一个方程$7y = x + 2$，
可得$7·\dfrac{x+17}{12}=x+2$，即$\dfrac{7(x+17)}{12}=x+2$，也就是小强所列的方程。
(3) 选择小强所列的方程求解：
$\dfrac{7(x+17)}{12}=x+2$
去分母，得$7(x+17)=12(x+2)$
去括号，得$7x + 119 = 12x + 24$
移项，得$7x - 12x = 24 - 119$
合并同类项，得$-5x = -95$
系数化为1，得$x=19$
每月所得报酬为$\dfrac{x+17}{12}=\dfrac{19+17}{12}=3$
答：这件衣服价值19枚银币，他每月所得报酬是3枚银币。
(1) 这件衣服的价值（单位：银币）；他每月所得的报酬（单位：银币）
(2) 从小刚所列方程组的第二个方程$12y = x + 17$，
两边同时除以12，得$y=\dfrac{x+17}{12}$，
将$y=\dfrac{x+17}{12}$代入第一个方程$7y = x + 2$，
可得$7·\dfrac{x+17}{12}=x+2$，即$\dfrac{7(x+17)}{12}=x+2$，也就是小强所列的方程。
(3) 选择小强所列的方程求解：
$\dfrac{7(x+17)}{12}=x+2$
去分母，得$7(x+17)=12(x+2)$
去括号，得$7x + 119 = 12x + 24$
移项，得$7x - 12x = 24 - 119$
合并同类项，得$-5x = -95$
系数化为1，得$x=19$
每月所得报酬为$\dfrac{x+17}{12}=\dfrac{19+17}{12}=3$
答：这件衣服价值19枚银币，他每月所得报酬是3枚银币。
解析
【分析】
(1) 结合题干报酬规则分析：一年报酬是1件衣服加17枚银币，7个月报酬是1件衣服加2枚银币。观察小刚的方程组，12y对应12个月总报酬，等于x+17，因此x代表衣服价值，y代表每月报酬；
(2) 推导小强的方程使用代入消元思路，先从表示12个月报酬的方程中把y用含x的代数式表示，再代入表示7个月报酬的方程，即可得到仅含x的一元一次方程；
(3) 若选一元一次方程求解，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的规范步骤计算，先求出衣服价值，再计算每月报酬即可。
【解析】
(1) 根据题意，12个月总报酬=衣服价值+17枚银币，7个月总报酬=衣服价值+2枚银币，因此x表示这件衣服的价值（单位：银币），小刚方程组中的y表示他每月所得的报酬（单位：银币）；
(2) 小刚所列方程组为$\begin{cases}7y=x+2① \\12y=x+17②\end{cases}$，将②式两边同时除以12，得$y=\dfrac{x+17}{12}$，将该式代入①式，可得$7×\dfrac{x+17}{12}=x+2$，即$\dfrac{7(x+17)}{12}=x+2$，就是小强所列的方程；
(3) 选择小强所列的方程求解：
$\dfrac{7(x+17)}{12}=x+2$
去分母，两边同时乘12得：$7(x+17)=12(x+2)$
去括号得：$7x + 119 = 12x + 24$
移项得：$7x - 12x = 24 - 119$
合并同类项得：$-5x = -95$
系数化为1得：$x=19$
每月所得报酬为$\dfrac{x+17}{12}=\dfrac{19+17}{12}=3$（枚银币）
【答案】
(1) 这件衣服的价值（单位：银币）；他每月所得的报酬（单位：银币）
(2) 推导过程见上述解析；
(3) 这件衣服价值19枚银币，他每月所得报酬是3枚银币。
【知识点】
代入消元法，一元一次方程求解，方程实际应用
【点评】
本题结合生活中的报酬结算场景，既考查了对未知数实际意义的理解，又考查了代入消元的数学思想和方程求解能力，能有效锻炼用方程解决实际问题的素养。
【难度系数】
0.7
(1) 结合题干报酬规则分析：一年报酬是1件衣服加17枚银币，7个月报酬是1件衣服加2枚银币。观察小刚的方程组，12y对应12个月总报酬，等于x+17，因此x代表衣服价值，y代表每月报酬；
(2) 推导小强的方程使用代入消元思路，先从表示12个月报酬的方程中把y用含x的代数式表示，再代入表示7个月报酬的方程，即可得到仅含x的一元一次方程；
(3) 若选一元一次方程求解，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的规范步骤计算，先求出衣服价值，再计算每月报酬即可。
【解析】
(1) 根据题意，12个月总报酬=衣服价值+17枚银币，7个月总报酬=衣服价值+2枚银币，因此x表示这件衣服的价值（单位：银币），小刚方程组中的y表示他每月所得的报酬（单位：银币）；
(2) 小刚所列方程组为$\begin{cases}7y=x+2① \\12y=x+17②\end{cases}$，将②式两边同时除以12，得$y=\dfrac{x+17}{12}$，将该式代入①式，可得$7×\dfrac{x+17}{12}=x+2$，即$\dfrac{7(x+17)}{12}=x+2$，就是小强所列的方程；
(3) 选择小强所列的方程求解：
$\dfrac{7(x+17)}{12}=x+2$
去分母，两边同时乘12得：$7(x+17)=12(x+2)$
去括号得：$7x + 119 = 12x + 24$
移项得：$7x - 12x = 24 - 119$
合并同类项得：$-5x = -95$
系数化为1得：$x=19$
每月所得报酬为$\dfrac{x+17}{12}=\dfrac{19+17}{12}=3$（枚银币）
【答案】
(1) 这件衣服的价值（单位：银币）；他每月所得的报酬（单位：银币）
(2) 推导过程见上述解析；
(3) 这件衣服价值19枚银币，他每月所得报酬是3枚银币。
【知识点】
代入消元法，一元一次方程求解，方程实际应用
【点评】
本题结合生活中的报酬结算场景，既考查了对未知数实际意义的理解，又考查了代入消元的数学思想和方程求解能力，能有效锻炼用方程解决实际问题的素养。
【难度系数】
0.7
24.【学习材料】
在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易.
例如：已知$\begin{cases}3x + 2y + z = 4①, \\7x + 4y + 3z = 10②,\end{cases}$求$2x + y + z$的值.
解：②－①，得$4x + 2y + 2z = 6③$.
③$× \frac{1}{2}$，得$2x + y + z = 3$，所以$2x + y + z$的值为3.
【类似迁移】
(1)已知$\begin{cases}x + 2y + 3z = 10①, \\5x + 6y + 7z = 26②,\end{cases}$则$3x + 4y + 5z$的值为 ______ ；
【实际应用】
(2)学校运动会即将到来，七(2)班学生准备购买若干啦啦队道具，积极筹备入场表演.根据商店的价格，若购买3条彩带、2个头饰、1面小红旗，需要28元；若购买7条彩带、5个头饰、3面小红旗，需要66元.七(2)班共45名同学，则购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要多少元？
在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易.
例如：已知$\begin{cases}3x + 2y + z = 4①, \\7x + 4y + 3z = 10②,\end{cases}$求$2x + y + z$的值.
解：②－①，得$4x + 2y + 2z = 6③$.
③$× \frac{1}{2}$，得$2x + y + z = 3$，所以$2x + y + z$的值为3.
【类似迁移】
(1)已知$\begin{cases}x + 2y + 3z = 10①, \\5x + 6y + 7z = 26②,\end{cases}$则$3x + 4y + 5z$的值为 ______ ；
【实际应用】
(2)学校运动会即将到来，七(2)班学生准备购买若干啦啦队道具，积极筹备入场表演.根据商店的价格，若购买3条彩带、2个头饰、1面小红旗，需要28元；若购买7条彩带、5个头饰、3面小红旗，需要66元.七(2)班共45名同学，则购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要多少元？
答案
解：(1)
①+②，得$6x+8y+10z=36$，
两边同时乘$\frac{1}{2}$，得$3x+4y+5z=18$。
故答案为：$\boldsymbol{18}$。
(2)设购买1条彩带需要$x$元，1个头饰需要$y$元，1面小红旗需要$z$元，根据题意得：
$\begin{cases}3x + 2y + z = 28 ①\\7x + 5y + 3z = 66 ②\end{cases}$
②$-$①，得$4x+3y+2z=38$ ③，
①$-$③，得$-x-y-z=-10$，
即$x+y+z=10$，
所以$45(x+y+z)=45×10=450$。
答：购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要450元。
①+②，得$6x+8y+10z=36$，
两边同时乘$\frac{1}{2}$，得$3x+4y+5z=18$。
故答案为：$\boldsymbol{18}$。
(2)设购买1条彩带需要$x$元，1个头饰需要$y$元，1面小红旗需要$z$元，根据题意得：
$\begin{cases}3x + 2y + z = 28 ①\\7x + 5y + 3z = 66 ②\end{cases}$
②$-$①，得$4x+3y+2z=38$ ③，
①$-$③，得$-x-y-z=-10$，
即$x+y+z=10$，
所以$45(x+y+z)=45×10=450$。
答：购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要450元。
解析
【分析】
本题考查整体思想在代数式求值中的应用，无需单独求解每个未知数，只需通过对已知方程加减变形得到目标代数式的整体值即可。
(1) 观察已知两个方程和待求式的系数：方程①与方程②中x、y、z的系数相加后，正好是待求式$3x+4y+5z$各项系数的2倍，因此将两个方程相加后除以2即可得到结果。
(2) 先根据题意设未知数列出三元一次方程组，待求总费用为$45(x+y+z)$，因此只需先求出$x+y+z$的整体值。观察两个已知方程的系数，通过两次作差变形即可得到$x+y+z$的值，再乘45即可得到总费用。
【解析】
(1) ①+②，得$6x+8y+10z=36$，
两边同时乘$\frac{1}{2}$，得$3x+4y+5z=18$。
(2) 设购买1条彩带需要$x$元，1个头饰需要$y$元，1面小红旗需要$z$元，根据题意得：
$\begin{cases}3x + 2y + z = 28 ①\\7x + 5y + 3z = 66 ②\end{cases}$
②$-$①，得$4x+3y+2z=38$ ③，
①$-$③，得$-x-y-z=-10$，
即$x+y+z=10$，
所以$45(x+y+z)=45×10=450$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{18}$；(2) 购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要$\boldsymbol{450}$元。
【知识点】
1. 整体代入求值 2. 三元一次方程组的应用 3. 代数式化简
【点评】
本题侧重考察整体思想的运用，解题时无需单独求出每个未知量的具体值，只需通过观察已知方程和目标代数式的系数关系，对已知方程进行加减变形即可得到结果，能有效锻炼学生的观察能力和整体运算思维。
【难度系数】
0.7
本题考查整体思想在代数式求值中的应用，无需单独求解每个未知数，只需通过对已知方程加减变形得到目标代数式的整体值即可。
(1) 观察已知两个方程和待求式的系数：方程①与方程②中x、y、z的系数相加后，正好是待求式$3x+4y+5z$各项系数的2倍，因此将两个方程相加后除以2即可得到结果。
(2) 先根据题意设未知数列出三元一次方程组，待求总费用为$45(x+y+z)$，因此只需先求出$x+y+z$的整体值。观察两个已知方程的系数，通过两次作差变形即可得到$x+y+z$的值，再乘45即可得到总费用。
【解析】
(1) ①+②，得$6x+8y+10z=36$，
两边同时乘$\frac{1}{2}$，得$3x+4y+5z=18$。
(2) 设购买1条彩带需要$x$元，1个头饰需要$y$元，1面小红旗需要$z$元，根据题意得：
$\begin{cases}3x + 2y + z = 28 ①\\7x + 5y + 3z = 66 ②\end{cases}$
②$-$①，得$4x+3y+2z=38$ ③，
①$-$③，得$-x-y-z=-10$，
即$x+y+z=10$，
所以$45(x+y+z)=45×10=450$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{18}$；(2) 购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要$\boldsymbol{450}$元。
【知识点】
1. 整体代入求值 2. 三元一次方程组的应用 3. 代数式化简
【点评】
本题侧重考察整体思想的运用，解题时无需单独求出每个未知量的具体值，只需通过观察已知方程和目标代数式的系数关系，对已知方程进行加减变形即可得到结果，能有效锻炼学生的观察能力和整体运算思维。
【难度系数】
0.7
