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12.如图，∠α，∠β分别是四边形ABCD的外角.求证：∠α+∠β=∠A+∠C.
答案
证明:
∵∠α与∠ADC是邻补角,∠β与∠ABC是邻补角，
∴∠α=180°−∠ADC,∠β=180°−∠ABC，
∴∠α+∠β=360°−(∠ADC+∠ABC)。
∵∠A,∠ABC,∠C,∠ADC是四边形ABCD的内角，
∴∠A+∠C=360°−(∠ADC+∠ABC)，
∴∠α+∠β=∠A+∠C。
∵∠α与∠ADC是邻补角,∠β与∠ABC是邻补角，
∴∠α=180°−∠ADC,∠β=180°−∠ABC，
∴∠α+∠β=360°−(∠ADC+∠ABC)。
∵∠A,∠ABC,∠C,∠ADC是四边形ABCD的内角，
∴∠A+∠C=360°−(∠ADC+∠ABC)，
∴∠α+∠β=∠A+∠C。
解析
【分析】
要证明两个外角的和等于两个不相邻内角的和，我们可以按照以下思路推导：首先利用邻补角的性质，将两个外角用相邻的四边形内角表示，得到两角和的表达式；再结合四边形内角和为360°的定理，把∠A+∠C也用相同的两个内角表示；最后通过等量代换即可得到要证明的结论。
【解析】
证明:
∵∠α与∠ADC是邻补角，∠β与∠ABC是邻补角，
∴∠α=180°−∠ADC，∠β=180°−∠ABC，
∴∠α+∠β=360°−(∠ADC+∠ABC)。
∵∠A、∠ABC、∠C、∠ADC是四边形ABCD的内角，
∴∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，即∠A+∠C=360°−(∠ADC+∠ABC)，
∴∠α+∠β=∠A+∠C。
【答案】
∠α+∠β=∠A+∠C，得证。
【知识点】
邻补角的性质；四边形内角和定理；等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是通过邻补角完成外角到内角的转化，再结合四边形内角和定理做等量代换即可得到结论，解题时理清各个角之间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.85
要证明两个外角的和等于两个不相邻内角的和，我们可以按照以下思路推导：首先利用邻补角的性质，将两个外角用相邻的四边形内角表示，得到两角和的表达式；再结合四边形内角和为360°的定理，把∠A+∠C也用相同的两个内角表示；最后通过等量代换即可得到要证明的结论。
【解析】
证明:
∵∠α与∠ADC是邻补角，∠β与∠ABC是邻补角，
∴∠α=180°−∠ADC，∠β=180°−∠ABC，
∴∠α+∠β=360°−(∠ADC+∠ABC)。
∵∠A、∠ABC、∠C、∠ADC是四边形ABCD的内角，
∴∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，即∠A+∠C=360°−(∠ADC+∠ABC)，
∴∠α+∠β=∠A+∠C。
【答案】
∠α+∠β=∠A+∠C，得证。
【知识点】
邻补角的性质；四边形内角和定理；等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是通过邻补角完成外角到内角的转化，再结合四边形内角和定理做等量代换即可得到结论，解题时理清各个角之间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.85
13. 将一个正六边形与一个正八边形按如图所示的方式摆放，A，B，C，D四个顶点在同一条直线上，F为公共顶点，求$∠ EFG$的度数.
答案
解:由题可知,∠GFC=∠FCD=$\frac{(8-2)×180°}{8}=135°$,∠EFB=∠ABF=$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$,
∴∠FCB=180°−∠FCD=180°−135°=45°,
∠FBC=180°−∠ABF=180°−120°=60°,
∴∠BFC=180°−∠FBC−∠FCB=180°−60°−45°=75°,
∴∠EFG=360°−∠EFB−∠GFC−∠BFC=360°−120°−135°−75°=30°。
∴∠FCB=180°−∠FCD=180°−135°=45°,
∠FBC=180°−∠ABF=180°−120°=60°,
∴∠BFC=180°−∠FBC−∠FCB=180°−60°−45°=75°,
∴∠EFG=360°−∠EFB−∠GFC−∠BFC=360°−120°−135°−75°=30°。
解析
【分析】
要计算∠EFG的度数，可按以下思路推导：首先利用正多边形内角和公式，分别算出正六边形、正八边形的内角度数；其次因为A、B、C、D共线，根据平角为180°，可求出△FBC的两个内角∠FBC和∠FCB的度数；接着用三角形内角和为180°算出∠BFC的度数；最后围绕点F的四个角的和为周角360°，用360°减去另外三个已知角的度数，就能得到∠EFG的度数。
【解析】
正多边形内角公式为$\frac{(n-2)×180°}{n}$（$n$为正多边形的边数）
1. 计算正八边形的内角：$∠ GFC=∠ FCD=\frac{(8-2)×180°}{8}=135°$
计算正六边形的内角：$∠ EFB=∠ ABF=\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$
2. 因为A、B、C、D在同一直线上，平角为$180°$，所以：
$∠ FCB=180°-∠ FCD=180°-135°=45°$
$∠ FBC=180°-∠ ABF=180°-120°=60°$
3. 在$△ BFC$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ BFC=180°-∠ FBC-∠ FCB=180°-60°-45°=75°$
4. 围绕点F的角之和为周角$360°$，因此：
$∠ EFG=360°-∠ EFB-∠ GFC-∠ BFC=360°-120°-135°-75°=30°$
【答案】
$30°$
【知识点】
正多边形内角计算；三角形内角和定理；周角的性质
【点评】
本题是多边形角度计算的典型题型，解题的关键是熟练掌握正多边形内角的计算方法，理清图形中各角之间的位置关系和数量关系，逐步推导即可得出结果。
【难度系数】
0.7
要计算∠EFG的度数，可按以下思路推导：首先利用正多边形内角和公式，分别算出正六边形、正八边形的内角度数；其次因为A、B、C、D共线，根据平角为180°，可求出△FBC的两个内角∠FBC和∠FCB的度数；接着用三角形内角和为180°算出∠BFC的度数；最后围绕点F的四个角的和为周角360°，用360°减去另外三个已知角的度数，就能得到∠EFG的度数。
【解析】
正多边形内角公式为$\frac{(n-2)×180°}{n}$（$n$为正多边形的边数）
1. 计算正八边形的内角：$∠ GFC=∠ FCD=\frac{(8-2)×180°}{8}=135°$
计算正六边形的内角：$∠ EFB=∠ ABF=\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$
2. 因为A、B、C、D在同一直线上，平角为$180°$，所以：
$∠ FCB=180°-∠ FCD=180°-135°=45°$
$∠ FBC=180°-∠ ABF=180°-120°=60°$
3. 在$△ BFC$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ BFC=180°-∠ FBC-∠ FCB=180°-60°-45°=75°$
4. 围绕点F的角之和为周角$360°$，因此：
$∠ EFG=360°-∠ EFB-∠ GFC-∠ BFC=360°-120°-135°-75°=30°$
【答案】
$30°$
【知识点】
正多边形内角计算；三角形内角和定理；周角的性质
【点评】
本题是多边形角度计算的典型题型，解题的关键是熟练掌握正多边形内角的计算方法，理清图形中各角之间的位置关系和数量关系，逐步推导即可得出结果。
【难度系数】
0.7
14.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,BE平分∠ABC交CD于点E,DF平分∠ADC交AB于点F.
(1)若∠ABC为42°,求∠ADF的度数;
(2)求证:DF//BE.
(1)若∠ABC为42°,求∠ADF的度数;
(2)求证:DF//BE.
答案
14.(1)解:在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠ABC=42°,
∴∠ADC=360°−∠A−∠C−∠ABC=360°−90°−90°−42°=138°。
∵DF平分∠ADC,
∴∠ADF=$\frac{1}{2}$∠ADC=69°。
(2)证明:在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,
∴∠ABC+∠ADC=360°−∠A−∠C=360°−90°−90°=180°。
∵BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,
∴∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠ADF=∠CDF=$\frac{1}{2}$∠ADC,
∴∠ABE+∠ADF=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ADC)=$\frac{1}{2}×180°=90°$。
在Rt△ADF中,∠ADF+∠AFD=90°,
∴∠AFD=∠ABE,
∴DF//BE。
∴∠ADC=360°−∠A−∠C−∠ABC=360°−90°−90°−42°=138°。
∵DF平分∠ADC,
∴∠ADF=$\frac{1}{2}$∠ADC=69°。
(2)证明:在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,
∴∠ABC+∠ADC=360°−∠A−∠C=360°−90°−90°=180°。
∵BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,
∴∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠ADF=∠CDF=$\frac{1}{2}$∠ADC,
∴∠ABE+∠ADF=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ADC)=$\frac{1}{2}×180°=90°$。
在Rt△ADF中,∠ADF+∠AFD=90°,
∴∠AFD=∠ABE,
∴DF//BE。
解析
【分析】
(1) 求解∠ADF的度数，首先利用四边形内角和为360°，结合已知的∠A、∠C、∠ABC的度数，先计算出∠ADC的度数，再根据DF是∠ADC的角平分线，即可求出∠ADF的度数。
(2) 要证明DF//BE，可通过证明同位角相等推导。首先由四边形内角和得出∠ABC与∠ADC的和为180°，再结合角平分线的定义，得出∠ABE与∠ADF的和为90°；再在Rt△ADF中，利用直角三角形两锐角互余，得到∠ADF与∠AFD的和为90°，通过等量代换得到∠AFD=∠ABE，同位角相等即可证明两直线平行。
【解析】
(1) 解：在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=42°，
根据四边形内角和为360°，可得：
∠ADC=360°−∠A−∠C−∠ABC=360°−90°−90°−42°=138°。
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF=$\frac{1}{2}$∠ADC=$\frac{1}{2}$×138°=69°。
(2) 证明：在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=360°−∠A−∠C=360°−90°−90°=180°。
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ADF=∠CDF=$\frac{1}{2}$∠ADC，
∴∠ABE+∠ADF=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ADC)=$\frac{1}{2}$×180°=90°。
在Rt△ADF中，∠A=90°，
∴∠ADF+∠AFD=90°，
∴∠AFD=∠ABE（同角的余角相等），
∴DF//BE（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) ∠ADF=69°；(2) DF//BE，证明成立。
【知识点】
四边形内角和定理；角平分线的定义；平行线的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，综合考察了四边形内角和、角平分线性质、平行线的判定等知识，解题的关键是理清角度之间的和差、互余关系，通过等量代换得到证明平行的条件，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求解∠ADF的度数，首先利用四边形内角和为360°，结合已知的∠A、∠C、∠ABC的度数，先计算出∠ADC的度数，再根据DF是∠ADC的角平分线，即可求出∠ADF的度数。
(2) 要证明DF//BE，可通过证明同位角相等推导。首先由四边形内角和得出∠ABC与∠ADC的和为180°，再结合角平分线的定义，得出∠ABE与∠ADF的和为90°；再在Rt△ADF中，利用直角三角形两锐角互余，得到∠ADF与∠AFD的和为90°，通过等量代换得到∠AFD=∠ABE，同位角相等即可证明两直线平行。
【解析】
(1) 解：在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=42°，
根据四边形内角和为360°，可得：
∠ADC=360°−∠A−∠C−∠ABC=360°−90°−90°−42°=138°。
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF=$\frac{1}{2}$∠ADC=$\frac{1}{2}$×138°=69°。
(2) 证明：在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=360°−∠A−∠C=360°−90°−90°=180°。
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ADF=∠CDF=$\frac{1}{2}$∠ADC，
∴∠ABE+∠ADF=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ADC)=$\frac{1}{2}$×180°=90°。
在Rt△ADF中，∠A=90°，
∴∠ADF+∠AFD=90°，
∴∠AFD=∠ABE（同角的余角相等），
∴DF//BE（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) ∠ADF=69°；(2) DF//BE，证明成立。
【知识点】
四边形内角和定理；角平分线的定义；平行线的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，综合考察了四边形内角和、角平分线性质、平行线的判定等知识，解题的关键是理清角度之间的和差、互余关系，通过等量代换得到证明平行的条件，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.7
15.看图回答问题：
(1)小明为什么说该凸多边形的内角和不可能为$2024°$？
(2)小华求的是几边形的内角和？
(3)你能把多加的那个外角的度数求出来吗？它是多少度？
(1)小明为什么说该凸多边形的内角和不可能为$2024°$？
(2)小华求的是几边形的内角和？
(3)你能把多加的那个外角的度数求出来吗？它是多少度？
答案
15.解:(1)
∵n边形的内角和是$(n-2)×180°$,
∴内角和一定是180°的整倍数。
∵2024÷180=11……44,
∴该凸多边形的内角和不可能为$2024°$。
(2)设小华求的是m边形的内角和,依题意得
$2024°−180°＜(m−2)×180°＜2024°$,
∴$12\frac{11}{45}＜m＜13\frac{11}{45}$。
∵m为整数,
∴m=13,
∴小华求的是十三边形的内角和。
(3)能.
∵十三边形的内角和是$(13−2)×180°=1980°$,
∴多加的那个外角的度数是$2024°−1980°=44°$。
∵n边形的内角和是$(n-2)×180°$,
∴内角和一定是180°的整倍数。
∵2024÷180=11……44,
∴该凸多边形的内角和不可能为$2024°$。
(2)设小华求的是m边形的内角和,依题意得
$2024°−180°＜(m−2)×180°＜2024°$,
∴$12\frac{11}{45}＜m＜13\frac{11}{45}$。
∵m为整数,
∴m=13,
∴小华求的是十三边形的内角和。
(3)能.
∵十三边形的内角和是$(13−2)×180°=1980°$,
∴多加的那个外角的度数是$2024°−1980°=44°$。
解析
【分析】
(1) 解题首先回忆多边形内角和公式，n边形内角和为$(n-2)×180°$，由此可知内角和一定是180°的整数倍，只需判断2024°是否为180°的整倍数即可解答第一问。
(2) 凸多边形的外角度数范围是$0°＜外角＜180°$，2024°是内角和加上一个外角的结果，因此实际内角和介于$2024°-180°$和$2024°$之间，结合内角和公式列不等式，取边数的正整数解就能得到第二问答案。
(3) 先算出对应边数的多边形正确内角和，用2024°减去正确内角和，即可求出多加的外角度数。
【解析】
(1) $\because$n边形的内角和是$(n-2)×180°$，
$\therefore$多边形内角和一定是180°的整倍数。
$\because 2024÷180=11······44$，2024不能被180整除，
$\therefore$该凸多边形的内角和不可能为$2024°$。
(2) 设小华求的是m边形的内角和，依题意得：
$2024°−180°＜(m−2)×180°＜2024°$
解得$12\frac{11}{45}＜m＜13\frac{11}{45}$，
$\because$m为正整数，
$\therefore m=13$，即小华求的是十三边形的内角和。
(3) 能求出多加的外角度数。
$\because$十三边形的内角和是$(13−2)×180°=1980°$，
$\therefore$多加的外角度数为$2024°−1980°=44°$。
【答案】
(1) 因为多边形内角和是180°的整倍数，2024°不是180°的整倍数，所以内角和不可能为2024°；
(2) 十三边形；
(3) 能，多加的外角是44°。
【知识点】
多边形内角和公式；凸多边形外角性质；一元一次不等式应用
【点评】
本题结合生活化的对话场景考查多边形相关知识，解题核心是抓住多边形内角和为180°整数倍的特征，结合凸多边形外角的取值范围列式求解，侧重考查学生对基础公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 解题首先回忆多边形内角和公式，n边形内角和为$(n-2)×180°$，由此可知内角和一定是180°的整数倍，只需判断2024°是否为180°的整倍数即可解答第一问。
(2) 凸多边形的外角度数范围是$0°＜外角＜180°$，2024°是内角和加上一个外角的结果，因此实际内角和介于$2024°-180°$和$2024°$之间，结合内角和公式列不等式，取边数的正整数解就能得到第二问答案。
(3) 先算出对应边数的多边形正确内角和，用2024°减去正确内角和，即可求出多加的外角度数。
【解析】
(1) $\because$n边形的内角和是$(n-2)×180°$，
$\therefore$多边形内角和一定是180°的整倍数。
$\because 2024÷180=11······44$，2024不能被180整除，
$\therefore$该凸多边形的内角和不可能为$2024°$。
(2) 设小华求的是m边形的内角和，依题意得：
$2024°−180°＜(m−2)×180°＜2024°$
解得$12\frac{11}{45}＜m＜13\frac{11}{45}$，
$\because$m为正整数，
$\therefore m=13$，即小华求的是十三边形的内角和。
(3) 能求出多加的外角度数。
$\because$十三边形的内角和是$(13−2)×180°=1980°$，
$\therefore$多加的外角度数为$2024°−1980°=44°$。
【答案】
(1) 因为多边形内角和是180°的整倍数，2024°不是180°的整倍数，所以内角和不可能为2024°；
(2) 十三边形；
(3) 能，多加的外角是44°。
【知识点】
多边形内角和公式；凸多边形外角性质；一元一次不等式应用
【点评】
本题结合生活化的对话场景考查多边形相关知识，解题核心是抓住多边形内角和为180°整数倍的特征，结合凸多边形外角的取值范围列式求解，侧重考查学生对基础公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
