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7.若关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}3x + y = k - 6, \\x + 3y = 2\end{cases}$的解满足不等式$x + y ＞ 0$，则$k$的取值范围是________.
答案
7.$k＞4$
解析
【分析】
要确定k的取值范围，已知方程组的解满足x+y＞0，我们可以不用分别求出x、y的具体表达式，观察两个方程的系数特征：第一个方程x系数为3、y系数为1，第二个方程x系数为1、y系数为3，将两个方程左右两边直接相加，就能快速得到x+y与k的关系式，再代入不等式即可求解，这种整体思想能简化计算过程。
【解析】
解：将方程组的两个方程左右两边分别相加，可得：
$3x + y + x + 3y = k - 6 + 2$
合并同类项得：$4x + 4y = k - 4$
两边同时除以4，整理得：$x + y = \frac{k - 4}{4}$
因为$x + y ＞ 0$，代入可得不等式：
$\frac{k - 4}{4} ＞ 0$
不等式两边同时乘4，得：$k - 4 ＞ 0$
解得：$k ＞ 4$
【答案】
$k＞4$
【知识点】
二元一次方程组的解、一元一次不等式的解法、整体代入思想
【点评】
本题侧重考查解题方法的灵活性，运用整体相加的方式得到x+y的表达式，避免了单独求解x、y的繁琐步骤，能有效降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.75
要确定k的取值范围，已知方程组的解满足x+y＞0，我们可以不用分别求出x、y的具体表达式，观察两个方程的系数特征：第一个方程x系数为3、y系数为1，第二个方程x系数为1、y系数为3，将两个方程左右两边直接相加，就能快速得到x+y与k的关系式，再代入不等式即可求解，这种整体思想能简化计算过程。
【解析】
解：将方程组的两个方程左右两边分别相加，可得：
$3x + y + x + 3y = k - 6 + 2$
合并同类项得：$4x + 4y = k - 4$
两边同时除以4，整理得：$x + y = \frac{k - 4}{4}$
因为$x + y ＞ 0$，代入可得不等式：
$\frac{k - 4}{4} ＞ 0$
不等式两边同时乘4，得：$k - 4 ＞ 0$
解得：$k ＞ 4$
【答案】
$k＞4$
【知识点】
二元一次方程组的解、一元一次不等式的解法、整体代入思想
【点评】
本题侧重考查解题方法的灵活性，运用整体相加的方式得到x+y的表达式，避免了单独求解x、y的繁琐步骤，能有效降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.75
8.若不等式$\frac{2x+5}{3} -1 ≤ 2 -x$的解集中，$x$的每一个值都能使关于$x$的不等式$3(x-1)+5＞5x+2(m+x)$成立，则$m$的取值范围为
$m＜-\dfrac{3}{5}$
.答案
8.$m＜-\dfrac{3}{5}$
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步先求解第一个一元一次不等式，得到它的解集；第二步将第二个不等式中的m当作常数，解出x关于m的表达式，得到第二个不等式的解集；第三步根据题意，第一个解集中的所有x都满足第二个不等式，说明第一个解集完全包含在第二个解集内，据此建立关于m的不等式，求解即可得到m的取值范围。
【解析】
1. 解不等式$\frac{2x+5}{3} -1 ≤ 2 -x$：
去分母，两边同乘3得：$2x+5 - 3 ≤ 6 - 3x$
化简得：$2x + 2 ≤ 6 - 3x$
移项合并同类项得：$5x ≤ 4$
系数化为1得：$x ≤ \frac{4}{5}$
2. 解不等式$3(x-1)+5＞5x+2(m+x)$：
去括号得：$3x - 3 + 5 ＞ 5x + 2m + 2x$
化简得：$3x + 2 ＞ 7x + 2m$
移项合并同类项得：$-4x ＞ 2m - 2$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ＜ \frac{1 - m}{2}$
3. 根据题意，所有满足$x ≤ \frac{4}{5}$的x都满足$x ＜ \frac{1 - m}{2}$，因此：
$\frac{1 - m}{2} ＞ \frac{4}{5}$
两边同乘10得：$5(1 - m) ＞ 8$
去括号化简得：$-5m ＞ 3$
系数化为1（不等号方向改变）得：$m ＜ -\frac{3}{5}$
【答案】
$m＜-\dfrac{3}{5}$
【知识点】
一元一次不等式解法、解集的包含关系、含参数不等式求解
【点评】
本题综合考察一元一次不等式的求解及解集含义的理解，解题关键是准确判断两个解集的包含关系，运算时需注意系数化为1时不等号的方向变化，同时要准确判断等号是否可取，避免漏错。
【难度系数】
0.6
解题思路分三步：第一步先求解第一个一元一次不等式，得到它的解集；第二步将第二个不等式中的m当作常数，解出x关于m的表达式，得到第二个不等式的解集；第三步根据题意，第一个解集中的所有x都满足第二个不等式，说明第一个解集完全包含在第二个解集内，据此建立关于m的不等式，求解即可得到m的取值范围。
【解析】
1. 解不等式$\frac{2x+5}{3} -1 ≤ 2 -x$：
去分母，两边同乘3得：$2x+5 - 3 ≤ 6 - 3x$
化简得：$2x + 2 ≤ 6 - 3x$
移项合并同类项得：$5x ≤ 4$
系数化为1得：$x ≤ \frac{4}{5}$
2. 解不等式$3(x-1)+5＞5x+2(m+x)$：
去括号得：$3x - 3 + 5 ＞ 5x + 2m + 2x$
化简得：$3x + 2 ＞ 7x + 2m$
移项合并同类项得：$-4x ＞ 2m - 2$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ＜ \frac{1 - m}{2}$
3. 根据题意，所有满足$x ≤ \frac{4}{5}$的x都满足$x ＜ \frac{1 - m}{2}$，因此：
$\frac{1 - m}{2} ＞ \frac{4}{5}$
两边同乘10得：$5(1 - m) ＞ 8$
去括号化简得：$-5m ＞ 3$
系数化为1（不等号方向改变）得：$m ＜ -\frac{3}{5}$
【答案】
$m＜-\dfrac{3}{5}$
【知识点】
一元一次不等式解法、解集的包含关系、含参数不等式求解
【点评】
本题综合考察一元一次不等式的求解及解集含义的理解，解题关键是准确判断两个解集的包含关系，运算时需注意系数化为1时不等号的方向变化，同时要准确判断等号是否可取，避免漏错。
【难度系数】
0.6
9.推进中国式现代化,必须坚持不懈夯实农业基础,推进乡村全面振兴.某合作社着力发展乡村水果网络销售,在水果收获的季节,该合作社用17 500元从农户处购进A,B两种水果共1 500 kg进行销售,其中A种水果的收购单价为10元/kg,B种水果的收购单价为15元/kg.
(1)A,B两种水果各购进多少千克?
(2)已知A种水果运输和仓储过程中质量损失4%,若合作社计划A种水果至少要获得20%的利润,不计其他费用,求A种水果的最低销售单价.
(1)A,B两种水果各购进多少千克?
(2)已知A种水果运输和仓储过程中质量损失4%,若合作社计划A种水果至少要获得20%的利润,不计其他费用,求A种水果的最低销售单价.
答案
9.解:(1)设 A 种水果购进 x kg,B 种水果购进 y kg.
根据题意,得$\begin{cases}x+y=1500,\\10x+15y=17500.\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=1000,\\y=500.\end{cases}$
答:A 种水果购进 1 000 kg,B 种水果购进500 kg.
(2)设 A 种水果的销售单价为 m 元/kg.
根据题意,得$1000×(1-4\%)m -10×1000≥10×1000×20\%$.解得$m≥12.5$.
答:A 种水果的最低销售单价为 12.5 元/kg.
根据题意,得$\begin{cases}x+y=1500,\\10x+15y=17500.\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=1000,\\y=500.\end{cases}$
答:A 种水果购进 1 000 kg,B 种水果购进500 kg.
(2)设 A 种水果的销售单价为 m 元/kg.
根据题意,得$1000×(1-4\%)m -10×1000≥10×1000×20\%$.解得$m≥12.5$.
答:A 种水果的最低销售单价为 12.5 元/kg.
解析
【分析】
第(1)问可通过设两个未知数，抓住两个核心等量关系列二元一次方程组求解：一是A、B两种水果总质量为1500kg，二是两种水果总收购成本为17500元，解方程组即可得两种水果的购进量。第(2)问为利润最值问题，首先明确A种水果实际可销售质量是原购进量扣除4%损失后的部分，要满足至少20%的利润，即“实际销售额 - 进货成本 ≥ 进货成本×20%”，据此设销售单价为未知数列一元一次不等式求解，即可得到最低销售单价。
【解析】
(1)设A种水果购进x kg，B种水果购进y kg。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x+y=1500,\\10x+15y=17500.\end{cases}$
用代入消元法求解：由$x+y=1500$得$x=1500-y$，代入第二个方程得$10(1500-y)+15y=17500$，整理得$5y=2500$，解得$y=500$，则$x=1500-500=1000$。
即$\begin{cases}x=1000,\\y=500.\end{cases}$
(2)设A种水果的销售单价为m元/kg。
A种水果实际可销售质量为$1000×(1-4\%)$kg，根据利润要求列不等式：
$1000×(1-4\%)m -10×1000≥10×1000×20\%$
化简得$960m -10000≥2000$，移项计算得$960m≥12000$，解得$m≥12.5$。
【答案】
(1)A种水果购进1000kg，B种水果购进500kg；
(2)A种水果的最低销售单价为12.5元/kg。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式应用，利润计算
【点评】
本题结合乡村振兴的实际情境考查方程与不等式的实际应用，解题核心是准确梳理题干中的等量、不等关系，注意质量损失、利润率等条件的正确转化，避免忽略损耗条件导致列式错误。
【难度系数】
0.7
第(1)问可通过设两个未知数，抓住两个核心等量关系列二元一次方程组求解：一是A、B两种水果总质量为1500kg，二是两种水果总收购成本为17500元，解方程组即可得两种水果的购进量。第(2)问为利润最值问题，首先明确A种水果实际可销售质量是原购进量扣除4%损失后的部分，要满足至少20%的利润，即“实际销售额 - 进货成本 ≥ 进货成本×20%”，据此设销售单价为未知数列一元一次不等式求解，即可得到最低销售单价。
【解析】
(1)设A种水果购进x kg，B种水果购进y kg。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x+y=1500,\\10x+15y=17500.\end{cases}$
用代入消元法求解：由$x+y=1500$得$x=1500-y$，代入第二个方程得$10(1500-y)+15y=17500$，整理得$5y=2500$，解得$y=500$，则$x=1500-500=1000$。
即$\begin{cases}x=1000,\\y=500.\end{cases}$
(2)设A种水果的销售单价为m元/kg。
A种水果实际可销售质量为$1000×(1-4\%)$kg，根据利润要求列不等式：
$1000×(1-4\%)m -10×1000≥10×1000×20\%$
化简得$960m -10000≥2000$，移项计算得$960m≥12000$，解得$m≥12.5$。
【答案】
(1)A种水果购进1000kg，B种水果购进500kg；
(2)A种水果的最低销售单价为12.5元/kg。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式应用，利润计算
【点评】
本题结合乡村振兴的实际情境考查方程与不等式的实际应用，解题核心是准确梳理题干中的等量、不等关系，注意质量损失、利润率等条件的正确转化，避免忽略损耗条件导致列式错误。
【难度系数】
0.7
