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1. 在每组数后面的[
（1）14 和 15 [
（2）20 和 25 [
（3）14 和 42 [
（4）16 和 36 [
210
]里写出它们的最小公倍数，在(1
)里写出它们的最大公因数。（1）14 和 15 [
210
] (1
)（2）20 和 25 [
100
] (5
)（3）14 和 42 [
42
] (13
)（4）16 和 36 [
144
] (4
)答案
（1）[$210$]（$1$）
（2）[$100$]（$5$）
（3）[$42$]（$14$）
（4）[$144$]（$4$）
（2）[$100$]（$5$）
（3）[$42$]（$14$）
（4）[$144$]（$4$）
解析
【解析】
（1）14和15是互质数，互质数的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积：$14×15=210$；
（2）分解质因数：$20=2^2×5$，$25=5^2$，最大公因数取公共质因数的最低次幂为5，最小公倍数取所有质因数的最高次幂：$2^2×5^2=100$；
（3）42是14的倍数，两数成倍数关系时，最大公因数是较小数14，最小公倍数是较大数42；
（4）分解质因数：$16=2^4$，$36=2^2×3^2$，最大公因数是$2^2=4$，最小公倍数是$2^4×3^2=144$。
【答案】
（1）[$210$]（$1$）
（2）[$100$]（$5$）
（3）[$42$]（$14$）
（4）[$144$]（$4$）
【知识点】
最大公因数求法，最小公倍数求法，质因数分解
【点评】
本题是因数倍数相关的基础题，覆盖了互质数、倍数关系、普通关系三类常见数对的计算场景，可有效检验学生对相关计算方法的掌握程度，是该模块的典型练习题。
【难度系数】
0.75
（1）14和15是互质数，互质数的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积：$14×15=210$；
（2）分解质因数：$20=2^2×5$，$25=5^2$，最大公因数取公共质因数的最低次幂为5，最小公倍数取所有质因数的最高次幂：$2^2×5^2=100$；
（3）42是14的倍数，两数成倍数关系时，最大公因数是较小数14，最小公倍数是较大数42；
（4）分解质因数：$16=2^4$，$36=2^2×3^2$，最大公因数是$2^2=4$，最小公倍数是$2^4×3^2=144$。
【答案】
（1）[$210$]（$1$）
（2）[$100$]（$5$）
（3）[$42$]（$14$）
（4）[$144$]（$4$）
【知识点】
最大公因数求法，最小公倍数求法，质因数分解
【点评】
本题是因数倍数相关的基础题，覆盖了互质数、倍数关系、普通关系三类常见数对的计算场景，可有效检验学生对相关计算方法的掌握程度，是该模块的典型练习题。
【难度系数】
0.75
2. 填一填。
(1)24 的因数有
(2)用 4，5，0 这三个数字组成的三位数中，是 2 的倍数的有
(3)若 m 为偶数，则与 m 相邻的两个偶数为(
(1)24 的因数有
1,2,3,4,6,8,12,24
，50 以内 7 的倍数有7,14,21,28,35,42,49
。(2)用 4，5，0 这三个数字组成的三位数中，是 2 的倍数的有
540,450,504
，是 5 的倍数的有450,540,405
，既是 2 的倍数又是 3 的倍数的有540,450,504
。(3)若 m 为偶数，则与 m 相邻的两个偶数为(
m - 2
)和(m + 2
)。答案
1,2,3,4,6,8,12,24
7,14,21,28,35,42,49
540,450,504
450,540,405
540,450,504
m-2
m+2
7,14,21,28,35,42,49
540,450,504
450,540,405
540,450,504
m-2
m+2
解析
【分析】
1. 找24的因数时，可从1开始依次找出能整除24的数，因数成对出现，这样能避免遗漏；找50以内7的倍数，用7依次乘1、2、3……，直到乘积小于50即可。
2. 用4、5、0组成三位数，百位不能为0。判断2的倍数看个位是否为0、4；判断5的倍数看个位是否为0、5；既是2又是3的倍数，需同时满足个位是0或4，且各位数字之和是3的倍数，这里4+5+0=9是3的倍数，所以符合2的倍数的数都满足条件。
3. 相邻偶数之间相差2，因此与偶数m相邻的前一个偶数比m小2，后一个比m大2。
【解析】
(1) 求24的因数：
因为1×24=24，2×12=24，3×8=24，4×6=24，所以24的因数为1,2,3,4,6,8,12,24；
求50以内7的倍数：
7×1=7，7×2=14，7×3=21，7×4=28，7×5=35，7×6=42，7×7=49，7×8=56＞50，所以50以内7的倍数为7,14,21,28,35,42,49。
(2) 用4,5,0组成的三位数有450,405,540,504：
是2的倍数的数，个位需为0或4，所以是540,450,504；
是5的倍数的数，个位需为0或5，所以是450,540,405；
既是2又是3的倍数，各位数字和4+5+0=9是3的倍数，且个位是0或4，所以是540,450,504。
(3) 由于相邻偶数相差2，所以与m相邻的两个偶数为m-2和m+2。
【答案】
(1)1,2,3,4,6,8,12,24；7,14,21,28,35,42,49
(2)540,450,504；450,540,405；540,450,504
(3)m-2；m+2
【知识点】
因数与倍数的认识；2、3、5的倍数特征；偶数的性质
【点评】
本题涵盖了因数、倍数的基础概念，2、3、5的倍数特征以及偶数的性质，解题时需有序思考，避免遗漏或重复，熟练掌握这些基础知识是解题关键。
【难度系数】
0.7
1. 找24的因数时，可从1开始依次找出能整除24的数，因数成对出现，这样能避免遗漏；找50以内7的倍数，用7依次乘1、2、3……，直到乘积小于50即可。
2. 用4、5、0组成三位数，百位不能为0。判断2的倍数看个位是否为0、4；判断5的倍数看个位是否为0、5；既是2又是3的倍数，需同时满足个位是0或4，且各位数字之和是3的倍数，这里4+5+0=9是3的倍数，所以符合2的倍数的数都满足条件。
3. 相邻偶数之间相差2，因此与偶数m相邻的前一个偶数比m小2，后一个比m大2。
【解析】
(1) 求24的因数：
因为1×24=24，2×12=24，3×8=24，4×6=24，所以24的因数为1,2,3,4,6,8,12,24；
求50以内7的倍数：
7×1=7，7×2=14，7×3=21，7×4=28，7×5=35，7×6=42，7×7=49，7×8=56＞50，所以50以内7的倍数为7,14,21,28,35,42,49。
(2) 用4,5,0组成的三位数有450,405,540,504：
是2的倍数的数，个位需为0或4，所以是540,450,504；
是5的倍数的数，个位需为0或5，所以是450,540,405；
既是2又是3的倍数，各位数字和4+5+0=9是3的倍数，且个位是0或4，所以是540,450,504。
(3) 由于相邻偶数相差2，所以与m相邻的两个偶数为m-2和m+2。
【答案】
(1)1,2,3,4,6,8,12,24；7,14,21,28,35,42,49
(2)540,450,504；450,540,405；540,450,504
(3)m-2；m+2
【知识点】
因数与倍数的认识；2、3、5的倍数特征；偶数的性质
【点评】
本题涵盖了因数、倍数的基础概念，2、3、5的倍数特征以及偶数的性质，解题时需有序思考，避免遗漏或重复，熟练掌握这些基础知识是解题关键。
【难度系数】
0.7
3. 选一选。
(1)如果用 a 表示非 0 自然数，那么下面各数中一定是偶数的是(
A. $a + 2$
B. $2a$
C. $a - 1$
D. $a + 1$
(2)已知 $b = 5a$(a，b 是非 0 自然数)，a 和 b 的最大公因数是(
A. $a$
B. $b$
C. $a×b$
D. $1$
(3)观看中国空间站的第四次太空授课时，李老师想把五年级的 25 名男生和 20 名女生分成几个小组，使每组中男生人数相等，女生人数也相等，则每组至少有(
A. 10
B. 9
C. 5
D. 20
(1)如果用 a 表示非 0 自然数，那么下面各数中一定是偶数的是(
B
)。A. $a + 2$
B. $2a$
C. $a - 1$
D. $a + 1$
(2)已知 $b = 5a$(a，b 是非 0 自然数)，a 和 b 的最大公因数是(
A
)，最小公倍数是(B
)。A. $a$
B. $b$
C. $a×b$
D. $1$
(3)观看中国空间站的第四次太空授课时，李老师想把五年级的 25 名男生和 20 名女生分成几个小组，使每组中男生人数相等，女生人数也相等，则每组至少有(
B
)人。A. 10
B. 9
C. 5
D. 20
答案
B
A
B
B
A
B
B
解析
【分析】
1. 第(1)题：依据偶数的定义（能被2整除的数是偶数），逐个分析选项：
选项A：若a为奇数，a+2是奇数，不一定是偶数；
选项B：2a是2与非0自然数的乘积，必然是2的倍数，符合偶数定义；
选项C：若a为偶数，a-1是奇数，不一定是偶数；
选项D：若a为偶数，a+1是奇数，不一定是偶数。
2. 第(2)题：已知b=5a（a、b是非0自然数），说明b是a的倍数，根据倍数关系的两个数的性质：当两个数成倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。
3. 第(3)题：要使每组男生、女生人数分别相等，组数需是25和20的公因数，求每组至少多少人，需先找25和20的最大公因数（即最多分组数），再计算每组男女生人数之和。
【解析】
(1) 偶数是能被2整除的数，对非0自然数a：
A. 当a为奇数时，$a+2$是奇数，不是偶数；
B. $2a$一定是2的倍数，符合偶数定义，必然是偶数；
C. 当a为偶数时，$a-1$是奇数，不是偶数；
D. 当a为偶数时，$a+1$是奇数，不是偶数；
因此选B。
(2) 因为$b=5a$（a、b是非0自然数），即b是a的5倍，两个数成倍数关系：
最大公因数是较小的数a，选A；
最小公倍数是较大的数b，选B。
(3) 先求25和20的最大公因数：
25的因数：1、5、25；20的因数：1、2、4、5、10、20，二者最大公因数是5，即最多分5组。
每组男生人数：$25÷5=5$（人）
每组女生人数：$20÷5=4$（人）
每组总人数：$5+4=9$（人），因此选B。
【答案】
(1) B；(2) A、B；(3) B
【知识点】
1. 偶数的定义；2. 倍数关系的数的最大公因数与最小公倍数；3. 最大公因数的实际应用
【点评】
本题考查了数论基础概念的理解与应用，涵盖偶数判断、倍数关系下的公因数公倍数求解、最大公因数在分组问题中的运用，需要熟练掌握相关概念并能结合实际场景分析计算。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)题：依据偶数的定义（能被2整除的数是偶数），逐个分析选项：
选项A：若a为奇数，a+2是奇数，不一定是偶数；
选项B：2a是2与非0自然数的乘积，必然是2的倍数，符合偶数定义；
选项C：若a为偶数，a-1是奇数，不一定是偶数；
选项D：若a为偶数，a+1是奇数，不一定是偶数。
2. 第(2)题：已知b=5a（a、b是非0自然数），说明b是a的倍数，根据倍数关系的两个数的性质：当两个数成倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。
3. 第(3)题：要使每组男生、女生人数分别相等，组数需是25和20的公因数，求每组至少多少人，需先找25和20的最大公因数（即最多分组数），再计算每组男女生人数之和。
【解析】
(1) 偶数是能被2整除的数，对非0自然数a：
A. 当a为奇数时，$a+2$是奇数，不是偶数；
B. $2a$一定是2的倍数，符合偶数定义，必然是偶数；
C. 当a为偶数时，$a-1$是奇数，不是偶数；
D. 当a为偶数时，$a+1$是奇数，不是偶数；
因此选B。
(2) 因为$b=5a$（a、b是非0自然数），即b是a的5倍，两个数成倍数关系：
最大公因数是较小的数a，选A；
最小公倍数是较大的数b，选B。
(3) 先求25和20的最大公因数：
25的因数：1、5、25；20的因数：1、2、4、5、10、20，二者最大公因数是5，即最多分5组。
每组男生人数：$25÷5=5$（人）
每组女生人数：$20÷5=4$（人）
每组总人数：$5+4=9$（人），因此选B。
【答案】
(1) B；(2) A、B；(3) B
【知识点】
1. 偶数的定义；2. 倍数关系的数的最大公因数与最小公倍数；3. 最大公因数的实际应用
【点评】
本题考查了数论基础概念的理解与应用，涵盖偶数判断、倍数关系下的公因数公倍数求解、最大公因数在分组问题中的运用，需要熟练掌握相关概念并能结合实际场景分析计算。
【难度系数】
0.6
4. A，B，C 三种商品的单价如下表。李叔叔买了 3 件 A 商品和 2 件 C 商品，王叔叔买了 5 件 B 商品。已知 B 商品的价格是整数，李叔叔和王叔叔花的钱可能相等吗？为什么？
答案
26×3 + 32×2 = 78 + 64 = 142（元）
因为142不是5的倍数，而王叔叔买5件B商品的总价一定是5的倍数，所以李叔叔和王叔叔花的钱不可能相等。
答：不可能，因为李叔叔总共花了142元，王叔叔花的价钱一定是5的倍数，所以他们花的钱不可能相等。
因为142不是5的倍数，而王叔叔买5件B商品的总价一定是5的倍数，所以李叔叔和王叔叔花的钱不可能相等。
答：不可能，因为李叔叔总共花了142元，王叔叔花的价钱一定是5的倍数，所以他们花的钱不可能相等。
解析
【分析】
要判断李叔叔和王叔叔花的钱是否可能相等，需分两步思考：第一步，根据A、C商品的单价和购买数量，计算出李叔叔的总花费；第二步，分析王叔叔花费金额的特征，王叔叔买5件单价为整数的B商品，其总价一定是5的倍数，最后对比李叔叔的总花费是否符合5的倍数特征，即可得出结论。
【解析】
1. 计算李叔叔的总花费：
$\begin{aligned}26×3 + 32×2&=78+64\\&=142(\mathrm{元})\end{aligned}$
2. 分析王叔叔的花费特征：
因为B商品单价是整数，王叔叔买5件B商品的总价为$5×\mathrm{B商品单价}$，根据5的倍数特征，个位数字是0或5的数是5的倍数，所以王叔叔的总花费一定是5的倍数。
3. 对比判断：
142的个位数字是2，不符合5的倍数特征，即142不是5的倍数，因此李叔叔和王叔叔花的钱不可能相等。
【答案】
不可能，因为李叔叔总共花了142元，王叔叔花的价钱一定是5的倍数，142不是5的倍数，所以他们花的钱不可能相等。
【知识点】
整数乘法应用、5的倍数特征
【点评】
本题结合整数乘法的实际应用与5的倍数特征进行考查，解题核心是先明确两人花费的计算方式，再利用数的倍数特征进行对比判断，培养学生分析问题和运用数的特征解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
要判断李叔叔和王叔叔花的钱是否可能相等，需分两步思考：第一步，根据A、C商品的单价和购买数量，计算出李叔叔的总花费；第二步，分析王叔叔花费金额的特征，王叔叔买5件单价为整数的B商品，其总价一定是5的倍数，最后对比李叔叔的总花费是否符合5的倍数特征，即可得出结论。
【解析】
1. 计算李叔叔的总花费：
$\begin{aligned}26×3 + 32×2&=78+64\\&=142(\mathrm{元})\end{aligned}$
2. 分析王叔叔的花费特征：
因为B商品单价是整数，王叔叔买5件B商品的总价为$5×\mathrm{B商品单价}$，根据5的倍数特征，个位数字是0或5的数是5的倍数，所以王叔叔的总花费一定是5的倍数。
3. 对比判断：
142的个位数字是2，不符合5的倍数特征，即142不是5的倍数，因此李叔叔和王叔叔花的钱不可能相等。
【答案】
不可能，因为李叔叔总共花了142元，王叔叔花的价钱一定是5的倍数，142不是5的倍数，所以他们花的钱不可能相等。
【知识点】
整数乘法应用、5的倍数特征
【点评】
本题结合整数乘法的实际应用与5的倍数特征进行考查，解题核心是先明确两人花费的计算方式，再利用数的倍数特征进行对比判断，培养学生分析问题和运用数的特征解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
5. 阳光明媚春三月，正是踏青好时节。五年级同学在一次春游野餐时每 2 人合用一个饭碗，每 3 人合用一个菜碗，每 4 人合用一个汤碗，共用了 78 个碗。这次参加野餐的五年级同学有多少人？
答案
2、3、4的最小公倍数是12。
12÷2 + 12÷3 + 12÷4 = 6+4+3=13（个）
78÷13=6
12×6=72（人）
答：这次参加野餐的五年级同学有72人。
12÷2 + 12÷3 + 12÷4 = 6+4+3=13（个）
78÷13=6
12×6=72（人）
答：这次参加野餐的五年级同学有72人。
解析
【分析】
这道题属于公倍数的实际应用问题，解题思路如下：首先，题目中按不同人数合用碗，我们可以先找出2、3、4的最小公倍数，将这个最小公倍数对应的人数作为一个“单位组”，计算出该单位组所需的总碗数；接着用总碗数除以单位组的碗数，得到单位组的数量；最后用单位组的人数乘以组数，即可求出总人数。这种分组计算的方式能避免分数运算，让解题过程更直观简便。
【解析】
1. 求2、3、4的最小公倍数：
2、3、4的最小公倍数是12。
2. 计算12人所需的碗数：
饭碗：$12÷2=6$（个）
菜碗：$12÷3=4$（个）
汤碗：$12÷4=3$（个）
总碗数：$6+4+3=13$（个）
3. 计算单位组的数量：
$78÷13=6$（组）
4. 计算总人数：
$12×6=72$（人）
答：这次参加野餐的五年级同学有72人。
【答案】
72人
【知识点】
最小公倍数的应用、整数四则混合运算
【点评】
本题通过最小公倍数将人数分组，把复杂的分配问题转化为简单的整数运算，降低了解题难度。解题的关键是找准单位组人数，利用倍数关系快速推导总人数，考查了学生对公倍数概念的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
这道题属于公倍数的实际应用问题，解题思路如下：首先，题目中按不同人数合用碗，我们可以先找出2、3、4的最小公倍数，将这个最小公倍数对应的人数作为一个“单位组”，计算出该单位组所需的总碗数；接着用总碗数除以单位组的碗数，得到单位组的数量；最后用单位组的人数乘以组数，即可求出总人数。这种分组计算的方式能避免分数运算，让解题过程更直观简便。
【解析】
1. 求2、3、4的最小公倍数：
2、3、4的最小公倍数是12。
2. 计算12人所需的碗数：
饭碗：$12÷2=6$（个）
菜碗：$12÷3=4$（个）
汤碗：$12÷4=3$（个）
总碗数：$6+4+3=13$（个）
3. 计算单位组的数量：
$78÷13=6$（组）
4. 计算总人数：
$12×6=72$（人）
答：这次参加野餐的五年级同学有72人。
【答案】
72人
【知识点】
最小公倍数的应用、整数四则混合运算
【点评】
本题通过最小公倍数将人数分组，把复杂的分配问题转化为简单的整数运算，降低了解题难度。解题的关键是找准单位组人数，利用倍数关系快速推导总人数，考查了学生对公倍数概念的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
