1.求下列各数的立方根.
(1)$-1\frac{61}{64}$； (2)0； (3)$\sqrt{729}$； (4)$(-5)^3$.

解：
(1) 先将带分数化为假分数：$-1\frac{61}{64}=-\frac{125}{64}$，
$\because (-\frac{5}{4})^3=-\frac{125}{64}$，
$\therefore -1\frac{61}{64}$的立方根是$-\frac{5}{4}$；
(2) $\because 0^3=0$，
$\therefore 0$的立方根是$0$；
(3) 先计算得$\sqrt{729}=27$，
$\because 3^3=27$，
$\therefore \sqrt{729}$的立方根是$3$；
(4) $\because (-5)^3$的立方运算与开立方运算互为逆运算，
$\therefore (-5)^3$的立方根是$-5$。

2.求下列各式中$x$的值.
(1)$3(x-1)^3 +81=0$；
(2)$x^3=125$；
(3)$\frac{1}{4}x^3 +16=0$.

解：
(1) 移项，得 $3(x-1)^3 = -81$，
两边同时除以3，得 $(x-1)^3 = -27$，
开立方，得 $x-1 = -3$，
解得 $x = -2$。
(2) 开立方，得 $x = \sqrt[3]{125}$，
解得 $x = 5$。
(3) 移项，得 $\frac{1}{4}x^3 = -16$，
两边同时乘4，得 $x^3 = -64$，
开立方，得 $x = \sqrt[3]{-64}$，
解得 $x = -4$。

3.将半径为12 cm的实心铁球熔化，重新铸造出8个半径相同的实心小铁球，若不计损耗，小铁球的半径是多少厘米？（球的体积公式 $V=\frac{4}{3}π R^3$，R是球的半径）

解：设小铁球的半径为$ x $ cm。
根据熔化前后总体积不变，列方程得：
$\frac{4}{3}π × 12^3 = 8 × \frac{4}{3}π x^3$
两边同时除以$\frac{4}{3}π$，得：
$12^3 = 8x^3$
化简得：
$1728 = 8x^3$
两边同时除以8：
$x^3 = 216$
解得：
$x = 6$
答：小铁球的半径是6厘米。

4.已知$A=\sqrt[4x-6]{x+2}$是$x+2$的算术平方根，$B=\sqrt[2y-9]{-2-y}$是$-2-y$的立方根，试求$A+B$的立方根。

解：
因为$A=\sqrt[4x-6]{x+2}$是$x+2$的算术平方根，算术平方根的根指数为2，
所以$4x - 6 = 2$，
解得$x=2$。
将$x=2$代入得：$A=\sqrt{x+2}=\sqrt{2+2}=2$。
因为$B=\sqrt[2y-9]{-2-y}$是$-2-y$的立方根，立方根的根指数为3，
所以$2y - 9 = 3$，
解得$y=6$。
将$y=6$代入得：$B=\sqrt[3]{-2-y}=\sqrt[3]{-2-6}=-2$。
所以$A+B=2+(-2)=0$，
0的立方根是0，
即$A+B$的立方根为0。