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四、有16把锁，其中15把质量相同，另有1把是次品，质量稍轻一些。用天平称，至少称多少次可以保证把次品找出来？
答案
3次
解析
【分析】
首先明确题目中“至少称多少次保证找到次品”的要求，指的是需要考虑最不利的称量情况，不能按运气好的特殊情况计算次数。解决找次品问题的最优思路是把待测物品尽可能平均分成3份，这样每次称量后，能最大范围排除正品，把次品所在的范围缩到最小，我们按照这个思路逐步推导即可得到结果。
【解析】
我们按照最优分组策略逐步操作：
1. 第一次称量：把16把锁分成3份，分别是5把、5把、6把，将两份5把的分别放在天平两端。
若天平平衡：次品在剩下的6把中；
若天平不平衡：次品在轻的那5把中。
2. 第二次称量：
若次品在6把中：把6把平均分成3份，每份2把，取其中两份各2把放在天平两端，不管平衡与否，次品都在其中2把里；
若次品在5把中：把5把分成2把、2把、1把，将两份2把的放在天平两端，最不利情况下天平不平衡，次品在轻的2把里。
3. 第三次称量：把含次品的2把分别放在天平两端，轻的那把就是次品。
综上，最多需要3次就一定能找出次品。
【答案】
3次
【知识点】
找次品问题、最优分组策略、逻辑推理
【点评】
本题考查找次品的核心解法，关键是掌握“尽量将待测物品平均分成3份”的分组原则，同时要注意“保证”的含义是要考虑最不利的称量情况，避免按幸运情况计算次数。
【难度系数】
0.6
首先明确题目中“至少称多少次保证找到次品”的要求，指的是需要考虑最不利的称量情况，不能按运气好的特殊情况计算次数。解决找次品问题的最优思路是把待测物品尽可能平均分成3份，这样每次称量后，能最大范围排除正品，把次品所在的范围缩到最小，我们按照这个思路逐步推导即可得到结果。
【解析】
我们按照最优分组策略逐步操作：
1. 第一次称量：把16把锁分成3份，分别是5把、5把、6把，将两份5把的分别放在天平两端。
若天平平衡：次品在剩下的6把中；
若天平不平衡：次品在轻的那5把中。
2. 第二次称量：
若次品在6把中：把6把平均分成3份，每份2把，取其中两份各2把放在天平两端，不管平衡与否，次品都在其中2把里；
若次品在5把中：把5把分成2把、2把、1把，将两份2把的放在天平两端，最不利情况下天平不平衡，次品在轻的2把里。
3. 第三次称量：把含次品的2把分别放在天平两端，轻的那把就是次品。
综上，最多需要3次就一定能找出次品。
【答案】
3次
【知识点】
找次品问题、最优分组策略、逻辑推理
【点评】
本题考查找次品的核心解法，关键是掌握“尽量将待测物品平均分成3份”的分组原则，同时要注意“保证”的含义是要考虑最不利的称量情况，避免按幸运情况计算次数。
【难度系数】
0.6
五、李师傅加工了6个零件，其中5个零件的质量都是300 g，另1个零件不是300 g，但是不知道是比300 g重还是轻。如果用天平称，至少称几次可以保证找出这个零件？
答案
3次
解析
【分析】
解决这道找次品问题，首先要用到找次品的最优分组思路：将物品尽量平均分成3组，这样每次称重能最大范围排除正品。本题的特殊点是不知道次品比300g重还是轻，所以除了定位次品位置，还需要先判断次品的轻重，我们要考虑最不利的称重情况，计算保证找出次品的最少次数。首先把6个零件平均分成3组，每组2个，先称前两组，分平衡和不平衡两种情况逐步推理即可。
【解析】
我们把6个零件平均分成3组，每组2个，分别记为A组、B组、C组，步骤如下：
1. 第一次称重：将A组和B组放在天平两端
情况1：天平平衡，说明次品在C组中，A、B组全是正品。第二次称重取1个正品和C组的第1个零件称重，若平衡，次品就是C组剩下的1个；若不平衡，次品就是C组被称的这个。这种情况2次就能找到，但要考虑最不利的情况。
情况2：天平不平衡，说明次品在A组或B组中，C组全是正品，此时记住天平的倾斜方向（比如A组重、B组轻）。
2. 第二次称重：将A组和C组（全正品）放在天平两端
若天平平衡，说明次品在B组，且次品比正品轻；若天平不平衡，说明次品在A组，且次品比正品重。
3. 第三次称重：取有次品的那组的2个零件放在天平两端，根据之前判断的次品轻重，就能直接找出次品。
综上，最不利的情况下需要称3次，才能保证找出这个零件。
【答案】
3次
【知识点】
找次品问题；优化分组策略；天平平衡原理
【点评】
这道题是找次品的变式题，解题核心是合理分组，同时要注意次品轻重未知的情况，需要多一步判断次品的轻重，能很好地锻炼逻辑推理能力和分类讨论意识。
【难度系数】
0.4
解决这道找次品问题，首先要用到找次品的最优分组思路：将物品尽量平均分成3组，这样每次称重能最大范围排除正品。本题的特殊点是不知道次品比300g重还是轻，所以除了定位次品位置，还需要先判断次品的轻重，我们要考虑最不利的称重情况，计算保证找出次品的最少次数。首先把6个零件平均分成3组，每组2个，先称前两组，分平衡和不平衡两种情况逐步推理即可。
【解析】
我们把6个零件平均分成3组，每组2个，分别记为A组、B组、C组，步骤如下：
1. 第一次称重：将A组和B组放在天平两端
情况1：天平平衡，说明次品在C组中，A、B组全是正品。第二次称重取1个正品和C组的第1个零件称重，若平衡，次品就是C组剩下的1个；若不平衡，次品就是C组被称的这个。这种情况2次就能找到，但要考虑最不利的情况。
情况2：天平不平衡，说明次品在A组或B组中，C组全是正品，此时记住天平的倾斜方向（比如A组重、B组轻）。
2. 第二次称重：将A组和C组（全正品）放在天平两端
若天平平衡，说明次品在B组，且次品比正品轻；若天平不平衡，说明次品在A组，且次品比正品重。
3. 第三次称重：取有次品的那组的2个零件放在天平两端，根据之前判断的次品轻重，就能直接找出次品。
综上，最不利的情况下需要称3次，才能保证找出这个零件。
【答案】
3次
【知识点】
找次品问题；优化分组策略；天平平衡原理
【点评】
这道题是找次品的变式题，解题核心是合理分组，同时要注意次品轻重未知的情况，需要多一步判断次品的轻重，能很好地锻炼逻辑推理能力和分类讨论意识。
【难度系数】
0.4
六、暑假的一天，小培和小优完成暑假作业后，两人从储蓄罐里拿出零用钱，兴高采烈地去超市买了几袋彩虹糖分着吃。两人最多买了多少袋彩虹糖？
答案
81袋
解析
【分析】
首先明确被吃了几颗的那袋彩虹糖质量更轻，是要找的次品。用天平找次品的最优策略是每次把待测物品平均分成3份，这样每次称量后，可将次品所在范围缩小到原来的1/3，称量效率最高。要保证称4次找到次品，我们可以根据称量次数推导最多的物品总数：每多称1次，最多可检测的物品数量就是前一次的3倍，称4次的最多数量就是4个3相乘的结果。
【解析】
用天平找次品时，每次将待测物品分成3份称量，称量n次最多可保证从$3^n$个物品中找到次品。
当称量次数为4次时，最多的彩虹糖袋数为：
$3×3×3×3=81$（袋）
【答案】
81袋
【知识点】
找次品问题，优化策略
【点评】
本题结合生活场景考查找次品的实际应用，解题关键是理解分3份称量的最优策略，掌握称量次数和待测物品最大数量的对应关系，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.7
首先明确被吃了几颗的那袋彩虹糖质量更轻，是要找的次品。用天平找次品的最优策略是每次把待测物品平均分成3份，这样每次称量后，可将次品所在范围缩小到原来的1/3，称量效率最高。要保证称4次找到次品，我们可以根据称量次数推导最多的物品总数：每多称1次，最多可检测的物品数量就是前一次的3倍，称4次的最多数量就是4个3相乘的结果。
【解析】
用天平找次品时，每次将待测物品分成3份称量，称量n次最多可保证从$3^n$个物品中找到次品。
当称量次数为4次时，最多的彩虹糖袋数为：
$3×3×3×3=81$（袋）
【答案】
81袋
【知识点】
找次品问题，优化策略
【点评】
本题结合生活场景考查找次品的实际应用，解题关键是理解分3份称量的最优策略，掌握称量次数和待测物品最大数量的对应关系，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.7
1把钥匙开1把锁。现在有6把钥匙和6把锁，但不知道哪把钥匙配哪把锁，那么至少要试多少次才能把钥匙和锁全部匹配？
答案
15次
解析
【分析】
要保证把所有钥匙和锁全部匹配，需要考虑最不利（运气最差）的情况：每一把锁都要试到最后1把不对的钥匙，才能确定剩下的那把就是正确的。我们从第一把锁开始依次分析：开第一把锁时，有6把钥匙，最多试5次就能确定正确的钥匙（如果前5把都不对，第6把一定是，不用再试）；第一把锁匹配成功后，剩下5把钥匙和5把锁，同理第二把锁最多试4次；以此类推，直到剩下最后1把钥匙和1把锁，不用尝试就必然匹配，最后把所有需要试的次数相加即可。
【解析】
按照最不利原则计算：
开第1把锁最多需要试：$6-1=5$（次）
开第2把锁最多需要试：$5-1=4$（次）
开第3把锁最多需要试：$4-1=3$（次）
开第4把锁最多需要试：$3-1=2$（次）
开第5把锁最多需要试：$2-1=1$（次）
最后剩余1把钥匙和1把锁，无需尝试直接匹配。
总次数：$5+4+3+2+1=15$（次）
【答案】
15次
【知识点】
最不利原则、加法计算、搭配推理
【点评】
这道题的核心是运用最不利原则思考问题，要注意每成功匹配一组钥匙和锁后，剩余的钥匙和锁数量都减1，且最后一组不需要额外尝试，避免多算次数。
【难度系数】
0.6
要保证把所有钥匙和锁全部匹配，需要考虑最不利（运气最差）的情况：每一把锁都要试到最后1把不对的钥匙，才能确定剩下的那把就是正确的。我们从第一把锁开始依次分析：开第一把锁时，有6把钥匙，最多试5次就能确定正确的钥匙（如果前5把都不对，第6把一定是，不用再试）；第一把锁匹配成功后，剩下5把钥匙和5把锁，同理第二把锁最多试4次；以此类推，直到剩下最后1把钥匙和1把锁，不用尝试就必然匹配，最后把所有需要试的次数相加即可。
【解析】
按照最不利原则计算：
开第1把锁最多需要试：$6-1=5$（次）
开第2把锁最多需要试：$5-1=4$（次）
开第3把锁最多需要试：$4-1=3$（次）
开第4把锁最多需要试：$3-1=2$（次）
开第5把锁最多需要试：$2-1=1$（次）
最后剩余1把钥匙和1把锁，无需尝试直接匹配。
总次数：$5+4+3+2+1=15$（次）
【答案】
15次
【知识点】
最不利原则、加法计算、搭配推理
【点评】
这道题的核心是运用最不利原则思考问题，要注意每成功匹配一组钥匙和锁后，剩余的钥匙和锁数量都减1，且最后一组不需要额外尝试，避免多算次数。
【难度系数】
0.6
