12. 如图，在正五边形ABCDE中，∠CAD的度数为（）

A.$30°$
B.$36°$
C.$40°$
D.$45°$

B

首先计算正五边形的内角度数：正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$540°÷5=108°$，即$∠ BAE=∠ ABC=∠ AED=108°$。
由正五边形边长相等可知$AB=BC$，$△ ABC$为等腰三角形，因此$∠ BAC=\frac{180°-108°}{2}=36°$，同理可得$∠ DAE=36°$。
最终计算$∠ CAD=∠ BAE-∠ BAC-∠ DAE=108°-36°-36°=36°$。

13. 如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E，F分别是BC，OB的中点，连接DE，EF. 若$EF=2$，则DE的长为（）

A.$2\sqrt{10}$
B.$4\sqrt{10}$
C.$4+2\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{6}$

A

1. 由E，F分别是BC，OB的中点，可知EF是△OBC的中位线，根据三角形中位线性质得：$EF=\frac{1}{2}OC$，代入$EF=2$，解得$OC=4$。
2. 根据正方形对角线的性质：正方形对角线互相垂直平分且相等，得$OB=OC=4$，$∠ BOC=90°$，$∠ BCD=90°$。在$Rt△ BOC$中，由勾股定理得$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，因此$CD=BC=4\sqrt{2}$。
3. 因为E是BC中点，所以$CE=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{2}$。
4. 在$Rt△ DCE$中，由勾股定理得：$DE=\sqrt{CD^2+CE^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{32+8}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。