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1. 填空。
(1)(
(2)甲地到乙地的实际距离是90 km,画在一张比例尺是$1:600000$的地图上,图上距离是(
(3)把一个底4 cm、高3 cm 的三角形按$3:1$放大,放大后图形的面积是(
(4)一个半径是4 cm 的圆按$2:1$放大,放大后的圆的面积是(
(1)(
图上距离
):(实际距离
)=比例尺。(2)甲地到乙地的实际距离是90 km,画在一张比例尺是$1:600000$的地图上,图上距离是(
15
)cm。(3)把一个底4 cm、高3 cm 的三角形按$3:1$放大,放大后图形的面积是(
54
)$\mathrm{cm}^{2}$。(4)一个半径是4 cm 的圆按$2:1$放大,放大后的圆的面积是(
200.96
)$\mathrm{cm}^{2}$;如果按($1:4$
)缩小,那么缩小后的圆的面积是$3.14\ \mathrm{cm}^{2}$。答案
1. (1)图上距离 实际距离 (2)15 (3)54
(4)200.96 $1:4$
(4)200.96 $1:4$
解析
【分析】
1. 第(1)题：回忆比例尺的定义，比例尺是表示图上距离与实际距离的比，直接根据定义填写即可。
2. 第(2)题：已知实际距离和比例尺求图上距离，首先要统一单位，将千米转换为厘米，再利用“图上距离=实际距离×比例尺”的公式计算。
3. 第(3)题：三角形按$3:1$放大，意味着底和高都扩大到原来的3倍，先算出放大后的底和高，再代入三角形面积公式计算面积。
4. 第(4)题：圆按$2:1$放大，半径扩大到原来的2倍，先求放大后的半径，再用圆的面积公式计算面积；已知缩小后的面积，先求出缩小后的半径，再与原半径对比得出缩小的比例尺。
【解析】
(1) 根据比例尺的定义：$\boldsymbol{图上距离}:\boldsymbol{实际距离}=$比例尺。
(2) 单位换算：$90\ \mathrm{km}=90×1000×100=9000000\ \mathrm{cm}$
图上距离：$9000000×\frac{1}{600000}=15\ \mathrm{cm}$
(3) 放大后的底：$4×3=12\ \mathrm{cm}$，放大后的高：$3×3=9\ \mathrm{cm}$
放大后三角形面积：$\frac{1}{2}×12×9=54\ \mathrm{cm}^2$
(4) 放大后的半径：$4×2=8\ \mathrm{cm}$
放大后的圆面积：$3.14×8^2=3.14×64=200.96\ \mathrm{cm}^2$
缩小后的面积为$3.14\ \mathrm{cm}^2$，由$S=π r^2$得，缩小后的半径$r=\sqrt{\frac{3.14}{3.14}}=1\ \mathrm{cm}$
缩小的比例尺：$1:4$
【答案】
1. (1)图上距离 实际距离 (2)15 (3)54 (4)200.96 $1:4$
【知识点】
比例尺的定义、图形的放大与缩小、平面图形面积计算
【点评】
本题综合考查了比例尺的基本概念、图形放大缩小的性质以及三角形和圆的面积计算，解题时需注意单位换算和放大缩小后各量的变化规律，是对基础知识点的典型考查。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)题：回忆比例尺的定义，比例尺是表示图上距离与实际距离的比，直接根据定义填写即可。
2. 第(2)题：已知实际距离和比例尺求图上距离，首先要统一单位，将千米转换为厘米，再利用“图上距离=实际距离×比例尺”的公式计算。
3. 第(3)题：三角形按$3:1$放大，意味着底和高都扩大到原来的3倍，先算出放大后的底和高，再代入三角形面积公式计算面积。
4. 第(4)题：圆按$2:1$放大，半径扩大到原来的2倍，先求放大后的半径，再用圆的面积公式计算面积；已知缩小后的面积，先求出缩小后的半径，再与原半径对比得出缩小的比例尺。
【解析】
(1) 根据比例尺的定义：$\boldsymbol{图上距离}:\boldsymbol{实际距离}=$比例尺。
(2) 单位换算：$90\ \mathrm{km}=90×1000×100=9000000\ \mathrm{cm}$
图上距离：$9000000×\frac{1}{600000}=15\ \mathrm{cm}$
(3) 放大后的底：$4×3=12\ \mathrm{cm}$，放大后的高：$3×3=9\ \mathrm{cm}$
放大后三角形面积：$\frac{1}{2}×12×9=54\ \mathrm{cm}^2$
(4) 放大后的半径：$4×2=8\ \mathrm{cm}$
放大后的圆面积：$3.14×8^2=3.14×64=200.96\ \mathrm{cm}^2$
缩小后的面积为$3.14\ \mathrm{cm}^2$，由$S=π r^2$得，缩小后的半径$r=\sqrt{\frac{3.14}{3.14}}=1\ \mathrm{cm}$
缩小的比例尺：$1:4$
【答案】
1. (1)图上距离 实际距离 (2)15 (3)54 (4)200.96 $1:4$
【知识点】
比例尺的定义、图形的放大与缩小、平面图形面积计算
【点评】
本题综合考查了比例尺的基本概念、图形放大缩小的性质以及三角形和圆的面积计算，解题时需注意单位换算和放大缩小后各量的变化规律，是对基础知识点的典型考查。
【难度系数】
0.6
2. 解比例。
$0.4:x=1.6:5$
$\frac{3}{4}:\frac{9}{10}=x:\frac{3}{5}$
$\frac{12}{2.4}=\frac{3}{x}$
$0.4:x=1.6:5$
$\frac{3}{4}:\frac{9}{10}=x:\frac{3}{5}$
$\frac{12}{2.4}=\frac{3}{x}$
答案
2. $x=1.25$ $x=\frac{1}{2}$ $x=0.6$
解析
【分析】
解比例的核心依据是比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。对于每个比例，我们先确定外项和内项，通过交叉相乘将比例转化为一元一次方程，再解方程求出未知数$x$的值。
1. 对于$0.4:x=1.6:5$，外项是0.4和5，内项是$x$和1.6，交叉相乘得到方程后求解；
2. 对于$\frac{3}{4}:\frac{9}{10}=x:\frac{3}{5}$，外项是$\frac{3}{4}$和$\frac{3}{5}$，内项是$\frac{9}{10}$和$x$，交叉相乘后计算分数的乘除法求解；
3. 对于$\frac{12}{2.4}=\frac{3}{x}$，外项是12和$x$，内项是2.4和3，交叉相乘后通过小数运算求解。
【解析】
1. 解比例$0.4:x=1.6:5$
根据比例的基本性质，外项积等于内项积：
$1.6x = 0.4×5$
计算右边：$0.4×5=2$
方程两边同时除以1.6：
$x = 2÷1.6$
$x = 1.25$
2. 解比例$\frac{3}{4}:\frac{9}{10}=x:\frac{3}{5}$
根据比例的基本性质：
$\frac{9}{10}x = \frac{3}{4}×\frac{3}{5}$
计算右边：$\frac{3}{4}×\frac{3}{5}=\frac{9}{20}$
方程两边同时除以$\frac{9}{10}$（即乘$\frac{10}{9}$）：
$x = \frac{9}{20}×\frac{10}{9}$
$x = \frac{1}{2}$
3. 解比例$\frac{12}{2.4}=\frac{3}{x}$
根据比例的基本性质：
$12x = 2.4×3$
计算右边：$2.4×3=7.2$
方程两边同时除以12：
$x = 7.2÷12$
$x = 0.6$
【答案】
$x=1.25$，$x=\frac{1}{2}$，$x=0.6$
【知识点】
比例的基本性质，解一元一次方程
【点评】
本题考查基础的解比例运算，关键是熟练运用比例的基本性质将比例转化为方程，计算过程中要注意小数与分数的运算规则，仔细计算避免出错，通过这类题目可以巩固比例与方程的转化能力。
【难度系数】
0.8
解比例的核心依据是比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。对于每个比例，我们先确定外项和内项，通过交叉相乘将比例转化为一元一次方程，再解方程求出未知数$x$的值。
1. 对于$0.4:x=1.6:5$，外项是0.4和5，内项是$x$和1.6，交叉相乘得到方程后求解；
2. 对于$\frac{3}{4}:\frac{9}{10}=x:\frac{3}{5}$，外项是$\frac{3}{4}$和$\frac{3}{5}$，内项是$\frac{9}{10}$和$x$，交叉相乘后计算分数的乘除法求解；
3. 对于$\frac{12}{2.4}=\frac{3}{x}$，外项是12和$x$，内项是2.4和3，交叉相乘后通过小数运算求解。
【解析】
1. 解比例$0.4:x=1.6:5$
根据比例的基本性质，外项积等于内项积：
$1.6x = 0.4×5$
计算右边：$0.4×5=2$
方程两边同时除以1.6：
$x = 2÷1.6$
$x = 1.25$
2. 解比例$\frac{3}{4}:\frac{9}{10}=x:\frac{3}{5}$
根据比例的基本性质：
$\frac{9}{10}x = \frac{3}{4}×\frac{3}{5}$
计算右边：$\frac{3}{4}×\frac{3}{5}=\frac{9}{20}$
方程两边同时除以$\frac{9}{10}$（即乘$\frac{10}{9}$）：
$x = \frac{9}{20}×\frac{10}{9}$
$x = \frac{1}{2}$
3. 解比例$\frac{12}{2.4}=\frac{3}{x}$
根据比例的基本性质：
$12x = 2.4×3$
计算右边：$2.4×3=7.2$
方程两边同时除以12：
$x = 7.2÷12$
$x = 0.6$
【答案】
$x=1.25$，$x=\frac{1}{2}$，$x=0.6$
【知识点】
比例的基本性质，解一元一次方程
【点评】
本题考查基础的解比例运算，关键是熟练运用比例的基本性质将比例转化为方程，计算过程中要注意小数与分数的运算规则，仔细计算避免出错，通过这类题目可以巩固比例与方程的转化能力。
【难度系数】
0.8
3. 小明将黄鹤楼按$1:2000$的比拍摄了一张照片,照片中黄鹤楼的高度是2.57 cm。
黄鹤楼的实际高度是多少米?
黄鹤楼的实际高度是多少米?
答案
3. $2.57×2000=5140(\mathrm{cm})=51.4(\mathrm{m})$ 答:黄鹤楼的实际高度是51.4 m。
解析
【分析】
首先要明确比例尺的含义：比例尺1:2000表示照片上的1厘米对应实际中的2000厘米。要求黄鹤楼的实际高度，我们可以利用“实际距离=图上距离×比例尺的后项”来计算，先通过图上高度乘以2000得到实际的厘米数，最后再将单位从厘米换算成米即可。
【解析】
1. 根据比例尺的意义，计算实际高度（以厘米为单位）：
$2.57×2000=5140(\mathrm{cm})$
2. 进行单位换算，将厘米转换为米（因为$1\mathrm{m}=100\mathrm{cm}$）：
$5140÷100=51.4(\mathrm{m})$
答：黄鹤楼的实际高度是51.4 m。
【答案】
51.4米
【知识点】
比例尺的应用、长度单位换算
【点评】
本题主要考查比例尺的基础应用，核心是理解比例尺的含义，解题时需注意单位的换算，属于基础题型，掌握比例尺相关公式和单位换算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
首先要明确比例尺的含义：比例尺1:2000表示照片上的1厘米对应实际中的2000厘米。要求黄鹤楼的实际高度，我们可以利用“实际距离=图上距离×比例尺的后项”来计算，先通过图上高度乘以2000得到实际的厘米数，最后再将单位从厘米换算成米即可。
【解析】
1. 根据比例尺的意义，计算实际高度（以厘米为单位）：
$2.57×2000=5140(\mathrm{cm})$
2. 进行单位换算，将厘米转换为米（因为$1\mathrm{m}=100\mathrm{cm}$）：
$5140÷100=51.4(\mathrm{m})$
答：黄鹤楼的实际高度是51.4 m。
【答案】
51.4米
【知识点】
比例尺的应用、长度单位换算
【点评】
本题主要考查比例尺的基础应用，核心是理解比例尺的含义，解题时需注意单位的换算，属于基础题型，掌握比例尺相关公式和单位换算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
4. 在比例尺是$1:4000000$的地图上,量得甲、乙两地的距离是4.5 cm。一辆汽车以60 km/h的速度在早上8时从甲地出发,中午12时前能否到达乙地?
答案
4. $4000000\ \mathrm{cm}=40\ \mathrm{km}$ $4.5×40=180(\mathrm{km})$
$12-8=4(\mathrm{时})$ $4×60=240(\mathrm{km})$ $240＞180$
答:中午12时前能够到达乙地。
$12-8=4(\mathrm{时})$ $4×60=240(\mathrm{km})$ $240＞180$
答:中午12时前能够到达乙地。
解析
【分析】
要判断中午12时前能否到达乙地，需分两步推导：首先根据比例尺和图上距离求出甲、乙两地的实际距离；然后计算汽车从早上8时到中午12时的行驶时长，结合速度算出这段时间内汽车可行驶的路程，最后比较行驶路程与实际距离的大小。若行驶路程大于实际距离，则能到达，反之则不能。具体思考：先将比例尺中的厘米单位换算为千米，简化后续计算；再用图上距离乘比例尺对应的实际距离得到甲乙两地实际距离；接着算出行驶时间，用时间乘速度得到行驶路程，最后通过比较得出结论。
【解析】
1. 单位换算：$4000000\ \mathrm{cm}=40\ \mathrm{km}$（即图上1cm代表实际40km）
2. 计算甲、乙两地实际距离：$4.5×40=180(\mathrm{km})$
3. 计算汽车行驶时间：$12-8=4(\mathrm{时})$
4. 计算汽车4小时行驶的路程：$4×60=240(\mathrm{km})$
5. 比较路程：因为$240＞180$，所以汽车能在中午12时前到达乙地。
【答案】
中午12时前能够到达乙地。
【知识点】
比例尺的应用、路程速度时间关系、长度单位换算
【点评】
本题综合考查了比例尺的实际应用和行程问题的核心公式，解题关键是注意单位的统一换算，通过分步计算逐步推导结论，有助于提升学生的综合分析能力和知识整合应用能力。
【难度系数】
0.7
要判断中午12时前能否到达乙地，需分两步推导：首先根据比例尺和图上距离求出甲、乙两地的实际距离；然后计算汽车从早上8时到中午12时的行驶时长，结合速度算出这段时间内汽车可行驶的路程，最后比较行驶路程与实际距离的大小。若行驶路程大于实际距离，则能到达，反之则不能。具体思考：先将比例尺中的厘米单位换算为千米，简化后续计算；再用图上距离乘比例尺对应的实际距离得到甲乙两地实际距离；接着算出行驶时间，用时间乘速度得到行驶路程，最后通过比较得出结论。
【解析】
1. 单位换算：$4000000\ \mathrm{cm}=40\ \mathrm{km}$（即图上1cm代表实际40km）
2. 计算甲、乙两地实际距离：$4.5×40=180(\mathrm{km})$
3. 计算汽车行驶时间：$12-8=4(\mathrm{时})$
4. 计算汽车4小时行驶的路程：$4×60=240(\mathrm{km})$
5. 比较路程：因为$240＞180$，所以汽车能在中午12时前到达乙地。
【答案】
中午12时前能够到达乙地。
【知识点】
比例尺的应用、路程速度时间关系、长度单位换算
【点评】
本题综合考查了比例尺的实际应用和行程问题的核心公式，解题关键是注意单位的统一换算，通过分步计算逐步推导结论，有助于提升学生的综合分析能力和知识整合应用能力。
【难度系数】
0.7
5.【提优挑战】在比例尺是$1:500$的一幅图上,量得一块长方形菜地的周长是28 cm。已知这块菜地的长和宽的比是$5:2$。这块菜地的实际面积是多少平方米?
答案
5. $28÷2=14(\mathrm{cm})$ $5+2=7$ $14×\frac{5}{7}=10(\mathrm{cm})$
$14×\frac{2}{7}=4(\mathrm{cm})$ $10×500=5000(\mathrm{cm})=50(\mathrm{m})$ $4×500=2000(\mathrm{cm})=20(\mathrm{m})$ $50×20=1000(\mathrm{m}^2)$ 答:这块菜地的实际面积是$1000\ \mathrm{m}^2$。
$14×\frac{2}{7}=4(\mathrm{cm})$ $10×500=5000(\mathrm{cm})=50(\mathrm{m})$ $4×500=2000(\mathrm{cm})=20(\mathrm{m})$ $50×20=1000(\mathrm{m}^2)$ 答:这块菜地的实际面积是$1000\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
要解决这个问题，需按以下思路逐步推导：首先，根据长方形周长公式，周长是长与宽和的2倍，先算出图上长和宽的和；接着利用长和宽的比例关系，通过按比例分配求出图上的长和宽；然后依据比例尺的含义（图上1cm代表实际500cm），将图上距离转换为实际距离并换算单位为米；最后用实际的长乘宽得到实际面积，每一步都要注意单位统一和计算准确性。
【解析】
1. 计算图上长与宽的和：
长方形周长 =（长+宽）×2，因此图上长+宽 = $28÷2=14(\mathrm{cm})$
2. 按比例分配求图上的长和宽：
长和宽的总份数为 $5+2=7$
图上的长：$14×\frac{5}{7}=10(\mathrm{cm})$
图上的宽：$14×\frac{2}{7}=4(\mathrm{cm})$
3. 计算实际的长和宽：
根据比例尺$1:500$，实际距离=图上距离×500
实际长：$10×500=5000(\mathrm{cm})=50(\mathrm{m})$
实际宽：$4×500=2000(\mathrm{cm})=20(\mathrm{m})$
4. 计算实际面积：
实际面积=长×宽=$50×20=1000(\mathrm{m}^2)$
答：这块菜地的实际面积是$1000\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
$1000\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
比例尺的应用、按比例分配、长方形面积计算
【点评】
本题综合考查了长方形周长与面积公式、按比例分配以及比例尺的实际应用，解题过程中需注意单位换算，步骤较多，需仔细计算，避免因粗心导致错误。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需按以下思路逐步推导：首先，根据长方形周长公式，周长是长与宽和的2倍，先算出图上长和宽的和；接着利用长和宽的比例关系，通过按比例分配求出图上的长和宽；然后依据比例尺的含义（图上1cm代表实际500cm），将图上距离转换为实际距离并换算单位为米；最后用实际的长乘宽得到实际面积，每一步都要注意单位统一和计算准确性。
【解析】
1. 计算图上长与宽的和：
长方形周长 =（长+宽）×2，因此图上长+宽 = $28÷2=14(\mathrm{cm})$
2. 按比例分配求图上的长和宽：
长和宽的总份数为 $5+2=7$
图上的长：$14×\frac{5}{7}=10(\mathrm{cm})$
图上的宽：$14×\frac{2}{7}=4(\mathrm{cm})$
3. 计算实际的长和宽：
根据比例尺$1:500$，实际距离=图上距离×500
实际长：$10×500=5000(\mathrm{cm})=50(\mathrm{m})$
实际宽：$4×500=2000(\mathrm{cm})=20(\mathrm{m})$
4. 计算实际面积：
实际面积=长×宽=$50×20=1000(\mathrm{m}^2)$
答：这块菜地的实际面积是$1000\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
$1000\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
比例尺的应用、按比例分配、长方形面积计算
【点评】
本题综合考查了长方形周长与面积公式、按比例分配以及比例尺的实际应用，解题过程中需注意单位换算，步骤较多，需仔细计算，避免因粗心导致错误。
【难度系数】
0.6
