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15. （6分）如图，某公园有一块长为 $ (3a+b) $ m、宽为 $ (2a+b) $ m 的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座雕像，其底座是边长为 $ (a+b) $ m 的正方形。求绿化的面积是多少平方米，并求出当 $ a=3 $，$ b=2 $ 时的绿化面积。
答案
15. 解：$ S_{阴影} = (3a + b)(2a + b) - (a + b)^{2} = 6a^{2} + 3ab + 2ab + b^{2} - a^{2} - 2ab - b^{2} = 5a^{2} + 3ab(m^{2}) $，
所以，绿化的面积是 $ (5a^{2} + 3ab)m^{2} $。
当 $ a = 3 $，$ b = 2 $ 时，
原式 $ = 5× 3^{2} + 3× 3× 2 = 45 + 18 = 63(m^{2}) $，
所以，当 $ a = 3 $，$ b = 2 $ 时的绿化面积为 $ 63m^{2} $。
所以，绿化的面积是 $ (5a^{2} + 3ab)m^{2} $。
当 $ a = 3 $，$ b = 2 $ 时，
原式 $ = 5× 3^{2} + 3× 3× 2 = 45 + 18 = 63(m^{2}) $，
所以，当 $ a = 3 $，$ b = 2 $ 时的绿化面积为 $ 63m^{2} $。
解析
【分析】
这道题求阴影部分的绿化面积，我们可以用“整体减空白”的思路来推导：第一步先根据长方形面积公式算出整个地块的总面积，第二步根据正方形面积公式算出中间雕像底座空白部分的面积，第三步用总面积减去空白部分面积，通过整式乘法运算化简得到绿化面积的代数式，最后将给定的a、b数值代入化简后的代数式，就能算出对应的具体绿化面积，运算过程中要注意多项式展开不要漏项、去括号时不要搞错符号。
【解析】
解：1. 计算大长方形地块的总面积：
根据长方形面积=长×宽，可得：
$S_{大长方形}=(3a+b)(2a+b)$
2. 计算中间空白正方形雕像底座的面积：
根据正方形面积=边长的平方，可得：
$S_{空白正方形}=(a+b)^2$
3. 求阴影绿化面积并化简：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=(3a+b)(2a+b)-(a+b)^2\\&=6a^2+3ab+2ab+b^2-(a^2+2ab+b^2)\\&=6a^2+5ab+b^2-a^2-2ab-b^2\\&=5a^2+3ab\end{aligned}$
因此绿化面积的代数式为$(5a^2+3ab)\ \mathrm{m}^2$。
4. 代入$a=3$，$b=2$计算具体数值：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=5×3^2+3×3×2\\&=5×9+18\\&=45+18\\&=63\end{aligned}$
即此时绿化面积为$63\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
绿化的面积是$(5a^2+3ab)$平方米，当$a=3$，$b=2$时绿化面积为63平方米。
【知识点】
多项式乘多项式，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题是整式乘法的实际应用题型，用割补法里“整体减空白”的思路求解面积，核心考察整式化简运算，易错点是完全平方公式展开时漏写2ab项，或者去括号时符号出错，属于整式运算的典型基础应用题。
【难度系数】
0.8
这道题求阴影部分的绿化面积，我们可以用“整体减空白”的思路来推导：第一步先根据长方形面积公式算出整个地块的总面积，第二步根据正方形面积公式算出中间雕像底座空白部分的面积，第三步用总面积减去空白部分面积，通过整式乘法运算化简得到绿化面积的代数式，最后将给定的a、b数值代入化简后的代数式，就能算出对应的具体绿化面积，运算过程中要注意多项式展开不要漏项、去括号时不要搞错符号。
【解析】
解：1. 计算大长方形地块的总面积：
根据长方形面积=长×宽，可得：
$S_{大长方形}=(3a+b)(2a+b)$
2. 计算中间空白正方形雕像底座的面积：
根据正方形面积=边长的平方，可得：
$S_{空白正方形}=(a+b)^2$
3. 求阴影绿化面积并化简：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=(3a+b)(2a+b)-(a+b)^2\\&=6a^2+3ab+2ab+b^2-(a^2+2ab+b^2)\\&=6a^2+5ab+b^2-a^2-2ab-b^2\\&=5a^2+3ab\end{aligned}$
因此绿化面积的代数式为$(5a^2+3ab)\ \mathrm{m}^2$。
4. 代入$a=3$，$b=2$计算具体数值：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=5×3^2+3×3×2\\&=5×9+18\\&=45+18\\&=63\end{aligned}$
即此时绿化面积为$63\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
绿化的面积是$(5a^2+3ab)$平方米，当$a=3$，$b=2$时绿化面积为63平方米。
【知识点】
多项式乘多项式，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题是整式乘法的实际应用题型，用割补法里“整体减空白”的思路求解面积，核心考察整式化简运算，易错点是完全平方公式展开时漏写2ab项，或者去括号时符号出错，属于整式运算的典型基础应用题。
【难度系数】
0.8
16. (12分)图1是一个长为 $ 2a $、宽为 $ 2b $ 的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形。
(1)图2的阴影部分的正方形的边长是
(2)用两种不同的方法求图中阴影部分的面积。
【方法1】$ S_{\mathrm{阴影}}= $
【方法2】$ S_{\mathrm{阴影}}= $
(3)观察图2，写出 $ (a+b)^{2} $，$ (a-b)^{2} $，$ ab $ 这三个代数式之间的等量关系。
(4)根据(3)题中的等量关系，解决问题：若 $ m+n=10 $，$ m-n=6 $，求 $ mn $ 的值。
(1)图2的阴影部分的正方形的边长是
$ a - b $
。(2)用两种不同的方法求图中阴影部分的面积。
【方法1】$ S_{\mathrm{阴影}}= $
$ (a - b)^{2} $
；【方法2】$ S_{\mathrm{阴影}}= $
$ (a + b)^{2} - 4ab $
；(3)观察图2，写出 $ (a+b)^{2} $，$ (a-b)^{2} $，$ ab $ 这三个代数式之间的等量关系。
(4)根据(3)题中的等量关系，解决问题：若 $ m+n=10 $，$ m-n=6 $，求 $ mn $ 的值。
答案
16. 解：（1）$ a - b $
（2）$ (a - b)^{2} $ $ (a + b)^{2} - 4ab $
（3）$ (a + b)^{2} $，$ (a - b)^{2} $，$ ab $ 这三个代数式之间的等量关系为 $ (a - b)^{2} = (a + b)^{2} - 4ab $。
（4）根据（3）的结论得 $ (m - n)^{2} = (m + n)^{2} - 4mn $。
因为 $ m + n = 10 $，$ m - n = 6 $，
所以 $ 36 = 100 - 4mn $，
所以 $ mn = 16 $。
（2）$ (a - b)^{2} $ $ (a + b)^{2} - 4ab $
（3）$ (a + b)^{2} $，$ (a - b)^{2} $，$ ab $ 这三个代数式之间的等量关系为 $ (a - b)^{2} = (a + b)^{2} - 4ab $。
（4）根据（3）的结论得 $ (m - n)^{2} = (m + n)^{2} - 4mn $。
因为 $ m + n = 10 $，$ m - n = 6 $，
所以 $ 36 = 100 - 4mn $，
所以 $ mn = 16 $。
解析
【分析】
我们可以按顺序逐步思考解题思路：
1. 第一问求阴影正方形的边长：观察拼接所用的小长方形，长为a、宽为b，阴影部分的边长恰好是小长方形的长减去小长方形的宽，直接推导即可得到结果。
2. 第二问用两种方法求阴影面积：第一种是直接套用正方形面积公式，用已经得到的阴影边长计算面积；第二种用整体减部分的思路，先算出图2整体大正方形的面积，再减去4个小长方形的总面积，间接得到阴影部分的面积。
3. 第三问找三个代数式的等量关系：两种方法计算的是完全相同的阴影部分面积，因此两个面积表达式必然相等，整理后就得到三者的关系式。
4. 第四问代入求值：直接套用第三问得到的等量关系，把已知的m+n和m-n的数值代入，解关于mn的一元一次方程就能算出最终结果。
【解析】
(1) 观察图2的拼接结构，阴影部分正方形的边长等于小长方形的长减去宽，即$a - b$。
(2) 方法1：直接利用正方形面积公式，阴影部分边长为$a-b$，因此$S_{\mathrm{阴影}}=(a-b)^2$；
方法2：图2整体是边长为$a+b$的大正方形，面积为$(a+b)^2$，4个小长方形的总面积为$4ab$，用大正方形面积减去4个小长方形的面积，得到$S_{\mathrm{阴影}}=(a+b)^2 - 4ab$。
(3) 由于两种方法计算的是同一部分的面积，因此两个表达式相等，可得等量关系：$(a-b)^2=(a+b)^2 - 4ab$。
(4) 将上述等量关系中的$a$替换为$m$，$b$替换为$n$，可得$(m-n)^2=(m+n)^2 - 4mn$，代入已知条件$m+n=10$，$m-n=6$：
代入得：$6^2 = 10^2 - 4mn$
即$36 = 100 - 4mn$
移项得$4mn = 100 - 36 = 64$
解得$mn=16$。
【答案】
(1) $a - b$
(2) $(a - b)^2$；$(a + b)^2 - 4ab$
(3) $(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$
(4) $mn=16$
【知识点】
完全平方公式几何背景，代数式求值，图形面积计算
【点评】
本题通过几何图形拼接的方式直观验证完全平方公式的变形关系，从几何直观过渡到代数推导，帮助学生理解完全平方公式的内在联系，同时考察了学生从图形中提取信息、利用等量关系求解代数式值的能力，属于基础的公式应用题型。
【难度系数】
0.7
我们可以按顺序逐步思考解题思路：
1. 第一问求阴影正方形的边长：观察拼接所用的小长方形，长为a、宽为b，阴影部分的边长恰好是小长方形的长减去小长方形的宽，直接推导即可得到结果。
2. 第二问用两种方法求阴影面积：第一种是直接套用正方形面积公式，用已经得到的阴影边长计算面积；第二种用整体减部分的思路，先算出图2整体大正方形的面积，再减去4个小长方形的总面积，间接得到阴影部分的面积。
3. 第三问找三个代数式的等量关系：两种方法计算的是完全相同的阴影部分面积，因此两个面积表达式必然相等，整理后就得到三者的关系式。
4. 第四问代入求值：直接套用第三问得到的等量关系，把已知的m+n和m-n的数值代入，解关于mn的一元一次方程就能算出最终结果。
【解析】
(1) 观察图2的拼接结构，阴影部分正方形的边长等于小长方形的长减去宽，即$a - b$。
(2) 方法1：直接利用正方形面积公式，阴影部分边长为$a-b$，因此$S_{\mathrm{阴影}}=(a-b)^2$；
方法2：图2整体是边长为$a+b$的大正方形，面积为$(a+b)^2$，4个小长方形的总面积为$4ab$，用大正方形面积减去4个小长方形的面积，得到$S_{\mathrm{阴影}}=(a+b)^2 - 4ab$。
(3) 由于两种方法计算的是同一部分的面积，因此两个表达式相等，可得等量关系：$(a-b)^2=(a+b)^2 - 4ab$。
(4) 将上述等量关系中的$a$替换为$m$，$b$替换为$n$，可得$(m-n)^2=(m+n)^2 - 4mn$，代入已知条件$m+n=10$，$m-n=6$：
代入得：$6^2 = 10^2 - 4mn$
即$36 = 100 - 4mn$
移项得$4mn = 100 - 36 = 64$
解得$mn=16$。
【答案】
(1) $a - b$
(2) $(a - b)^2$；$(a + b)^2 - 4ab$
(3) $(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$
(4) $mn=16$
【知识点】
完全平方公式几何背景，代数式求值，图形面积计算
【点评】
本题通过几何图形拼接的方式直观验证完全平方公式的变形关系，从几何直观过渡到代数推导，帮助学生理解完全平方公式的内在联系，同时考察了学生从图形中提取信息、利用等量关系求解代数式值的能力，属于基础的公式应用题型。
【难度系数】
0.7
