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【变式训练 2】 一队学生去郊游，他们行走的速度是 5 km/h。一段时间后，学校要将一紧急通知传给队长。通信员骑着自行车从学校出发，以 14 km/h 的速度按原路追赶。如果通信员用了 10 min 追上学生队伍，求通信员出发前学生走了多长时间。
解：设通信员出发前学生走了 $ x $ h。
根据下图，可列出方程：
解这个方程，得 $ x = $
因此，通信员出发前学生走了
解：设通信员出发前学生走了 $ x $ h。
根据下图，可列出方程：
$ 5x + \frac{10}{60} × 5 = \frac{10}{60} × 14 $
。解这个方程，得 $ x = $
$ \frac{3}{10} $
。因此，通信员出发前学生走了
$ \frac{3}{10} $ h
。答案
【变式训练 2】 一队学生去郊游，他们行走的速度是 5 km/h。一段时间后，学校要将一紧急通知传给队长。通信员骑着自行车从学校出发，以 14 km/h 的速度按原路追赶。如果通信员用了 10 min 追上学生队伍，求通信员出发前学生走了多长时间。
解：设通信员出发前学生走了 $ x $ h。
根据下图，可列出方程：$ 5x + \frac{10}{60} × 5 = \frac{10}{60} × 14 $。
解这个方程，得 $ x = \frac{3}{10} $。
因此，通信员出发前学生走了 $ \frac{3}{10} $ h。
解析
【分析】
本题属于追及问题，核心等量关系为：通信员追上学生时，两人行驶的总路程相等。首先统一时间单位，通信员追赶学生的10分钟需换算为小时，再分别表示出学生的总路程和通信员的总路程，根据路程相等列方程，求解即可得到通信员出发前学生行走的时间。
【解析】
解：统一时间单位，$10\ \mathrm{min} = \frac{10}{60}\ \mathrm{h}$。
设通信员出发前学生走了$x\ \mathrm{h}$。
根据追及问题中“追上时路程相等”的等量关系，学生总路程为“先出发$x$小时的路程 + 通信员追赶时学生走的路程”，通信员总路程为“自身速度×追赶时间”，可列方程：
$5x + 5×\frac{10}{60} = 14×\frac{10}{60}$
解方程：
化简得：$5x + \frac{5}{6} = \frac{7}{3}$
移项得：$5x = \frac{7}{3} - \frac{5}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$
解得：$x = \frac{3}{2}÷5 = \frac{3}{10}$
【答案】
$5x + \frac{10}{60}×5 = \frac{10}{60}×14$；$\frac{3}{10}$；$\frac{3}{10}\ \mathrm{h}$
【知识点】
一元一次方程应用、追及问题
【点评】
本题是追及问题的典型实际应用，重点考查一元一次方程在行程问题中的运用，需注意时间单位的统一，找准等量关系即可规范解题，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题属于追及问题，核心等量关系为：通信员追上学生时，两人行驶的总路程相等。首先统一时间单位，通信员追赶学生的10分钟需换算为小时，再分别表示出学生的总路程和通信员的总路程，根据路程相等列方程，求解即可得到通信员出发前学生行走的时间。
【解析】
解：统一时间单位，$10\ \mathrm{min} = \frac{10}{60}\ \mathrm{h}$。
设通信员出发前学生走了$x\ \mathrm{h}$。
根据追及问题中“追上时路程相等”的等量关系，学生总路程为“先出发$x$小时的路程 + 通信员追赶时学生走的路程”，通信员总路程为“自身速度×追赶时间”，可列方程：
$5x + 5×\frac{10}{60} = 14×\frac{10}{60}$
解方程：
化简得：$5x + \frac{5}{6} = \frac{7}{3}$
移项得：$5x = \frac{7}{3} - \frac{5}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$
解得：$x = \frac{3}{2}÷5 = \frac{3}{10}$
【答案】
$5x + \frac{10}{60}×5 = \frac{10}{60}×14$；$\frac{3}{10}$；$\frac{3}{10}\ \mathrm{h}$
【知识点】
一元一次方程应用、追及问题
【点评】
本题是追及问题的典型实际应用，重点考查一元一次方程在行程问题中的运用，需注意时间单位的统一，找准等量关系即可规范解题，难度适中。
【难度系数】
0.6
1. 某人上山的速度是 $ v_1 $，然后又沿原路线下山，速度是 $ v_2 $，那么这个人上山和下山的平均速度是(
A.$ \frac{v_1 + v_2}{2} $
B.$ \frac{v_1v_2}{2} $
C.$ \frac{v_1 + v_2}{2v_1v_2} $
D.$ \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2} $
D
)A.$ \frac{v_1 + v_2}{2} $
B.$ \frac{v_1v_2}{2} $
C.$ \frac{v_1 + v_2}{2v_1v_2} $
D.$ \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2} $
答案
1. D
解析
解：设上山路程为$s$，则下山路程也为$s$。
上山时间：$t_1 = \frac{s}{v_1}$
下山时间：$t_2 = \frac{s}{v_2}$
总路程：$2s$
总时间：$t = t_1 + t_2 = \frac{s}{v_1} + \frac{s}{v_2} = s(\frac{v_2 + v_1}{v_1v_2})$
平均速度：$v = \frac{2s}{t} = \frac{2s}{s(\frac{v_1 + v_2}{v_1v_2})} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$
D
上山时间：$t_1 = \frac{s}{v_1}$
下山时间：$t_2 = \frac{s}{v_2}$
总路程：$2s$
总时间：$t = t_1 + t_2 = \frac{s}{v_1} + \frac{s}{v_2} = s(\frac{v_2 + v_1}{v_1v_2})$
平均速度：$v = \frac{2s}{t} = \frac{2s}{s(\frac{v_1 + v_2}{v_1v_2})} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$
D
2. 完成一项工作，甲单独做需要 4 h 完成，乙单独做需要 6 h 完成。甲、乙合作，完成这项工作需要(
A.5 h
B.10 h
C.2.4 h
D.3.2 h
C
)A.5 h
B.10 h
C.2.4 h
D.3.2 h
答案
2. C
解析
设工作总量为单位“1”，甲的工作效率为$\frac{1}{4}$，乙的工作效率为$\frac{1}{6}$。
甲、乙合作的工作效率为：$\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$
合作完成工作所需时间为：$1 ÷ \frac{5}{12} = 1 × \frac{12}{5} = \frac{12}{5} = 2.4$（h）
C
甲、乙合作的工作效率为：$\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$
合作完成工作所需时间为：$1 ÷ \frac{5}{12} = 1 × \frac{12}{5} = \frac{12}{5} = 2.4$（h）
C
3. 甲、乙两人骑着自行车同时从相距 65 km 的两地相向而行，2 h 后相遇。若甲、乙两人的速度保持不变，且甲比乙每小时多行 2.5 km，则乙每小时行(
A.12.5 km
B.15 km
C.17.5 km
D.20 km
B
)A.12.5 km
B.15 km
C.17.5 km
D.20 km
答案
3. B
解析
设乙每小时行$x$km，则甲每小时行$(x + 2.5)$km。
根据题意，两人相向而行，2小时后相遇，总路程为65km，可列方程：
$2x + 2(x + 2.5) = 65$
$2x + 2x + 5 = 65$
$4x = 60$
$x = 15$
B
根据题意，两人相向而行，2小时后相遇，总路程为65km，可列方程：
$2x + 2(x + 2.5) = 65$
$2x + 2x + 5 = 65$
$4x = 60$
$x = 15$
B
4. 甲、乙两人从相距 60 km 的两地同时出发相向而行。甲步行，每小时走 5 km；乙骑自行车。若 3 h 后两人相遇，则乙平均每小时行
15 km
。答案
4. 15 km
解析
设乙平均每小时行$x$km。
根据题意，甲、乙两人3小时后相遇，总路程为60km，可列方程：
$3×5 + 3x = 60$
$15 + 3x = 60$
$3x = 60 - 15$
$3x = 45$
$x = 15$
15 km
根据题意，甲、乙两人3小时后相遇，总路程为60km，可列方程：
$3×5 + 3x = 60$
$15 + 3x = 60$
$3x = 60 - 15$
$3x = 45$
$x = 15$
15 km
5. 甲、乙两人从相距 27 km 的两地同时出发相向而行，2 h 后相遇。已知乙骑车的速度比甲步行的速度快 5.5 km/h。设乙的速度为 $ x $ km/h，可列出方程：
$ 2x + 2(x - 5.5) = 27 $
。答案
5. $ 2x + 2(x - 5.5) = 27 $
解析
【分析】
本题是行程中的相遇问题，核心等量关系为：甲走的路程 + 乙走的路程 = 两地总距离。已知乙的速度为$x$ km/h，乙比甲快5.5 km/h，因此甲的速度可表示为$(x - 5.5)$ km/h；两人行走时间均为2小时，分别计算各自路程后代入等量关系即可列出方程。
【解析】
设乙的速度为$x$ km/h，因为乙的速度比甲快5.5 km/h，所以甲的速度为$(x - 5.5)$ km/h。
根据“路程=速度×时间”，乙2小时走的路程为$2x$ km，甲2小时走的路程为$2(x - 5.5)$ km。
又因为两人相向而行2小时后相遇，总路程为27 km，因此甲、乙路程和等于总路程，可列方程：$2x + 2(x - 5.5) = 27$。
【答案】
$2x + 2(x - 5.5) = 27$
【知识点】
一元一次方程应用、相遇问题
【点评】
本题属于基础行程相遇问题，重点考查对“路程和=总路程”这一核心等量关系的理解，以及速度与路程的关联，是一元一次方程应用的典型基础题型，帮助学生建立用方程解决实际问题的思路。
【难度系数】
0.8
本题是行程中的相遇问题，核心等量关系为：甲走的路程 + 乙走的路程 = 两地总距离。已知乙的速度为$x$ km/h，乙比甲快5.5 km/h，因此甲的速度可表示为$(x - 5.5)$ km/h；两人行走时间均为2小时，分别计算各自路程后代入等量关系即可列出方程。
【解析】
设乙的速度为$x$ km/h，因为乙的速度比甲快5.5 km/h，所以甲的速度为$(x - 5.5)$ km/h。
根据“路程=速度×时间”，乙2小时走的路程为$2x$ km，甲2小时走的路程为$2(x - 5.5)$ km。
又因为两人相向而行2小时后相遇，总路程为27 km，因此甲、乙路程和等于总路程，可列方程：$2x + 2(x - 5.5) = 27$。
【答案】
$2x + 2(x - 5.5) = 27$
【知识点】
一元一次方程应用、相遇问题
【点评】
本题属于基础行程相遇问题，重点考查对“路程和=总路程”这一核心等量关系的理解，以及速度与路程的关联，是一元一次方程应用的典型基础题型，帮助学生建立用方程解决实际问题的思路。
【难度系数】
0.8
6. 甲、乙两人赛跑。甲的速度为 7 m/s，乙的速度为 6.5 m/s。
(1) 若甲让乙先跑 5 m，设甲跑 $ x $ s 后追上乙，则可列出方程：
(2) 若甲让乙先跑 1 s，设甲跑 $ y $ s 后追上乙，则可列出方程：
(1) 若甲让乙先跑 5 m，设甲跑 $ x $ s 后追上乙，则可列出方程：
$ 5 + 6.5x = 7x $
；(2) 若甲让乙先跑 1 s，设甲跑 $ y $ s 后追上乙，则可列出方程：
$ 6.5(y + 1) = 7y $
。答案
6. (1) $ 5 + 6.5x = 7x $ (2) $ 6.5(y + 1) = 7y $
解析
【分析】本题是行程中的追及问题，解题关键是抓住“甲追上乙时，甲跑的路程与乙跑的路程相等”这一等量关系。第(1)问中，甲跑$ x $秒，乙先跑5米再跑$ x $秒，分别表示出两者路程后列等式；第(2)问中，乙先跑1秒，所以乙的总跑步时间比甲多1秒，再表示出两者路程列等式。
【解析】
(1) 甲跑$ x $秒的路程为：$ 7x $ m；乙先跑5 m，再跑$ x $秒的路程为$ 6.5x $ m，乙的总路程为$ (5 + 6.5x) $ m。甲追上乙时，两人路程相等，因此可列方程：$ 5 + 6.5x = 7x $。
(2) 甲跑$ y $秒的路程为：$ 7y $ m；乙先跑1秒，所以乙的总跑步时间为$ (y + 1) $秒，乙的总路程为$ 6.5(y + 1) $ m。甲追上乙时，两人路程相等，因此可列方程：$ 6.5(y + 1) = 7y $。
【答案】(1)$ 5 + 6.5x = 7x $；(2)$ 6.5(y + 1) = 7y $
【知识点】一元一次方程的应用，追及问题
【点评】本题是基础的行程追及问题，考查一元一次方程在实际问题中的应用，核心是找准追及问题的等量关系，难度较低，适合巩固一元一次方程的应用方法。
【难度系数】0.8
【解析】
(1) 甲跑$ x $秒的路程为：$ 7x $ m；乙先跑5 m，再跑$ x $秒的路程为$ 6.5x $ m，乙的总路程为$ (5 + 6.5x) $ m。甲追上乙时，两人路程相等，因此可列方程：$ 5 + 6.5x = 7x $。
(2) 甲跑$ y $秒的路程为：$ 7y $ m；乙先跑1秒，所以乙的总跑步时间为$ (y + 1) $秒，乙的总路程为$ 6.5(y + 1) $ m。甲追上乙时，两人路程相等，因此可列方程：$ 6.5(y + 1) = 7y $。
【答案】(1)$ 5 + 6.5x = 7x $；(2)$ 6.5(y + 1) = 7y $
【知识点】一元一次方程的应用，追及问题
【点评】本题是基础的行程追及问题，考查一元一次方程在实际问题中的应用，核心是找准追及问题的等量关系，难度较低，适合巩固一元一次方程的应用方法。
【难度系数】0.8
7. 从甲地到乙地，有一段平路与一段上坡路。若骑车保持平路每小时行 15 km，上坡路每小时行 10 km，下坡路每小时行 18 km，则从甲地到乙地需要 29 min，从乙地到甲地需要 25 min。从甲地到乙地的路程是多少？
能力提高
能力提高
答案
7. 解：设平路所用时间为 $ x $ h。
$ 29 $ min $ = \frac{29}{60} $ h，$ 25 $ min $ = \frac{25}{60} $ h。
根据题意，得 $ 10(\frac{29}{60} - x) = 18(\frac{25}{60} - x) $。
解这个方程，得 $ x = \frac{1}{3} $。
因此，从甲地到乙地的路程是
$ 15 × \frac{1}{3} + 10 × (\frac{29}{60} - \frac{1}{3}) = 6.5 $ (km)。
$ 29 $ min $ = \frac{29}{60} $ h，$ 25 $ min $ = \frac{25}{60} $ h。
根据题意，得 $ 10(\frac{29}{60} - x) = 18(\frac{25}{60} - x) $。
解这个方程，得 $ x = \frac{1}{3} $。
因此，从甲地到乙地的路程是
$ 15 × \frac{1}{3} + 10 × (\frac{29}{60} - \frac{1}{3}) = 6.5 $ (km)。
解析
【分析】首先，从甲地到乙地的上坡路，从乙地返回甲地时变为下坡路，两者路程相等，这是解题关键。需先统一时间单位（分钟转换为小时），设平路所用时间为x小时，那么从甲到乙的上坡时间为总时间（29/60小时）减去平路时间x，上坡路程为10×(29/60 -x)；从乙到甲的下坡时间为总时间（25/60小时）减去平路时间x，下坡路程为18×(25/60 -x)，根据上下坡路程相等列方程，解出平路时间后，再计算平路路程与上坡路程之和，即为甲乙两地总路程。
【解析】解：先统一时间单位：29 min = $\frac{29}{60}$ h，25 min = $\frac{25}{60}$ h。
设平路所用时间为 $x$ h。
根据往返时上下坡路程相等，列方程：
$10(\frac{29}{60} - x) = 18(\frac{25}{60} - x)$
解方程：
$\frac{290}{60} - 10x = \frac{450}{60} - 18x$
$18x - 10x = \frac{450}{60} - \frac{290}{60}$
$8x = \frac{160}{60}$
$x = \frac{1}{3}$ h
计算总路程：
平路路程：$15 × \frac{1}{3} = 5$ km
上坡路程：$10 × (\frac{29}{60} - \frac{1}{3}) = 10 × \frac{9}{60} = 1.5$ km
总路程：$5 + 1.5 = 6.5$ km
【答案】6.5 km
【知识点】一元一次方程的应用，行程问题
【点评】本题为行程类应用题，核心是抓住往返时上下坡路程互换的等量关系，需注意时间单位的统一，难度适中，考查学生对行程问题等量关系的分析能力。
【难度系数】0.6
【解析】解：先统一时间单位：29 min = $\frac{29}{60}$ h，25 min = $\frac{25}{60}$ h。
设平路所用时间为 $x$ h。
根据往返时上下坡路程相等，列方程：
$10(\frac{29}{60} - x) = 18(\frac{25}{60} - x)$
解方程：
$\frac{290}{60} - 10x = \frac{450}{60} - 18x$
$18x - 10x = \frac{450}{60} - \frac{290}{60}$
$8x = \frac{160}{60}$
$x = \frac{1}{3}$ h
计算总路程：
平路路程：$15 × \frac{1}{3} = 5$ km
上坡路程：$10 × (\frac{29}{60} - \frac{1}{3}) = 10 × \frac{9}{60} = 1.5$ km
总路程：$5 + 1.5 = 6.5$ km
【答案】6.5 km
【知识点】一元一次方程的应用，行程问题
【点评】本题为行程类应用题，核心是抓住往返时上下坡路程互换的等量关系，需注意时间单位的统一，难度适中，考查学生对行程问题等量关系的分析能力。
【难度系数】0.6
