12. 小明在计算一个多项式乘$-2x^2 + x - 1$时，因看错运算符号，变成了加上$-2x^2 + x - 1$，得到的结果为$-2x^2 + x - 1$，请你帮助小明得到正确的计算结果.

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设这个多项式为$A$，根据题意，小明错误的计算是$A + (-2x^2 + x -1) = -2x^2 + x -1$，所以$A = (-2x^2 + x -1) - (-2x^2 + x -1) = 0$。那么正确的计算结果为$A · (-2x^2 + x -1) = 0 · (-2x^2 + x -1) = 0$。

13. 一个长方形的长减少5 cm，宽增加2 cm，就变成了一个正方形，并且这两个图形的面积相等，求原长方形的面积.

$\frac{100}{9}\ \mathrm{cm}^2$

设正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，则原长方形的长为$(x + 5)\ \mathrm{cm}$，宽为$(x - 2)\ \mathrm{cm}$。根据两个图形面积相等，列方程：$(x + 5)(x - 2) = x^2$，展开得$x^2 + 3x - 10 = x^2$，化简得$3x = 10$，解得$x = \frac{10}{3}$。原长方形面积等于正方形面积，即$x^2 = (\frac{10}{3})^2 = \frac{100}{9}\ \mathrm{cm}^2$。

14. (1) 计算下列各式：
① $(x-1)(x+1)=$ ______；
② $(x-1)(x^2+x+1)=$ ______；
③ $(x-1)(x^3+x^2+x+1)=$ ______；
……
由此,猜想得出:$(x-1)(x^{99}+x^{98}+x^{97}+···+x+1)=$ ______.
(2) 观察你所得到的结果,你发现了什么规律? 根据你的结论填空:
$(x-1)(x^n+x^{n-1}+x^{n-2}+···+x+1)=$ ______($n$ 为正整数).
(3) 利用上面的规律,计算:
① $2^{99}+2^{98}+2^{97}+···+2+1$；
② $5^{2\,017}+5^{2\,016}+5^{2\,015}+···+5^2+5+1$.

（1）①$x^2 -1$；②$x^3 -1$；③$x^4 -1$；$x^{100}-1$；
（2）$x^{n+1}-1$；
（3）①$2^{100}-1$；②$\frac{5^{2018}-1}{4}$。

（1）①根据平方差公式：$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，得$(x-1)(x+1)=x^2 -1$；
②多项式乘多项式展开计算：$(x-1)(x^2+x+1)=x^3+x^2+x -x^2 -x -1=x^3 -1$；
③同理可得：$(x-1)(x^3+x^2+x+1)=x^4 -1$；由此猜想：$(x-1)(x^{99}+x^{98}+…+x+1)=x^{100}-1$；
（2）观察上述结果，总结规律：$(x-1)(x^n +x^{n-1}+…+x+1)=x^{n+1}-1$（$n$为正整数）；
（3）①利用规律，原式变形为$\frac{2^{100}-1}{2-1}=2^{100}-1$；
②同理，原式变形为$\frac{5^{2018}-1}{5-1}=\frac{5^{2018}-1}{4}$。