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25. 如图所示，将三角形ABC平移后，三角形ABC内任意一点$P(x_0,y_0)$的对应点为$P_1(x_0+5,y_0-3)$。
(1)三角形ABC的面积为；
(2)将三角形ABC平移后，顶点A,B,C的对应点分别为$A_1,B_1,C_1$，在图中画出三角形$A_1B_1C_1$；
(3)若三角形ABC外有一点M经过同样的平移后得到点$M_1(5,3)$，则点M的坐标为。
(1)三角形ABC的面积为；
(2)将三角形ABC平移后，顶点A,B,C的对应点分别为$A_1,B_1,C_1$，在图中画出三角形$A_1B_1C_1$；
(3)若三角形ABC外有一点M经过同样的平移后得到点$M_1(5,3)$，则点M的坐标为。
答案
(1) $\boldsymbol{8.5}$（或$\frac{17}{2}$）
(2) 按上述步骤作图即可
(3) $\boldsymbol{(0,6)}$
(2) 按上述步骤作图即可
(3) $\boldsymbol{(0,6)}$
解析
【分析】
(1) 求三角形ABC的面积，可使用割补法：先找到包含△ABC的最小矩形，计算矩形面积后，减去矩形内△ABC周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
(2) 首先根据点P与对应点P₁的坐标变化，确定平移规则为：横坐标加5（向右平移5个单位），纵坐标减3（向下平移3个单位）；再分别计算A、B、C三个顶点平移后的坐标，描出对应点后顺次连接，即可得到平移后的△A₁B₁C₁。
(3) 已知平移后的点M₁坐标求原坐标M，可根据平移规律逆推：原坐标的横坐标等于平移后横坐标减5，原坐标的纵坐标等于平移后纵坐标加3，代入计算即可。
【解析】
(1) 选取包含△ABC的最小矩形，横坐标范围为-4到0，纵坐标范围为-3到2，矩形的长为$0-(-4)=4$，宽为$2-(-3)=5$，矩形面积为$4×5=20$。
矩形内△ABC外有3个直角三角形：
① 直角边分别为1、4的三角形，面积为$\frac{1}{2}×1×4=2$；
② 直角边分别为3、5的三角形，面积为$\frac{1}{2}×3×5=7.5$；
③ 直角边分别为4、1的三角形，面积为$\frac{1}{2}×4×1=2$。
因此△ABC的面积为$20-2-7.5-2=8.5$（即$\frac{17}{2}$）。
(2) 根据平移规则，计算三个顶点平移后的坐标：
$A_1$坐标：$(-3+5,2-3)=(2,-1)$；
$B_1$坐标：$(-4+5,-2-3)=(1,-5)$；
$C_1$坐标：$(0+5,-3-3)=(5,-6)$。
在坐标系中描出$A_1(2,-1)$、$B_1(1,-5)$、$C_1(5,-6)$三个点，顺次连接即可得到△$A_1B_1C_1$。
(3) 设点M的坐标为$(x,y)$，根据平移规律可得：
$x+5=5$，$y-3=3$，
解得$x=0$，$y=6$，即点M的坐标为$(0,6)$。
【答案】
(1) $8.5$（或$\frac{17}{2}$）
(2) 描出$A_1(2,-1)$、$B_1(1,-5)$、$C_1(5,-6)$，顺次连接即可得到△$A_1B_1C_1$
(3) $(0,6)$
【知识点】
割补法求面积；坐标平移规律；平移的性质
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系中图形面积计算与平移的相关应用，重点需要掌握平移时点的坐标变化规律，以及割补法求不规则图形面积的方法，是坐标系章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
(1) 求三角形ABC的面积，可使用割补法：先找到包含△ABC的最小矩形，计算矩形面积后，减去矩形内△ABC周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
(2) 首先根据点P与对应点P₁的坐标变化，确定平移规则为：横坐标加5（向右平移5个单位），纵坐标减3（向下平移3个单位）；再分别计算A、B、C三个顶点平移后的坐标，描出对应点后顺次连接，即可得到平移后的△A₁B₁C₁。
(3) 已知平移后的点M₁坐标求原坐标M，可根据平移规律逆推：原坐标的横坐标等于平移后横坐标减5，原坐标的纵坐标等于平移后纵坐标加3，代入计算即可。
【解析】
(1) 选取包含△ABC的最小矩形，横坐标范围为-4到0，纵坐标范围为-3到2，矩形的长为$0-(-4)=4$，宽为$2-(-3)=5$，矩形面积为$4×5=20$。
矩形内△ABC外有3个直角三角形：
① 直角边分别为1、4的三角形，面积为$\frac{1}{2}×1×4=2$；
② 直角边分别为3、5的三角形，面积为$\frac{1}{2}×3×5=7.5$；
③ 直角边分别为4、1的三角形，面积为$\frac{1}{2}×4×1=2$。
因此△ABC的面积为$20-2-7.5-2=8.5$（即$\frac{17}{2}$）。
(2) 根据平移规则，计算三个顶点平移后的坐标：
$A_1$坐标：$(-3+5,2-3)=(2,-1)$；
$B_1$坐标：$(-4+5,-2-3)=(1,-5)$；
$C_1$坐标：$(0+5,-3-3)=(5,-6)$。
在坐标系中描出$A_1(2,-1)$、$B_1(1,-5)$、$C_1(5,-6)$三个点，顺次连接即可得到△$A_1B_1C_1$。
(3) 设点M的坐标为$(x,y)$，根据平移规律可得：
$x+5=5$，$y-3=3$，
解得$x=0$，$y=6$，即点M的坐标为$(0,6)$。
【答案】
(1) $8.5$（或$\frac{17}{2}$）
(2) 描出$A_1(2,-1)$、$B_1(1,-5)$、$C_1(5,-6)$，顺次连接即可得到△$A_1B_1C_1$
(3) $(0,6)$
【知识点】
割补法求面积；坐标平移规律；平移的性质
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系中图形面积计算与平移的相关应用，重点需要掌握平移时点的坐标变化规律，以及割补法求不规则图形面积的方法，是坐标系章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
26. 已知点 $ P(2a - 3, a + 6) $.
(1) 点 $ P $ 在 $ x $ 轴上, 求出点 $ P $ 的坐标;
(2) 点 $ Q $ 的坐标为 $ (3, 3) $, 直线 $ PQ // y $ 轴, 求出点 $ P $ 的坐标;
(3) 若点 $ P $ 在第二象限, 且它到 $ x $ 轴、$ y $ 轴的距离相等, 求 $ a^{2026} + 2025 $ 的值.
(1) 点 $ P $ 在 $ x $ 轴上, 求出点 $ P $ 的坐标;
(2) 点 $ Q $ 的坐标为 $ (3, 3) $, 直线 $ PQ // y $ 轴, 求出点 $ P $ 的坐标;
(3) 若点 $ P $ 在第二象限, 且它到 $ x $ 轴、$ y $ 轴的距离相等, 求 $ a^{2026} + 2025 $ 的值.
答案
解：
(1)
∵点P在x轴上，
∴点P的纵坐标为0，即$a+6=0$，
解得$a=-6$。
将$a=-6$代入横坐标$2a-3$，得$2×(-6)-3=-15$，
∴点P的坐标为$(-15, 0)$。
(2)
∵直线$PQ// y$轴，
∴点P和点Q的横坐标相等，即$2a-3=3$，
解得$a=3$。
将$a=3$代入纵坐标$a+6$，得$3+6=9$，
∴点P的坐标为$(3, 9)$。
(3)
∵点P在第二象限，且到x轴、y轴的距离相等，
∴点P的横、纵坐标互为相反数，即$(2a-3)+(a+6)=0$，
化简得$3a+3=0$，解得$a=-1$。
∴$a^{2026}+2025=(-1)^{2026}+2025=1+2025=2026$。
(1)
∵点P在x轴上，
∴点P的纵坐标为0，即$a+6=0$，
解得$a=-6$。
将$a=-6$代入横坐标$2a-3$，得$2×(-6)-3=-15$，
∴点P的坐标为$(-15, 0)$。
(2)
∵直线$PQ// y$轴，
∴点P和点Q的横坐标相等，即$2a-3=3$，
解得$a=3$。
将$a=3$代入纵坐标$a+6$，得$3+6=9$，
∴点P的坐标为$(3, 9)$。
(3)
∵点P在第二象限，且到x轴、y轴的距离相等，
∴点P的横、纵坐标互为相反数，即$(2a-3)+(a+6)=0$，
化简得$3a+3=0$，解得$a=-1$。
∴$a^{2026}+2025=(-1)^{2026}+2025=1+2025=2026$。
解析
【分析】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标相关性质，各小问解题思路如下：
(1) 已知点在x轴上时，纵坐标为0，据此列出关于a的方程求解a，再代入横坐标的表达式即可得到点P的坐标；
(2) 平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，因此点P的横坐标与点Q的横坐标相等，列方程求出a后代入纵坐标表达式，即可得到点P的坐标；
(3) 第二象限内的点横坐标为负、纵坐标为正，点到x轴、y轴的距离分别是纵坐标、横坐标的绝对值，距离相等说明横纵坐标互为相反数，据此列方程求出a的值，再代入代数式计算即可，注意负数的偶次幂为正数。
【解析】
(1)
∵点P在x轴上，
∴点P的纵坐标为0，即$a+6=0$，
解得$a=-6$。
将$a=-6$代入横坐标$2a-3$，得$2×(-6)-3=-15$，
∴点P的坐标为$(-15, 0)$。
(2)
∵直线$PQ// y$轴，
∴点P和点Q的横坐标相等，即$2a-3=3$，
解得$a=3$。
将$a=3$代入纵坐标$a+6$，得$3+6=9$，
∴点P的坐标为$(3, 9)$。
(3)
∵点P在第二象限，且到x轴、y轴的距离相等，
∴点P的横、纵坐标互为相反数，即$(2a-3)+(a+6)=0$，
化简得$3a+3=0$，解得$a=-1$。
∴$a^{2026}+2025=(-1)^{2026}+2025=1+2025=2026$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-15, 0)}$；(2) $\boldsymbol{(3, 9)}$；(3) $\boldsymbol{2026}$
【知识点】
坐标轴上点的坐标特征；平行于y轴的点的坐标规律；象限内点的坐标性质
【点评】
本题属于平面直角坐标系的基础题型，重点考查不同位置下点的坐标对应的规律，解题时只要准确对应位置特征列出方程，注意计算时的符号判断，即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
本题考查平面直角坐标系中点的坐标相关性质，各小问解题思路如下：
(1) 已知点在x轴上时，纵坐标为0，据此列出关于a的方程求解a，再代入横坐标的表达式即可得到点P的坐标；
(2) 平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，因此点P的横坐标与点Q的横坐标相等，列方程求出a后代入纵坐标表达式，即可得到点P的坐标；
(3) 第二象限内的点横坐标为负、纵坐标为正，点到x轴、y轴的距离分别是纵坐标、横坐标的绝对值，距离相等说明横纵坐标互为相反数，据此列方程求出a的值，再代入代数式计算即可，注意负数的偶次幂为正数。
【解析】
(1)
∵点P在x轴上，
∴点P的纵坐标为0，即$a+6=0$，
解得$a=-6$。
将$a=-6$代入横坐标$2a-3$，得$2×(-6)-3=-15$，
∴点P的坐标为$(-15, 0)$。
(2)
∵直线$PQ// y$轴，
∴点P和点Q的横坐标相等，即$2a-3=3$，
解得$a=3$。
将$a=3$代入纵坐标$a+6$，得$3+6=9$，
∴点P的坐标为$(3, 9)$。
(3)
∵点P在第二象限，且到x轴、y轴的距离相等，
∴点P的横、纵坐标互为相反数，即$(2a-3)+(a+6)=0$，
化简得$3a+3=0$，解得$a=-1$。
∴$a^{2026}+2025=(-1)^{2026}+2025=1+2025=2026$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-15, 0)}$；(2) $\boldsymbol{(3, 9)}$；(3) $\boldsymbol{2026}$
【知识点】
坐标轴上点的坐标特征；平行于y轴的点的坐标规律；象限内点的坐标性质
【点评】
本题属于平面直角坐标系的基础题型，重点考查不同位置下点的坐标对应的规律，解题时只要准确对应位置特征列出方程，注意计算时的符号判断，即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
