一、填空题
1. 如图,$AB=AC,AD ⊥ BC$于点 D,$BC=4$,则 BD 的长为.

1. 2

2. 如图，$△ ABC$ 是等边三角形，点 $D$ 在线段 $BC$ 的延长线上，且 $CD=CE$，则 $∠ D=$.

2. 30°

3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ B=30°$,$AD$平分$∠ BAC$,交$BC$于点$D$,$E$是$AD$的中点.若$BD=8$,则$CE$的长为.

3. 4

4. 易错题 等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成 21 cm 和 12 cm 两部分,则等腰三角形的底边长为.

4. 5 cm
易错分析：易忽略三角形的三边关系，未对两种分类讨论得到的结果进行合理性验证。

二、解答题
5. 一题多解 如图,在等腰三角形$ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=120°$,$D$为线段$BC$上一点,$DE ⊥ AB$,$DF ⊥$$AC$,垂足分别为$E$,$F$. 若$BC=8$,求$DE+DF$的长.

解法一 $\because AB=AC,∠ A=120°,\therefore ∠ B=∠ C=30°.\because DE⊥ AB,DF⊥ AC,\therefore DE=\frac{1}{2}BD,DF=\frac{1}{2}CD.$
$\therefore DE+DF=\frac{1}{2}BD+\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4.$
解法二 $\because AB=AC,∠ A=120°,\therefore ∠ B=∠ C=30°.$
连接$AD$,过点$C$作$CG⊥ BA$,交$BA$的延长线于点$G$.
$\therefore CG=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4. \because S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD},$
$\therefore \frac{1}{2}AB× CG=\frac{1}{2}AB× DE+\frac{1}{2}AC× DF. \therefore \frac{1}{2}AB×4=\frac{1}{2}AB(DE+DF). \therefore DE+DF=4.$

6. 如图,在等边三角形$ABC$中,$E$为$△ ABC$外一点,$AE=AC$,连接$BE$.若$∠ EBC=15°$,$△ ACE$的面积为9,求$BC$的长.

如图,过点$C$作$CD⊥ AE$于点$D$,设$CD=x$.
$\because △ ABC$为等边三角形,$\therefore AB=BC=AC,∠ ABC=∠ BAC=60°. \because ∠ EBC=15°,\therefore ∠ ABE=∠ ABC-∠ EBC=60°-15°=45°. \because AE=AC,\therefore AE=AB=BC.$
$\therefore ∠ AEB=∠ ABE=45°. \therefore ∠ BAE=180°-(∠ AEB+∠ ABE)=90°. \therefore ∠ CAE=∠ BAE-∠ BAC=90°-60°=30°. \because CD⊥ AD$,在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,$∠ CAE=30°,CD=x,\therefore AC=BC=2x. \therefore AE=AC=2x. \therefore S_{△ ACE}=\frac{1}{2}AE· CD=9. \therefore \frac{1}{2}×2x· x=9$,解得$x=3$(舍去负值).
$\therefore BC=2x=6$