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一、有7包威化饼干,其中6包质量相同,另有1包质量稍轻,小优设计了用天平找这包威化饼干的方案,请你帮她填写完整。
答案
3 3 3 3 1 平衡 1
解析
【分析】
这是典型的找次品问题，解题核心是利用天平平衡的原理，每次称量时尽量把待测物品平均分成3份，这样每次称量后可以排除最多的合格物品，用最少的称量次数找到次品。首先把7包饼干分成3份（3包、3包、1包），第一次先称两份3包的：如果天平平衡，剩下的1包就是质量稍轻的；如果不平衡，次品在较轻的那3包中，再把这3包分成3份（每份1包），第二次称其中两份1包的，再根据平衡情况就能找到次品。
【解析】
我们按称量步骤依次填空：
1. 首先将7包威化饼干分成3份，第一空填3；
2. 第一次称量时天平两边各放3包，第二空填3；
3. 若天平不平衡，次品在较轻一侧的3包中，第三空填3；
4. 把这3包分成3份，每份1包，第四空填3；
5. 第二次称量时天平两边各放1包，第五空填1；
6. 若此时天平平衡，剩下的1包就是质量稍轻的，第六空填平衡，第七空填1。
【答案】
3；3；3；3；1；平衡；1
【知识点】
找次品策略；天平平衡原理；优化思想
【点评】
本题是找次品的基础应用，只要掌握把待测物品分成3份的最优称量策略，就能快速理清步骤、填出答案，能很好地锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
这是典型的找次品问题，解题核心是利用天平平衡的原理，每次称量时尽量把待测物品平均分成3份，这样每次称量后可以排除最多的合格物品，用最少的称量次数找到次品。首先把7包饼干分成3份（3包、3包、1包），第一次先称两份3包的：如果天平平衡，剩下的1包就是质量稍轻的；如果不平衡，次品在较轻的那3包中，再把这3包分成3份（每份1包），第二次称其中两份1包的，再根据平衡情况就能找到次品。
【解析】
我们按称量步骤依次填空：
1. 首先将7包威化饼干分成3份，第一空填3；
2. 第一次称量时天平两边各放3包，第二空填3；
3. 若天平不平衡，次品在较轻一侧的3包中，第三空填3；
4. 把这3包分成3份，每份1包，第四空填3；
5. 第二次称量时天平两边各放1包，第五空填1；
6. 若此时天平平衡，剩下的1包就是质量稍轻的，第六空填平衡，第七空填1。
【答案】
3；3；3；3；1；平衡；1
【知识点】
找次品策略；天平平衡原理；优化思想
【点评】
本题是找次品的基础应用，只要掌握把待测物品分成3份的最优称量策略，就能快速理清步骤、填出答案，能很好地锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
二、药箱中有11瓶钙片，其中1瓶多放了2片，用没有砝码的天平称，至少称几次一定能找出那瓶多放了2片的钙片？你能用图示的方法表示吗？
答案
将11瓶钙片分成3份(4,4,3)
第一次称：天平两端各放4瓶
├─ 天平平衡：次品在剩余3瓶中，将3瓶分成(1,1,1)
│ └─ 第二次称：天平两端各放1瓶，即可找出次品
└─ 天平不平衡：次品在重端的4瓶中，将4瓶分成(2,2)
└─ 第二次称：天平两端各放2瓶，次品在重端的2瓶中，将2瓶分成(1,1)
└─ 第三次称：天平两端各放1瓶，重端的就是次品
答：至少称3次一定能找出那瓶多放了2片的钙片。
第一次称：天平两端各放4瓶
├─ 天平平衡：次品在剩余3瓶中，将3瓶分成(1,1,1)
│ └─ 第二次称：天平两端各放1瓶，即可找出次品
└─ 天平不平衡：次品在重端的4瓶中，将4瓶分成(2,2)
└─ 第二次称：天平两端各放2瓶，次品在重端的2瓶中，将2瓶分成(1,1)
└─ 第三次称：天平两端各放1瓶，重端的就是次品
答：至少称3次一定能找出那瓶多放了2片的钙片。
解析
【分析】
要找出多了2片的较重次品钙片，需用找次品的最优思路：每次称量时将待检测物品尽可能平均分成3份，这样每次称量后可将次品范围缩小到原来的1/3，同时要考虑最不利的情况（即每次次品都在数量更多的分组中），才能得到保证一定能找出次品的最少称量次数。首先将11瓶分成尽可能均等的3份：4瓶、4瓶、3瓶，先称量数量相等的两组，再根据天平平衡情况判断次品所在分组，继续分组称量即可。
【解析】
称量步骤如下：
1. 分组：将11瓶钙片分成3份(4,4,3)
第一次称量：天平两端各放4瓶，分两种情况：
情况一：天平平衡，说明次品在剩余的3瓶中
把这3瓶分成(1,1,1)，第二次称量：天平两端各放1瓶，若平衡则剩余1瓶是次品，若不平衡则重的一端是次品，这种情况共需称量2次。
情况二：天平不平衡，说明次品在重的一端的4瓶中
把这4瓶分成(2,2)，第二次称量：天平两端各放2瓶，次品在重的一端的2瓶中；
再把这2瓶分成(1,1)，第三次称量：天平两端各放1瓶，重的一端就是次品，这种最不利的情况共需称量3次。
由于要保证一定能找出次品，需按最不利情况计算，因此最少需要3次。
称量过程图示：
第一次称：天平两端各放4瓶
├─ 天平平衡：次品在剩余3瓶中，将3瓶分成(1,1,1)
│ └─ 第二次称：天平两端各放1瓶，即可找出次品
└─ 天平不平衡：次品在重端的4瓶中，将4瓶分成(2,2)
└─ 第二次称：天平两端各放2瓶，次品在重端的2瓶中，将2瓶分成(1,1)
└─ 第三次称：天平两端各放1瓶，重端的就是次品
【答案】
至少称3次一定能找出那瓶多放了2片的钙片。
【知识点】
找次品问题、最优分组策略、天平平衡原理
【点评】
本题是找次品的典型应用，解题核心是掌握“尽可能将待检测物品平均分成3份”的优化策略，能够快速缩小次品所在范围，解题时需注意考虑最不利情形，才能得出保证找出次品的最少称量次数。
【难度系数】
0.7
要找出多了2片的较重次品钙片，需用找次品的最优思路：每次称量时将待检测物品尽可能平均分成3份，这样每次称量后可将次品范围缩小到原来的1/3，同时要考虑最不利的情况（即每次次品都在数量更多的分组中），才能得到保证一定能找出次品的最少称量次数。首先将11瓶分成尽可能均等的3份：4瓶、4瓶、3瓶，先称量数量相等的两组，再根据天平平衡情况判断次品所在分组，继续分组称量即可。
【解析】
称量步骤如下：
1. 分组：将11瓶钙片分成3份(4,4,3)
第一次称量：天平两端各放4瓶，分两种情况：
情况一：天平平衡，说明次品在剩余的3瓶中
把这3瓶分成(1,1,1)，第二次称量：天平两端各放1瓶，若平衡则剩余1瓶是次品，若不平衡则重的一端是次品，这种情况共需称量2次。
情况二：天平不平衡，说明次品在重的一端的4瓶中
把这4瓶分成(2,2)，第二次称量：天平两端各放2瓶，次品在重的一端的2瓶中；
再把这2瓶分成(1,1)，第三次称量：天平两端各放1瓶，重的一端就是次品，这种最不利的情况共需称量3次。
由于要保证一定能找出次品，需按最不利情况计算，因此最少需要3次。
称量过程图示：
第一次称：天平两端各放4瓶
├─ 天平平衡：次品在剩余3瓶中，将3瓶分成(1,1,1)
│ └─ 第二次称：天平两端各放1瓶，即可找出次品
└─ 天平不平衡：次品在重端的4瓶中，将4瓶分成(2,2)
└─ 第二次称：天平两端各放2瓶，次品在重端的2瓶中，将2瓶分成(1,1)
└─ 第三次称：天平两端各放1瓶，重端的就是次品
【答案】
至少称3次一定能找出那瓶多放了2片的钙片。
【知识点】
找次品问题、最优分组策略、天平平衡原理
【点评】
本题是找次品的典型应用，解题核心是掌握“尽可能将待检测物品平均分成3份”的优化策略，能够快速缩小次品所在范围，解题时需注意考虑最不利情形，才能得出保证找出次品的最少称量次数。
【难度系数】
0.7
三、有9颗外形完全相同的珍珠，其中8颗是真的，另1颗是假的，假的珍珠比真的珍珠略重。
1. 用天平称，至少称几次能保证找出这颗假珍珠？
2. 如果天平两端各放4颗，称一次有可能称出来吗？
1. 用天平称，至少称几次能保证找出这颗假珍珠？
2. 如果天平两端各放4颗，称一次有可能称出来吗？
答案
1. 2次
2. 有可能
2. 有可能
解析
【分析】
解决找次品问题的最优思路是将物品尽量平均分成3份，这样每次称重能最大范围排除正品，缩小次品所在范围。第1问要求“保证找出”，需要考虑最不利的情况：先把9颗珍珠平均分成3份，每份3颗，第一次称重先排除2/3的正品，锁定次品在3颗的范围内；第二次再把3颗分成3份每份1颗，称重就能找出次品。第2问判断“称一次有没有可能”，不需要考虑最不利情况，只要存在一次称重就找到的情况即可：如果两端各放4颗时天平刚好平衡，剩下的1颗就是次品，因此是有可能的。
【解析】
1. 第一步：将9颗珍珠平均分成3份，每份3颗，取其中两份分别放在天平两端称重。
若天平平衡，说明假珍珠在未称重的3颗中；若天平不平衡，假珍珠在较重的那3颗中。
第二步：将含有假珍珠的3颗再平均分成3份，每份1颗，取其中2颗放在天平两端称重。
若天平平衡，未称重的1颗就是假珍珠；若天平不平衡，较重的那颗就是假珍珠。
因此至少称2次能保证找出假珍珠。
2. 如果天平两端各放4颗珍珠，若此时天平恰好平衡，说明这8颗都是真珍珠，剩下未称重的1颗就是假珍珠，因此称一次有可能称出来。
【答案】
1. 2次
2. 有可能
【知识点】
1. 找次品问题
2. 三分法找次品策略
3. 天平平衡原理
【点评】
本题重点考查找次品的最优策略以及对“保证找到”和“可能找到”两种要求的区分，解题核心是掌握将物品平均分成3份来缩小次品范围的方法，同时注意可能性判断只需要存在符合条件的情况即可。
【难度系数】
0.75
解决找次品问题的最优思路是将物品尽量平均分成3份，这样每次称重能最大范围排除正品，缩小次品所在范围。第1问要求“保证找出”，需要考虑最不利的情况：先把9颗珍珠平均分成3份，每份3颗，第一次称重先排除2/3的正品，锁定次品在3颗的范围内；第二次再把3颗分成3份每份1颗，称重就能找出次品。第2问判断“称一次有没有可能”，不需要考虑最不利情况，只要存在一次称重就找到的情况即可：如果两端各放4颗时天平刚好平衡，剩下的1颗就是次品，因此是有可能的。
【解析】
1. 第一步：将9颗珍珠平均分成3份，每份3颗，取其中两份分别放在天平两端称重。
若天平平衡，说明假珍珠在未称重的3颗中；若天平不平衡，假珍珠在较重的那3颗中。
第二步：将含有假珍珠的3颗再平均分成3份，每份1颗，取其中2颗放在天平两端称重。
若天平平衡，未称重的1颗就是假珍珠；若天平不平衡，较重的那颗就是假珍珠。
因此至少称2次能保证找出假珍珠。
2. 如果天平两端各放4颗珍珠，若此时天平恰好平衡，说明这8颗都是真珍珠，剩下未称重的1颗就是假珍珠，因此称一次有可能称出来。
【答案】
1. 2次
2. 有可能
【知识点】
1. 找次品问题
2. 三分法找次品策略
3. 天平平衡原理
【点评】
本题重点考查找次品的最优策略以及对“保证找到”和“可能找到”两种要求的区分，解题核心是掌握将物品平均分成3份来缩小次品范围的方法，同时注意可能性判断只需要存在符合条件的情况即可。
【难度系数】
0.75
